Buenas! En este post hablaré sobre aplicaciones de modelado utilizando ecuaciones diferenciales.
La idea se me ocurrió luego de pasar por el post de @LFA-R35 en el que desarrolla teoría sobre el tema. Es FUNDAMENTAL pasar por su post para entender este.
Les dejo el link:
(una imagen vale mas que mil palabras)
El concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas.
Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.
Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán extraer conclusiones.
Entonces; ¿Tiene sentido utilizar como herramienta las ecuaciones diferenciales? Sí. Puesto que además de describir el comportamiento de un fenómeno, también involucra la evolución del mismo con el paso del tiempo.
“Muy utilizada para describir el crecimiento de ciertas poblaciones en cortos períodos de tiempo.”
Ecuación que gobierna este modelo:
Escribimos la ED en forma estándar
Aplicamos el método del factor integrante
(aquí se ignora la constante de la integral en la exponencial)
Planteamos para resolver
Integramos y obtenemos
Despejamos P y reemplazamos los valores correspondientes. Reconocemos que P = P(t) y obtenemos la SOLUCIÓN GENERAL del modelo:
Pero esto no es todo. Deberíamos aplicar las condiciones iniciales en función del problema que se nos plantee, como dijimos, nos interesa aplicar estos conocimientos en situaciones reales.
“La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?”
¿Qué sabemos nosotros hasta aquí? Bien. Veamos.
“... La población inicial de 500...”
Matemáticamente esto nos quiere decir que:
“ La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años...”
Esto nos dá otra pista:
Tenemos suficiente información para determinar la constante de proporcionalidad inherente a este caso particular (k). Podremos responder la primer incógnita: “¿Cuál será la población pasados 30 años?”
Utilizando la ecuación que obtuvimos cuando buscamos la solución general, reemplazamos por el primer dato obtenido para obtener el valor de c (con P(0) = 500; t = 0):
Entonces
Bien. Obtuvimos c. Reemplazamos este hallazgo en la ecuación que gobierna nuestro modelo:
También sabemos que P(10) = 575. Este dato nos será muy útil para determinar k.
Entonces:
Hallando c y k los utilizamos para reemplazar en nuestra SOLUCIÓN GENERAL y así obtener la SOLUCIÓN PARTICULAR
Para responder la pregunta ahora simplemente debemos evaluar P(30).
Usando una calculadora obtenemos
Un gráfico que describe el comportamiento del crecimiento
(eje horizontal: tiempo. eje vertical: población)
Como podemos observar todas las poblaciones que se rigen bajo esta ecuación diferencial crecen de manera exponencial. Lo cual es muy raro para las poblaciones de personas hoy en día. Es por eso que este modelo se considera ineficiente. Existen modelos mucho más precisos.
“Utilizada para saber la rapidez con la que se calienta/enfría un objeto en relación con el medio que le rodea”
Donde T representa la temperatura, Tm la temperatura ambiente (constante), t el tiempo y k es una constante de proporcionalidad a determinar.
Reconocemos que podemos utilizar el método de separación de variables:
Integramos ambos lados de la ED
Obtenemos
Aplicamos propiedades de logaritmos y exponenciales
(renombramos c y lo reemplazamos por c1 por conveniencia algebráica)
Despejamos T. Reconocemos que T = T(t) y obtenemos la SOLUCION GENERAL del modelo
Nuevamente, esto no es todo. Esta ecuación debe resultarnos útil para resolver alguna situación en particular...
Veamos qué información podemos obtener del enunciado...
“Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F....”
Bien, matemáticamente esto es:
“Tres minutos después su temperatura es 200°F...”
Traduciendo esto:
Y por último, nuestra incógnita:
“¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70°F?”
Bien, procedemos con nuestros datos a plantear la solución al problema. Lo que queremos es siempre lo mismo: obtener una solución particular para este problema.
Resulta sencillo hallar c partiendo de T(0) = 300:
Reemplazando c en nuestra solución general:
Nos queda hallar k. Conociendo c y además sabiendo que T(3) = 200 podemos obtenerlo.
Entonces:
Con uso de calculadora obtenemos k:
Bien! Tenemos todo lo que necesitamos para construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR (c y k)
Ahora, para responder a la pregunta, simplemente tenemos que encontrar el valor de t para el cual la función se vuelve 70.
Si resolvemos esto, veremos que la ED no tiene una solución finita para T(t) = 70.
Pero podríamos consultar un gráfico y ver cómo se comporta la función al transcurrir el tiempo...
(eje horizontal: tiempo. eje vertical: temperatura )
“La suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(di/dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t)) al circuito.”
Un dibujito para aclarar un poco...
En fin, lo importante que nosotros queremos saber acá es que existe una ecuación diferencial que gobierna esta clase de circuitos y que podemos utilizarla para calcular la corriente (i) que circula a través del mismo en un determinado tiempo t.
Ecuación que gobierna el modelo
Donde L es la inductancia, R es la resistencia y E(t) el voltaje aplicado al circuito. Todas son constantes.
Escribimos en su forma estándar
(nótese que reemplazamos E(t) por E0. Nos interesa la corriente y no el voltaje)
Reconocemos que es una ED Lineal. Aplicamos el método de factor integrante:
Planteamos método
Integramos
Despejando i y reconociendo que i = i(t), obtenemos nuestra SOLUCION GENERAL
Bien, lo primero que podríamos hacer aquí es reconocer el valor de nuestras constantes:
L = 0,5 = 1/2 ; R = 10 ; E = 12
Ahora bien. Nosotros podríamos optar por construir la ecuación basándonos en la ecuación que gobierna esta clase de circuitos de la siguiente forma:
Pero...nosotros ya nos tomamos el trabajo de hallar la SOLUCIÓN GENERAL. Podríamos intentar reemplazar el valor de las constantes directamente ahí y ver qué sucede, ¿no? (Dá lo mismo, garantizado)
Entonces, conociendo L, R y E la solucion general nos queda:
Un dato interesante...
“Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.”
Matemáticamente hablando el dato que tenemos es:
Utilizamos esto para hallar c:
Una vez obtenido c podemos construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR
Hecho! Ya podemos determinar la corriente de nuestro circuito en cualquier instante de tiempo!
Un gráfico para ver qué tal...
(eje horizontal: tiempo, eje vertical: corriente)
Generalmente, los circuitos poseen dos estados. Un estado transitorio, y un estado estable. Vemos que el término exponencial de nuestra solución particular tiene a cero a medida que pasa el tiempo... En la gráfica puede notarse claramente a partir de qué momento sólo se percibe el estado estable.
La idea se me ocurrió luego de pasar por el post de @LFA-R35 en el que desarrolla teoría sobre el tema. Es FUNDAMENTAL pasar por su post para entender este.
Les dejo el link:
UNA BREVE INTRODUCCIÓN
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
(una imagen vale mas que mil palabras)
El concepto de razón de cambio está presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas.
Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.
Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos permitirán extraer conclusiones.
Entonces; ¿Tiene sentido utilizar como herramienta las ecuaciones diferenciales? Sí. Puesto que además de describir el comportamiento de un fenómeno, también involucra la evolución del mismo con el paso del tiempo.
MODELOS LINEALES DE PRIMER ORDEN
CRECIMIENTO / DECAIMIENTO DE POBLACIÓN
“Muy utilizada para describir el crecimiento de ciertas poblaciones en cortos períodos de tiempo.”
Ecuación que gobierna este modelo:
Donde P representa la población, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad a determinar
.
OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN GENERAL
Escribimos la ED en forma estándar
Aplicamos el método del factor integrante
(aquí se ignora la constante de la integral en la exponencial)
Planteamos para resolver
Integramos y obtenemos
Despejamos P y reemplazamos los valores correspondientes. Reconocemos que P = P(t) y obtenemos la SOLUCIÓN GENERAL del modelo:
Pero esto no es todo. Deberíamos aplicar las condiciones iniciales en función del problema que se nos plantee, como dijimos, nos interesa aplicar estos conocimientos en situaciones reales.
EJEMPLO RESUELTO
“La población de un pueblo crece con una razón proporcional a la población en el tiempo t. La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?”
¿Qué sabemos nosotros hasta aquí? Bien. Veamos.
“... La población inicial de 500...”
Matemáticamente esto nos quiere decir que:
“ La población inicial de 500 aumenta un 15% en 10 años...”
Esto nos dá otra pista:
Tenemos suficiente información para determinar la constante de proporcionalidad inherente a este caso particular (k). Podremos responder la primer incógnita: “¿Cuál será la población pasados 30 años?”
Utilizando la ecuación que obtuvimos cuando buscamos la solución general, reemplazamos por el primer dato obtenido para obtener el valor de c (con P(0) = 500; t = 0):
Entonces
Bien. Obtuvimos c. Reemplazamos este hallazgo en la ecuación que gobierna nuestro modelo:
También sabemos que P(10) = 575. Este dato nos será muy útil para determinar k.
Entonces:
Hallando c y k los utilizamos para reemplazar en nuestra SOLUCIÓN GENERAL y así obtener la SOLUCIÓN PARTICULAR
Para responder la pregunta ahora simplemente debemos evaluar P(30).
Usando una calculadora obtenemos
Respuesta: La población luego de 30 años será de 746 personas. (en realidad nos dá un número
racional, pero no podemos contar fracciones de personas).
racional, pero no podemos contar fracciones de personas).
Un gráfico que describe el comportamiento del crecimiento
(eje horizontal: tiempo. eje vertical: población)
Como podemos observar todas las poblaciones que se rigen bajo esta ecuación diferencial crecen de manera exponencial. Lo cual es muy raro para las poblaciones de personas hoy en día. Es por eso que este modelo se considera ineficiente. Existen modelos mucho más precisos.
ENFRIAMIENTO / CALENTAMIENTO
“Utilizada para saber la rapidez con la que se calienta/enfría un objeto en relación con el medio que le rodea”
Ecuación diferencial que gobierna este modelo
Donde T representa la temperatura, Tm la temperatura ambiente (constante), t el tiempo y k es una constante de proporcionalidad a determinar.
OBTENCIÓN DE SOLUCION GENERAL
Reconocemos que podemos utilizar el método de separación de variables:
Integramos ambos lados de la ED
Obtenemos
Aplicamos propiedades de logaritmos y exponenciales
(renombramos c y lo reemplazamos por c1 por conveniencia algebráica)
Despejamos T. Reconocemos que T = T(t) y obtenemos la SOLUCION GENERAL del modelo
Nuevamente, esto no es todo. Esta ecuación debe resultarnos útil para resolver alguna situación en particular...
EJEMPLO RESUELTO
]“Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Tres minutos después su temperatura es 200°F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70°F?”
Veamos qué información podemos obtener del enunciado...
“Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F....”
Bien, matemáticamente esto es:
“Tres minutos después su temperatura es 200°F...”
Traduciendo esto:
Y por último, nuestra incógnita:
“¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 70°F?”
Bien, procedemos con nuestros datos a plantear la solución al problema. Lo que queremos es siempre lo mismo: obtener una solución particular para este problema.
Resulta sencillo hallar c partiendo de T(0) = 300:
Reemplazando c en nuestra solución general:
Nos queda hallar k. Conociendo c y además sabiendo que T(3) = 200 podemos obtenerlo.
Entonces:
Con uso de calculadora obtenemos k:
Bien! Tenemos todo lo que necesitamos para construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR (c y k)
Ahora, para responder a la pregunta, simplemente tenemos que encontrar el valor de t para el cual la función se vuelve 70.
Si resolvemos esto, veremos que la ED no tiene una solución finita para T(t) = 70.
Pero podríamos consultar un gráfico y ver cómo se comporta la función al transcurrir el tiempo...
Graficamos nuestra solución particular
(eje horizontal: tiempo. eje vertical: temperatura )
Vemos que la temperatura se estabiliza en 70°F cerca de los 28 minutos aproximadamente...
CIRCUITO EN SERIE
Bien, la Teoría de Circuitos no es lo mío, pero aparentemente, según la segunda Ley de Kirchoff aplicada a un circuito LR...
“La suma de la caída de voltaje a través del inductor (L(di/dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t)) al circuito.”
Un dibujito para aclarar un poco...
En fin, lo importante que nosotros queremos saber acá es que existe una ecuación diferencial que gobierna esta clase de circuitos y que podemos utilizarla para calcular la corriente (i) que circula a través del mismo en un determinado tiempo t.
Ecuación que gobierna el modelo
Donde L es la inductancia, R es la resistencia y E(t) el voltaje aplicado al circuito. Todas son constantes
OBTENCIÓN DE SOLUCIÓN GENERAL
Escribimos en su forma estándar
(nótese que reemplazamos E(t) por E0. Nos interesa la corriente y no el voltaje)
Reconocemos que es una ED Lineal. Aplicamos el método de factor integrante:
Planteamos método
Integramos
Despejando i y reconociendo que i = i(t), obtenemos nuestra SOLUCION GENERAL
Bien! Obtuvimos la ecuación diferencial que gobierna un circuito RL. Pero necesitamos un caso de estudio en el que podamos aplicar esta nueva ecuación...
EJEMPLO RESUELTO
“Una batería de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 0,5 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.”
Bien, lo primero que podríamos hacer aquí es reconocer el valor de nuestras constantes:
L = 0,5 = 1/2 ; R = 10 ; E = 12
Ahora bien. Nosotros podríamos optar por construir la ecuación basándonos en la ecuación que gobierna esta clase de circuitos de la siguiente forma:
Pero...nosotros ya nos tomamos el trabajo de hallar la SOLUCIÓN GENERAL. Podríamos intentar reemplazar el valor de las constantes directamente ahí y ver qué sucede, ¿no? (Dá lo mismo, garantizado)
Entonces, conociendo L, R y E la solucion general nos queda:
Un dato interesante...
“Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.”
Matemáticamente hablando el dato que tenemos es:
Utilizamos esto para hallar c:
Una vez obtenido c podemos construir nuestra SOLUCIÓN PARTICULAR
Hecho! Ya podemos determinar la corriente de nuestro circuito en cualquier instante de tiempo!
Un gráfico para ver qué tal...
(eje horizontal: tiempo, eje vertical: corriente)
Generalmente, los circuitos poseen dos estados. Un estado transitorio, y un estado estable. Vemos que el término exponencial de nuestra solución particular tiene a cero a medida que pasa el tiempo... En la gráfica puede notarse claramente a partir de qué momento sólo se percibe el estado estable.