akak92

Buenas! En este post hablaré sobre aplicaciones de modelado utilizando ecuaciones diferenciales. La idea se me ocurrió luego de pasar por el post de @LFA-R35 en el que desarrolla teoría sobre el tema. Es FUNDAMENTAL pasar por su post para entender este. Les dejo el link: http://www.taringa.net/post/ciencia-educacion/19448560/Ecuaciones-diferenciales.html UNA BREVE INTRODUCCIÓN LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO (una imagen vale mas que mil palabras) El concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán extraer conclusiones. Entonces; ¿Tiene sentido utilizar como herramienta las ecuaciones diferenciales? Sí. Puesto que además de describir el comportamiento de un fenómeno, también involucra la evolución del mismo con el paso del tiempo. MODELOS LINEALES DE PRIMER ORDEN CRECIMIENTO / DECAIMIENTO DE POBLACIÓN “Muy utilizada para describir el crecimiento de ciertas poblaciones en cortos períodos de tiempo.” Ecuación que gobierna este modelo: Donde P representa la población, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad a determinar. OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN GENERAL Escribimos la ED en forma estándar Aplicamos el método del factor integrante (aquí se ignora la constante de la integral en la exponencial) Planteamos para resolver Integramos y obtenemos Despejamos P y reemplazamos los valores correspondientes. Reconocemos que P = P(t) y obtenemos la SOLUCIÓN GENERAL del modelo: Pero esto no es todo. Deberíamos aplicar las condiciones iniciales en función del problema que se nos plantee, como dijimos, nos interesa aplicar estos conocimientos en situaciones reales. EJEMPLO RESUELTO “La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?” ¿Qué sabemos nosotros hasta aquí? Bien. Veamos. “... La población inicial de 500...” Matemáticamente esto nos quiere decir que: “ La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años...” Esto nos dá otra pista: Tenemos suficiente información para determinar la constante de proporcionalidad inherente a este caso particular (k). Podremos responder la primer incógnita: “¿Cuál será la población pasados 30 años?” Utilizando la ecuación que obtuvimos cuando buscamos la solución general, reemplazamos por el primer dato obtenido para obtener el valor de c (con P(0) = 500; t = 0): Entonces Bien. Obtuvimos c. Reemplazamos este hallazgo en la ecuación que gobierna nuestro modelo: También sabemos que P(10) = 575. Este dato nos será muy útil para determinar k. Entonces: Hallando c y k los utilizamos para reemplazar en nuestra SOLUCIÓN GENERAL y así obtener la SOLUCIÓN PARTICULAR Para responder la pregunta ahora simplemente debemos evaluar P(30). Usando una calculadora obtenemos Respuesta: La población luego de 30 años será de 746 personas. (en realidad nos dá un número racional, pero no podemos contar fracciones de personas). Un gráfico que describe el comportamiento del crecimiento (eje horizontal: tiempo. eje vertical: población) Como podemos observar todas las poblaciones que se rigen bajo esta ecuación diferencial crecen de manera exponencial. Lo cual es muy raro para las poblaciones de personas hoy en día. Es por eso que este modelo se considera ineficiente. Existen modelos mucho más precisos. ENFRIAMIENTO / CALENTAMIENTO “Utilizada para saber la rapidez con la que se calienta/enfría un objeto en relación con el medio que le rodea” Ecuación diferencial que gobierna este modelo Donde T representa la temperatura, Tm la temperatura ambiente (constante), t el tiempo y k es una constante de proporcionalidad a determinar. OBTENCIÓN DE SOLUCION GENERAL Reconocemos que podemos utilizar el método de separación de variables: Integramos ambos lados de la ED Obtenemos Aplicamos propiedades de logaritmos y exponenciales (renombramos c y lo reemplazamos por c1 por conveniencia algebráica) Despejamos T. Reconocemos que T = T(t) y obtenemos la SOLUCION GENERAL del modelo Nuevamente, esto no es todo. Esta ecuación debe resultarnos útil para resolver alguna situación en particular... EJEMPLO RESUELTO ]“Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Tres minutos después su temperatura es 200°F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70°F?” Veamos qué información podemos obtener del enunciado... “Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F....” Bien, matemáticamente esto es: “Tres minutos después su temperatura es 200°F...” Traduciendo esto: Y por último, nuestra incógnita: “¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70°F?” Bien, procedemos con nuestros datos a plantear la solución al problema. Lo que queremos es siempre lo mismo: obtener una solución particular para este problema. Resulta sencillo hallar c partiendo de T(0) = 300: Reemplazando c en nuestra solución general: Nos queda hallar k. Conociendo c y además sabiendo que T(3) = 200 podemos obtenerlo. Entonces: Con uso de calculadora obtenemos k: Bien! Tenemos todo lo que necesitamos para construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR (c y k) Ahora, para responder a la pregunta, simplemente tenemos que encontrar el valor de t para el cual la función se vuelve 70. Si resolvemos esto, veremos que la ED no tiene una solución finita para T(t) = 70. Pero podríamos consultar un gráfico y ver cómo se comporta la función al transcurrir el tiempo... Graficamos nuestra solución particular (eje horizontal: tiempo. eje vertical: temperatura ) Vemos que la temperatura se estabiliza en 70°F cerca de los 28 minutos aproximadamente... CIRCUITO EN SERIE Bien, la Teoría de Circuitos no es lo mío, pero aparentemente, según la segunda Ley de Kirchoff aplicada a un circuito LR... “La suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(di/dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t)) al circuito.” Un dibujito para aclarar un poco... En fin, lo importante que nosotros queremos saber acá es que existe una ecuación diferencial que gobierna esta clase de circuitos y que podemos utilizarla para calcular la corriente (i) que circula a través del mismo en un determinado tiempo t. Ecuación que gobierna el modelo Donde L es la inductancia, R es la resistencia y E(t) el voltaje aplicado al circuito. Todas son constantes. OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN GENERAL Escribimos en su forma estándar (nótese que reemplazamos E(t) por E0. Nos interesa la corriente y no el voltaje) Reconocemos que es una ED Lineal. Aplicamos el método de factor integrante: Planteamos método Integramos Despejando i y reconociendo que i = i(t), obtenemos nuestra SOLUCION GENERAL Bien! Obtuvimos la ecuación diferencial que gobierna un circuito RL. Pero necesitamos un caso de estudio en el que podamos aplicar esta nueva ecuación... EJEMPLO RESUELTO “Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 0,5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.” Bien, lo primero que podríamos hacer aquí es reconocer el valor de nuestras constantes: L = 0,5 = 1/2 ; R = 10 ; E = 12 Ahora bien. Nosotros podríamos optar por construir la ecuación basándonos en la ecuación que gobierna esta clase de circuitos de la siguiente forma: Pero...nosotros ya nos tomamos el trabajo de hallar la SOLUCIÓN GENERAL. Podríamos intentar reemplazar el valor de las constantes directamente ahí y ver qué sucede, ¿no? (Dá lo mismo, garantizado) Entonces, conociendo L, R y E la solucion general nos queda: Un dato interesante... “Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.” Matemáticamente hablando el dato que tenemos es: Utilizamos esto para hallar c: Una vez obtenido c podemos construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR Hecho! Ya podemos determinar la corriente de nuestro circuito en cualquier instante de tiempo! Un gráfico para ver qué tal... (eje horizontal: tiempo, eje vertical: corriente) Generalmente, los circuitos poseen dos estados. Un estado transitorio, y un estado estable. Vemos que el término exponencial de nuestra solución particular tiene a cero a medida que pasa el tiempo... En la gráfica puede notarse claramente a partir de qué momento sólo se percibe el estado estable.

Buenas! En la Parte 1 vimos algunos ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para completar un poco esa primera parte, creé esta segunda parte, en el que vamos a ver el modelado de aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden 2. Les aclaro: el user @LFA-R35 creó un post donde desarrolla el contenido teórico y se encarga de explicar los distintos métodos de resolución. Es FUNDAMENTAL visitar y leer su post para poder entender este: pinchá aquí para verlo. UNA BREVE INTRODUCCIÓN Para comprender un poco más los fenómenos que trataremos en esta segunda parte, que se centrará en primera instancia en el desplazamiento de una partícula, debemos sin lugar a dudas asignarle un marco, este marco será la mecánica newtoniana, particularmente, nos centraremos en la Segunda Ley de Newton ó Ley Fundamental de la dinámica. SEGUNDA LEY DE NEWTON O BIEN SIMPLEMENTE Pero, ¿qué representa esta ecuación? ¿A qué se refiere? ¿Qué significa? Significa que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. ¿Qué más sabemos nosotros? También sabemos que la razón de cambio de la posición en un determinado tiempo t representa la velocidad de una partícula. ENTONCES Donde x representa la posición y v la velocidad de la partícula. Pero esto no es todo. Podemos determinar la expresión para una variable más... Esto representa que la razón de cambio de la velocidad en un determinado tiempo t es igual a la aceleración de la partícula ¿Qué conseguimos con este marco? Representar las expresiones de posición, velocidad y aceleración de manera que estén relacionadas entre sí utilizando el concepto de derivada. OTRA ACLARACIÓN LAS CONDICIONES INICIALES Si la ecuación diferencial es de orden n, las condiciones iniciales también serán n. Bien. Empezamos. MODELOS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR SISTEMA RESORTE / MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO “Utilizada para describir la ecuación de movimiento que gobierna un objeto unido a un resorte fijado a una superficie plana” (Una imagen vale más que mil palabras) Ecuacion que gobierna este modelo Donde m representa la masa del objeto (constante), k la constante inherente al resorte (constante), x la posición del objeto y t el tiempo. OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN GENERAL Escribimos la ED en forma estándar Haciendo que w cuadrado sea igual a (k/m): Planteando la ecuación auxiliar vemos que : Sus raíces son complejas y sus respectivos valores son: Aplicando la fórmula de euler vemos que podemos escribir la solución x(t) de la siguiente forma para obtener la SOLUCIÓN GENERAL del modelo Pero esto no es todo, nos interesa APLICAR esta solución a un caso de estudio en particular y ver cómo se comporta la partícula sujeta a este tipo de movimiento... EJEMPLO RESUELTO “Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lib/pie. ¿Cuál es el período del movimiento armónico simple? Describa la ecuación de movimiento. Nota: La masa se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad de 2 pie/s." Bien. Aquí mucho cuidado. Tenemos que tener en claro algunas cosas... Primero: comprender que este movimiento está sujeto y bajo el marco de la Segunda Ley de Newton. (Debemos analizar las fuerzas que interactúan con nuestro sistema) Segundo: Las UNIDADES. Cuidado. Hacer las conversiones adecuadas. ¿Qué datos tenemos? “... Una masa que pesa 4 libras” El peso es una fuerza. Sabemos que g es la fuerza gravitacional y, en nuestro caso, se expresa en pie/s al cuadrado) Tenemos la masa. “...resorte cuya constante es 16 lib/pie...” Tenemos lo necesario (m y k) para escribir nuestra ecuación de forma más completa... Escrito en forma estándar Y reconociendo que Conociendo w estamos en condiciones de construir la SOLUCIÓN GENERAL COMPLETA de nuestra ecuación. Pero esto así pelado no nos sirve de mucho. Necesitamos aplicar las condiciones iniciales para obtener nuestra SOLUCION PARTICULAR Aplicamos x(0) = 0 para obtener el valor de c1. Hecho. Vemos que: Derivamos x'(t) para obtener c2: aplicamos x'(0) = 2 Despejamos c2: Listo! Reemplazando c1 y c2 en nuestra solución general estamos en condiciones de construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR! Ésta ecuación describe el movimiento de la partícula (objeto sujeto a resorte) en nuestro sistema. Ah! Respondemos la pregunta que nos pide determinar el período del movimiento (T) Fórmula del período (T): Reemplazando por nuestro w: Hecho. Un gráfico que describe el movimiento x(t) de nuestro caso particular... (eje vertical: posición. Eje horizontal: tiempo) A esto se le llama movimiento armónico simple. Como vemos en la gráfica. Los períodos y amplitudes del movimiento en este caso no varían a lo largo del tiempo. Ésta es una situación irreal, debido a que nuestra partícula siempre se verá afectada por una fuerza de amortiguamiento en casos más realistas (Por ejemplo: amortiguamiento inherente al medio en el que se desplaza la partícula: Ej; aire, agua, etc...) CIRCUITO LRC EN SERIE “Utilizada para describir el valor de una carga y la corriente de un circuito en el que puede aplicarse la Segunda Ley de Kirchoff” (Un gráfico vale más que mil palabras) Ecuación que gobierna este modelo Donde L representa la inductancia, R la resistencia y C la capacitancia (valores constantes). E el voltaje aplicado al circuito, i la corriente y q la carga. Por teoría de circuitos nosotros podemos establecer que: Por lo tanto: Reescribiendo la ED que gobierna nuestro modelo entonces nos queda: Ahora tenemos todo expresado en términos de la carga (q) Si E(t) = 0 tenemos entonces una ecuación lineal de orden 2 homogénea. Notamos que su ecuación auxiliar es Y las raíces dependerán del siguiente discriminante: Hasta aquí llegaremos. La solución general en estos casos dependerá de la situación que presente el discriminante (tres escenarios, desarrollados por @LFA-R35 en su post) y de la situación particular a resolver. Procederemos a desarrollar un ejemplo... EJEMPLO RESUELTO “Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t = 0.01 cuando L = 0.05, R = 2, C = 0.01 E(t) = 0, q(0) = 5 e i(0) = 0. Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero.” Bien. Tenemos los valores de las constantes. Sabemos la ecuación que gobierna este fenómeno. Procedemos a reemplazar dichos valores en esa ecuación diferencial. Escribimos en forma estándar Planteamos ecuación auxiliar Obtenemos las raíces (complejas...) Con alfa = -20 y beta=40 obtenemos nuestra SOLUCION GENERAL Pero ahora debemos aplicar nuestras condiciones iniciales para hallar los valores de c1 y c2 y así poder obtener nuestra SOLUCION PARTICULAR. Recordamos del enunciado... Entonces, reemplazando la primer condición: Derivamos q(t) para obtener c2: Reemplazando por segunda condición Bien! Teniendo c1 y c2 podemos reemplazar esos valores en nuestra solución general para así obtener la SOLUCION PARTICULAR al problema El valor de la carga en t=0.01 es... Usamos calculadora (Donde C es Coulombs) Ahora: “Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero.” Lo vemos gráficamente (eje horizontal: tiempo. Eje vertical: valor de carga) A diferencia del ejemplo anterior...esta gráfica representa un caso típico de movimiento amortiguado. Generalmente, este tipo de circuitos y los sistemas de resorte / masa amortiguados son casos análogos... que utilizan casi el mismo tipo de ecuaciones diferenciales para describirlos y resolverlos. EL CASO ANÁLOGO AL CIRCUITO SISTEMA RESORTE / MASA : MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO (representa lo mismo que la primer imagen, excepto que el desplazamiento es horizontal acá...) Ecuacion que gobierna este modelo Donde el término que incluye beta podría llamarse el coeficiente de amortiguamiento en esta presentación. Escribiendo en forma estándar Reemplazando algunas variables por conveniencia algebráica nos queda (Comparen con el LRC...) Estamos en condiciones de escribir la ecuación auxiliar Y hasta acá llegamos. Es importante entender que la forma de la SOLUCIÓN GENERAL dependerá del tipo de amortiguamiento y del valor de las raíces. Describir cada posible escenario llevaría mucho tiempo y espacio y por lo tanto procederemos a ver tan solo el caso propio de nuestro caso de estudio... EJEMPLO RESUELTO “Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado a 1 pie por arriba de la posición del equilibro con una velocidad descendente de 8 pie/s. Describa la ecuación de movimiento x(t)” Recordemos: Newton; F = ma y partimos con eso... OBTENER SOLUCION GENERAL Si F = mg y F = 4lb y g = 32 entonces... Esta es una clave también: “ El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea...” O sea 1. y Reemplazando estos datos en la ecuación que gobierna nuestro modelo: Su forma estándar Establecemos la ecuación auxiliar para obtener raíces Notamos que: Las raíces son reales repetidas, por lo tanto la SOLUCION GENERAL ES A nosotros nos interesa obtener una SOLUCION PARTICULAR, y para eso, debemos aplicar ciertas CONDICIONES INICIALES “...la masa se libera desde un punto situado a 1 pie por arriba de la posición del equilibro” Matemáticamente esto es: y “velocidad descendente de 8 pie/s....” Traduciendo: Aplicamos la primer condición Entonces Derivamos x'(t) para aplicar la segunda condición inicial: Reemplazamos Y obtenemos Bien! Con c1 y c2 hallados podemos representar nuestra SOLUCION PARTICULAR No estaría mal hacer una gráfica que describa el movimiento (eje horizontal: tiempo. Eje vertical: posición) Aquí claramente vemos la acción de amortiguamiento. Comparalo con el movimiento armónico simple del primer ejemplo resuelto y sacá tus conclusiones... En fin, te lo digo, en este caso, al cabo de un corto período de tiempo...la masa se restaura a su posición de equilibrio. (Acordate que empezó 1 pie arriba de la posición de equilibrio...o sea desde el -1 en la gráfica) Eso es todo señores! Hasta la próxima!

Buenas! Quería quería compartir un pequeño proyecto en el cual estuve trabajando estos días. Con esto podés visualizar los Top Post de T! sin entrar al sitio Web para ver si hay algo interesante. Me sirvió para aprender Python y mezclarlo con algo de domótica. Primero les muestro algunas imágenes del resultado final: En el post no pretendo hacer un paso a paso, sino mas bien orientar un poco quienes estén interesados en utilizar estas herramientas, pero no tienen mucha práctica en el tema (Como es mi caso) #1 Instalar WiringPi WiringPi es una librería hecha en C, pero está disponible tanto para usuarios de Ruby como de Python. El objetivo es tener una única plataforma común y set de funciones para acceder a los GPIO's de la Rasberry Pi en distintos lenguajes. Para instalarlo nada más simple que escribir lo siguiente en consola: Es importante que recuerden que WiringPi enumera de forma distinta los pines GPIO de la Raspberry Pi, acá dejo una imagen: Esta librería me pareció interesante porque vamos a poder controlar los LCD Display HD44780 y los registros de desplazamiento 74HC595N usando unas funciones bastante simples (Lo vemos más adelante). #2 Entender los tags del lenguaje HTML (Un poco, no es necesario saber 100% HTML) Como dijimos, vamos a sacar información (web scraping) del sitio web Taringa!, pero para eso primero necesitamos entender cómo están almacenadas las variables que queremos obtener (Título del post, autor y puntos obtenidos). Como se aprecia en la imagen podemos sacar algunas conclusiones rápidamente: 1.<u1 style class=PERIODO> nos indicará qué período se está mostrando en la página. Más arriba pueden ver los distintos períodos en el modo display:none 2.<div class=”count>PUNTOS</div> nos indica los puntos del post. 3.<h3>TITULO</h3> nos indica el título del post. 4.Por último <p class= “icon-usuarios”>::before AUTOR </p> nos indica el autor del post. Sabiendo los tags que contienen cada variable que queremos obtener, podemos empezar a programar un poquito con Python. ¿Pero cómo extraemos esos valores? #3 BeautifulSoup Beautiful Soup es una biblioteca de Python para analizar documentos HTML (incluyendo los que tienen un marcado incorrecto). Esta biblioteca crea un árbol con todos los elementos del documento y puede ser utilizado para extraer información. Los pasos de instalación + ejemplos los pueden ver acá: (Hacé las pruebas!) #4 Entender los registros de desplazamiento 74HC595N Son Circuitos Integrados que sirven para almacenar un número binario de tantos bits como biestables contenga el Circuito (En nuestro caso: 8). Se construyen a partir de biestables de tipo D. A nosotros nos interesan los registros del tipo serie-paralelo (Entrada Serie -> Salida Paralelo), con esto podremos ahorrar la cantidad de pines que utilizamos en nuestro Raspberry Pi para conectar los LCD Display HD44780. Pines relevantes del 74HC595N: Importante: de los 8 pines destinados a la salida en paralelo que tiene el 74HC595N, solamente utilizaremos 6 (QA, QB, QC, QD, QE, QF) que corresponden respectivamente a los pines de CUALQUIER (16x2, 20x4) LCD Display HD44780 (RS, E, DB4, DB5, DB6, DB7) Aprender a usar este integrado me pareció interesante porque en vez de tener que conectar 12 pines a nuestra RPI solamente utilizaremos 6. #5 Hacer las conexiones de cableado Esta parte es todo un tema, porque son muchos cables y si no tenés mucha idea de dónde va conectada cada cosa podés llegar a estar bastante tiempo hasta que te des cuenta lo que está mal. Por eso dejo una imagen de cómo quedaría todo conectado: Utilizando siempre la notación de los pines de WiringPi para la RPI, usamos los pines enumerados 0, 1 y 2 para el primer 74HC595N (el de la izquierda en la imagen) y los pines 3, 4 y 5 para el segundo 74HC595N. Como ven en la imagen, si quieren puede usar un potenciómetro (10K) para cada LCD pero no es algo que se necesite si o si. #6 Escribir el código completo en Python Les dejo una "foto-receta oficial (?" con los pasos que seguí, igual dejo a mano los archivos fuentes escritos en python: Dejo el código fuente acá El código no es de lo mejorcito que hay, teniendo en cuenta que no sabía nada de Python, puede mejorarse muchiiisimo. (Pero funciona 100%) #7 Programar tareas con Cron Hay excelentes guías en internet sobre cómo usar Cron para programar tareas en Linux. En esencia es indicarle a tu Raspberry PI en qué momento del día/s querés que tu script en Python se ejecute. Este enlace me sirvió a mí. Video link: https://www.youtube.com/watch?v=sTJOeWLRtWo&feature=youtu.be Edit: en el video algunos top no se muestran en el orden correcto (despues del décimo), cuando termine de corregirlo subo un nuevo video. Fin del post