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Escribo este blog para aclarar algunas confusiones que surgen al momento de calcular raíces cuadradas, las cuales se deben habitualmente a un desconocimiento de la propia definición. La definición de raíz cuadrada de un número x es otro número tal que multiplicado por sí mismo es igual a x. Por ejemplo, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4, ya que 2² = 4 y (-2)² = 4. En general, todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, pero la confusión aparece al utilizar el operador √ en alguna fórmula. Contrariamente a una creencia bastante común, dicho operador no se refiere a ambas raíces, sino solamente a la que no es negativa. Por eso se le conoce como raíz cuadrada principal o positiva. De esta manera, tenemos el siguiente resultado. Si queremos la raíz cuadrada negativa de 4, escribimos -√4. También se le llama función raíz cuadrada a este operador. Es una función porque para una misma entrada sólo provee una salida posible. Por simplicidad, se le suele llamar simplemente "raíz cuadrada", y así nos referiremos a ella de aquí en adelante, pero no hay que olvidar que con esto estamos denotando únicamente a la raíz no negativa. En la siguiente imagen podemos ver un trozo de su gráfica. Su gráfica está únicamente sobre el primer cuadrante del plano cartesiano, lo que indica que tanto su dominio como su rango son los reales no negativos. No admite entradas negativas porque no existe número real tal que multiplicado por sí mismo dé un negativo, y eso debido a las reglas de los signos para la multiplicación: (-)*(-) = (+) y (+)*(+) = (+). Si permitimos como salida números complejos, entonces las entradas sí pueden ser negativas, pero nos restringiremos a números reales en este blog. Ahora podemos proceder a contestar la cuestión principal. ¿Cuál es el resultado de raíz cuadrada de x elevada al cuadrado? Se podría pensar que como sacar raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2, entonces el 2 que eleva a la x se cancela con el 1/2. Sin embargo, este razonamiento es erróneo. Nótese que como el randicando es x², el cual tiene que ser forzosamente positivo o cero, la x puede tomar cualquier valor (positivo, negativo o cero), y la función raíz cuadrada estará bien definida en cualquier caso. Si decimos que el resultado es x, pero x era negativa, la función estará devolviendo un valor negativo, lo cual viola su propia definición. En general, no están definidas las potencias de números negativos en donde el exponente no es entero, y eso se debe a que el signo es desconocido. Por ejemplo, si el exponente n es entero, sabemos de antemano el signo de (-2)^n. Si n es par, el signo será positivo, y si n es impar, el resultado será negativo. Pero, ¿cuál es el signo de (-2) elevado a la pi? No se ha logrado definir, así que las potencias con exponente no entero las reservamos para bases positivas, y es por ello que el razonamiento anterior para calcular raíz cuadrada de x al cuadrado no es válido en el caso de que x sea negativa. Observemos este ejemplo: De aquí se concluye que cuando x es positiva (o cero), el resultado x está bien definido, pero cuando x es negativa, el resultado debe ser -x, de modo que dé un valor positivo. Esto se resume como: raíz cuadrada de x elevada al cuadrado es igual al valor absoluto de x, que se denota como |x|. Recordemos que el valor absoluto de x se define como 1) |x| = x en caso de que x≥0, 2) |x| = -x en caso de que x<0. Su gráfica es: El mismo razonamiento lo podemos extender para cualquier potencia par. Supongamos que n es un entero. Entonces: Ahora veamos cómo aplica esto en ecuaciones. Supongamos que tenemos que hallar las soluciones de x² = 9. Aplicamos raíz en ambos miembros y queda: En este caso la ecuación tiene dos soluciones, pero lo que quiero señalar aquí es que no es el operador √ el que retorna dos valores, ni tampoco el valor absoluto. Nótese que el operador ± solamente apareció después de que despejamos la x completamente. Lo que sucede es que hay dos posibles x, es decir, dos posibles entradas, tales que la salida de la función valor absoluto es la misma. Una cosa es que en el dominio haya dos valores para los cuales su imagen coincide (caso de función no inyectiva), y otra cosa muy diferente es que un mismo valor tenga dos salidas distintas (en cuyo caso no se le puede llamar función a esa relación). Así, por ejemplo, sería incorrecto escribir |x| = ±3, y si ya tenemos una entrada fija (una x establecida), también hay un solo valor retornado: |3| = 3 |-3| = 3 Por ende, si tenemos una igualdad como (4-9/2)² = (5-9/2)², al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros para cancelar el cuadrado nos queda: Aclaro esto para refutar la creencia generalizada de que en esta igualdad, al aplicar raíz cuadrada se obtienen cuatro "ecuaciones" posibles (debidas a las combinaciones de tomar la "solución" positiva o la negativa en cada miembro), por lo que hay que considerarlas todas y luego ir descartando las absurdas. En realidad, solamente hay una igualdad válida correspondiente. Por último, es importante señalar que no es lo mismo raíz cuadrada de x al cuadrado que la raíz cuadrada de x, con toda la raíz elevada al cuadrado. En el primer caso, ya dijimos que eso es igual al valor absoluto de x, en donde x puede tomar cualquier valor. En el segundo caso, la x constituye el radicando de la raíz, por lo que no puede ser negativa, y por ende al luego elevar toda la raíz al cuadrado el resultado ya no requiere ser |x| sino se puede escribir simplemente x, porque ya se conoce el signo de x y no es negativo.

El problema de Monty Hall es un juego que apareció en un concurso televisivo estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un Trato). Su nombre se debe a quien fue el presentador del concurso: Monty Hall. Consiste en lo siguiente: Un concursante debe elegir entre tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, y tras las otras dos hay cabras. (El presentador sabe el contenido tras cada una de las puertas). El concursante elige una puerta al azar y, antes de abrirla, el presentador abre cualquiera de las dos restantes, pero siempre revelando una cabra, quedando así dos puertas cerradas: una con el coche, y otra con la segunda cabra. El presentador le pregunta al concursante si desea cambiar su elección inicial por la otra puerta que quedó cerrada, o si desea mantenerla. Sabiendo que lo que el concursante desea ganar es el carro, ¿debería cambiarla para aumentar las probabilidades de obtenerlo, o eso resulta irrelevante? La respuesta es que debería cambiarla, ya que como era más probable haber elegido una cabra al principio, es más verosímil que la otra sea la correcta. Pero por si tienes dudas con esto, lo cual no es difícil si es la primera vez que lo ves, agrego mi explicación. En la primera fase se realiza una selección aleatoria entre las tres puertas. Podría seleccionarse una que esconda una cabra (dos opciones), o una que esconda un carro (una sola opción). En los dos casos en que se selecciona una con una cabra, el hecho de cambiar hace ganar, y sólo en el caso en que se selecciona la del coche, el hecho de cambiar hace perder. Por el contrario, el no cambiar hace perder en los dos casos en que se selecciona una con una cabra, y sólo hace ganar en el caso en que se selecciona la del coche. Como puede notarse, las dos fases del juego no son eventos independientes, ya que la puerta seleccionada primeramente decide cuáles van a ser los resultados posteriores para cada tipo de estrategia. En la ilustración de abajo resalto el hecho de cambiar con color amarillo para indicar que es la mejor estrategia, porque es la que coincide mayor cantidad de veces con "ganar". El único caso en donde no coincide amarillo con amarillo es cuando al principio se eligió la puerta con el coche. Si se elige cambiar, se ve que hay tres posibles casos de los cuales dos resultan en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche aplicando esa estrategia es de 2/3. Usando la estrategia de no cambiar, hay tres posibles resultados de los cuales uno solo resulta en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche de esa forma es de 1/3. La única forma de que se pierda haciendo el cambio es habiendo acertado el coche desde el principio, lo cual es más difícil que ocurra. A pesar de ver el árbol es posible que mucha gente siga confundida, porque dicen que al final sólo hay dos puertas: una que hace ganar y otra que hace perder. Eso es cierto, pero lo importante son los caminos que llevan a los distintos resultados y no la cantidad de puertas que quedan. La puerta que se seleccionó al principio resulta ser la correcta menos cantidad de veces que la otra que dejó cerrada el presentador, por lo que las probabilidades no son de 1/2 para cada una. Hay un juego que emplea la misma lógica, y que tal vez resulte más obvio. Supongamos que tenemos tres mesas para escoger, cada una de las cuales tiene dos cartas boca abajo, una de una pinta roja y una de una pinta negra. Se sabe, además, que en dos de las mesas la carta de la izquierda es la roja, y en el otro, la carta de la izquierda es la negra, pero no se sabe cuál mesa es cuál. Aquí se muestra una posible configuración. Una vez elegida al azar una de las tres mesas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta roja esté a la izquierda? La respuesta es 2/3. Lo importante en este juego es que hay dos mesas cuya carta roja está a la izquierda, contra una sola en donde la carta roja está a la derecha. El hecho de que haya dos cartas en la mesa escogida no hace que la probabilidad sea de 1/2 para cada color. En el problema de Monty Hall, la etapa de seleccionar una de las tres puertas al principio tiene el mismo efecto que la etapa de seleccionar la mesa en este juego. El error principal es pensar que las probabilidades siempre tienen que distribuirse equitativamente para cada posible elección. Esa confusión surge porque una fórmula que nos enseñan para calcular probabilidades es: Número de casos favorables / Número de casos posibles Pero para poder aplicar esta fórmula, es importante saber de antemano que cada uno de los eventos que puede considerarse como "caso" debe tener el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, al lanzar un dado, decimos que cada uno de los seis posibles resultados tiene probabilidad 1/6 de salir, porque suponemos que el dado está construido simétricamente. Pero esa probabilidad no sería cierta si el dado no estuviera balanceado, a pesar de que seguirían siendo seis resultados posibles. Algún resultado tendería a salir más veces que otro. Por poner otro ejemplo: supongamos que tenemos varias tarjetas, las cuales pueden ser de dos tipos: unas dicen "A-B" y otras dicen "B-A". Las tarjetas son las siguientes: B-A B-A A-B A-B A-B A-B A-B A-B A-B A-B A pesar de que hay dos posibles tipos de tarjetas, no nos atreveríamos a decir que seleccionando una de ellas al azar, la probabilidad de que salga A-B o de que salga B-A es 1/2 para cada caso, porque hay más tarjetas de un tipo que de otra. En fin, puede notarse que lo importante no es la cantidad de posibles resultados que hay, si por alguna razón algún resultado tiende a repetirse más que otro. También podría pensarse en un juego en donde se agregan puertas en lugar de eliminarlas. Supongamos que tenemos dos puertas, de las cuales se sabe que una tiene un premio y la otra no. Si elegimos una al azar, la probabilidad de haber acertado el premio es de 1/2. Luego podrían agregarse cinco puertas más, cada una con premio. Nótese que ahora hay seis puertas con premio y una sin premio, pero eso no hace que la que habíamos elegido antes tenga probabilidad de 6/7, ya que las puertas nuevas no alteran el contenido de la nuestra.