JoseLf0

Les dejo un enlace con ejercicios auto-corregibles de sumas y restas: Ejercicios interactivos de sumas y restas Capturas de pantalla: Sumas básicas (con naipes): Restas básicas (con naipes): Sumas con huecos: Restas con huecos: Sumas sin llevada: Restas sin llevada: Sumas con llevada: Restas con llevada:

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Hola, amigos, les dejo un enlace donde pueden estudiar fracciones: Fracciones: concepto, suma, resta, multiplicación y división (online) Algunas capturas: Concepto: Simplificar: Suma y resta: Multiplicación: División:

2 ejemplos de multiplicación de polinomios Ejemplo 1 Vamos a multiplicar el binomio 2x+3 por el monomio 4x. Para ello, multiplicamos 2x por 4x y 3 por 4x: El producto 2x⋅4x se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los exponentes de sus partes literales (1 y 1): Hacemos lo mismo con el producto 3⋅4x (ahora los exponentes son 0 y 1): Por tanto, el producto calculado es Ejemplo 2 Vamos a multiplicar los binomios x+2 y 6x+1. Primero, multiplicamos el monomio x del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio (+2): Simplificamos el resultado (multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de las partes literales): Podemos simplificar más: Por tanto, Más ejemplos: Multiplicación de polinomios

1. Continuidad Decimos que una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un sólo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio y las racionales lo son en los puntos donde no se anulan los denominadores. Por ejemplo: es la gráfica de la función racional: Podemos observar que es continua en todo el dominio excepto en x = 2, que es el punto donde el denominador se anula (no podemos dividir por 0). Podemos ver más ejemplos en este enlace. 2. Monotonía El concepto de monotonía también es muy intuitivo: la gráfica de la función puede crecer o decrecer a medida que aumenta la variable x (de izquierda a derecha). La definición formal es La función f(x) es monótona creciente si a < b, entonces f(a) < f(b). Es decir, es creciente si dados dos puntos cualesquiera (a < b), la imagen del punto mayor es mayor que la imagen del otro (f(a)<f(b)) . Análogamente, decimos que la función es monótona decreciente si a < b, entonces f(a)>f(b). Es decir, la imagen de un punto es mayor cuanto más pequeño sea el punto. Esta es la gráfica de la función que es decreciente desde menos infinito hasta x = 2,5. A partir de este punto es creciente. Notemos que el punto donde cambia la monotonía es un extremo (es un mínimo). Para el estudio de la monotonía usamos el criterio de la primera derivada (cálculo diferencial), aunque no es el único método que existe. Para ello buscamos los puntos críticos (que son los puntos en los que se anula la primera derivada de la función). Después, estudiamos el signo de un punto cualquiera de cada intervalo en que los puntos críticos dividen el dominio: Si el signo es positivo: la función crece en el intervalo al que pertenece el punto. Si el signo es negativo: la función decrece. Podemos ver en este enlace ejemplos de aplicación del criterio de la primera derivada. Y finalmente, vamos a ver el concepto de extremos: 3. Extremos absolutos y relativos Si observamos la gráfica anterior, cuando existe un cambio de monotonía (la función pasa de ser creciente a ser decreciente o viceversa), entonces dicho punto se denomina extremo. Este extremo puede ser un mínimo o un máximo si la función pasa a ser creciente o decreciente a su derecha, respectivamente. La siguiente gráfica presenta un máximo y un mínimo (los puntos rojos). Para calcular los extremos, usamos también el criterio de la primera derivada: los puntos donde se anula la derivada son los posibles extremos (puntos críticos). Para comprobar si en realidad se trata de un extremo, debemos estudiar la monotonía (si hay un cambio, hay un extremo). Podemos ver aquí ejemplos de la aplicación del criterio de la primera derivada para obtener los extremos. También existen otros métodos (el criterio de la segunda derivada, por ejemplo).

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que comparten incógnitas. Por ejemplo, donde tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. En el nivel básico, los sistemas serán como el del ejemplo. Una solución del sistema serán los valores que deben tomar las incógnitas x e y para que se cumplan ambas ecuaciones simultáneamente. Tenemos 3 métodos básicos de resolución: Sustitución: consiste en aislar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. Para el ejemplo, despejamos x de la primera ecuación Y sustituimos en la segunda: Como ya tenemos la y podemos calcular la x: Por tanto, la solución del sistema es x=1, y=2. Igualación: consiste en aislar una de las incógnitas en las dos ecuaciones para igualar sus expresiones. Para el ejemplo, aislando la y Ahora igualamos las expresiones: Obteniendo la solución del sistema: x=1, y=2. Reducción: consiste en realizar operaciones entre las ecuaciones (multiplicarlas por un número distinto de 0 y sumarlas o restarlas) para poder obtener fácilmente el valor de una de las dos incógnitas. Obtener la otra es inmediato. Para el ejemplo, Ahora sustituimos la incógnita y para obtener x: Obteniendo la solución del sistema: x=1, y=2. Podemos encontrar aquí más ejemplos de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Una vez dominamos los sistemas, podemos pasar al siguiente nivel: problemas cuya resolución requieren el planteamiento de un sistema de ecuaciones. Los problemas típicos son de edades y de calcular números sabiendo ciertas propiedades.

La regla (teoría) La Regla de Cramer nos permite conocer rápidamente las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, es decir, de los sistemas que sabemos de antemano que tienen solución y es única. Esta condición se puede resumir como: sistemas de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es regular, es decir, el determinante de dicha matriz es distinto de cero. Si tenemos el sistema Ax=b, donde A es la matriz de coeficientes, b el vector de términos independientes y x el vector de incógnitas, podemos aplicar la regla si el determinante de A, |A|, es distinto de cero. En este caso, la regla nos proporciona la solución para la K-ésima incógnita x = |H| / |A| donde H es la matriz que resulta al cambiar la columna K de A por el vector de términos independientes b. Ejemplo Consideremos el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas podemos aplicar la regla de Cramer ya que el determinante de la matriz de coeficientes es Ahora calculamos las soluciones aplicando la fórmula: Más ejemplos: Ejemplos de aplicación de la Regla de Cramer

Introducción Un movimiento es rectilíneo: cuando la trayectoria del móvil es una recta uniforme: cuando la velocidad del movimiento es constante Este movimiento también se puede llamar rectilíneo constante. Ecuación del movimiento La ecuación de este movimiento (sin considerar posiciones o tiempo iniciales) es donde x representa la distancia que recorre el móvil a una velocidad constante v en un tiempo t. La distancia es directamente proporcional al tiempo ya que cuanto más tiempo dura el movimiento, más distancia se corre; e inversamente proporcional a la velocidad ya que cuanto mayor es la velocidad, menor es el tiempo empleado para recorrer una distancia fija. Ecuación con datos iniciales Si consideramos una posición inicial, x0, y un tiempo inicial, t0, distintos de cero, es decir, el movimiento comienza en el tiempo t0 y desde la posición x0, la ecuación del movimiento se escribe como x = x0 + v( t - t0) Se trata de la misma ecuación: escribimos el tiempo t-t0 porque lo que nos interesa es el tiempo que dura el movimiento; y sumamos x0 para saber la posición del móvil. La distancia recorrida sigue siendo la misma si la velocidad y la duración del movimiento son la misma. Problema resuelto En el mismo instante, una motocicleta sale de la ciudad A y otra de la ciudad B, con la intención de encontrarse en el camino recto de 60 kilómetros que une a ambas ciudades. Sabiendo que las velocidades de las motocicletas son 70km/h y 55km/h, calcular cuánto tardarán en encontrarse. Solución: El esquema del movimiento es: Como cada motocicleta circula a una velocidad, no se encuentran en la mitad del camino. La que tiene una velocidad menor, habrá recorrido x kilómetros y, por tanto, la otra, habrá recorrido 60-x ya que la suma de ambas distancias ha de ser la distancia que hay entre las ciudades. Por otro lado, el tiempo es el mismo para ambas motocicletas ya que salen en el mismo instante. La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es Para la motocicleta que circula a 55km/h tenemos Y, para la otra Sustituyendo la primera ecuación en la segunda: Por tanto, el tiempo es Más problemas resueltos En el siguiente enlace podemos encontrar: teoría más completa sobre el movimiento rectilíneo uniforme gráficas del movimiento problemas sencillos del movimiento comparación de gráficas del movimiento uniforme y el acelerado problemas de dos móviles que se encuentran en el mismo sentido o en sentido contrario

Las indeterminaciones son expresiones que aparecen en el cálculo de límites y cuyo valor no conocemos a priori. Para resolver este problema debemos operar en los propios límites de modo que obtengamos una expresión no indeterminada. Las indeterminaciones son las siguientes: Cociente de infinitos: Diferencia de infinitos: Cero o infinito elevado a cero: Cociente de ceros: Cero por infinito: Uno elevado a infinito: Se resuelve aplicando la fórmula: Ejemplos (sin L'Hôpital) 1. Cociente de infinitos Sabemos que la exponencial crece mucho más rápido que un polinomio de grado 1, por tanto, es como si en el denominador tuviéramos un polinomio de grado mucho mayor. De este modo, 2. Diferencia (resta) de infinitos Nos quedamos con los monomios que tienen mayor grado. Después escribimos la función como un producto y el límite es directo: En este enlace podemos encontrar más ejemplos de la resolución de indeterminaciones sin aplicar la regla de L'Hôpital. Regla de L'Hôpital El cálculo diferencial nos proporciona una regla para el cálculo de las indeterminaciones de tipo 0/0 y cociente de infinitos: es la Regla de L'Hôpital. Esta regla dice que el límite será el límite del cociente de las derivadas del numerador y del cociente. Es decir, tenemos que derivar el numerador y el numerador para eliminar la indeterminación. Veamos un ejemplo: El límite da como resultado la indeterminación cero dividido cero. Derivamos el numerador y el denominador y luego calculamos el límite: En este enlace podemos encontrar más ejemplos de aplicación de la Regla de L'Hôpital.

Introducción En este post vamos a ver cómo trabajar con raíces escribiéndolas como potencias. De este modo, podremos aplicar las propiedades de las potencias. Esta transformación de raíces a potencias y viceversa es la siguiente: Es decir, podemos escribir la raíz n-ésima o raíz de orden n de a como la potencia de base a y exponente fraccionario 1/n. Recordamos que el resultado de esta raíz es el número b tal que elevado a n es a . Otra propiedad que usaremos con frecuencia es la raíz de una potencia: Operaciones entre raíces El producto de raíces del mismo orden es la raíz de dicho orden del producto de los radicandos, es decir, Algo similar ocurre con los cocientes (divisiones) de raíces del mismo orden: Ejemplos Ejemplo 1: raíces de raíces Escribimos las raíces como potencias y multiplicamos los exponentes (potencia de potencia): Ejemplo 2: potencia de raíces Procedemos del mismo modo: Más ejemplos Enlace: Ejercicios resueltos de simplificar raíces usando las propiedades de las potencias