El problema de Monty Hall es un juego que apareció en un concurso televisivo estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un Trato). Su nombre se debe a quien fue el presentador del concurso: Monty Hall.
Consiste en lo siguiente: Un concursante debe elegir entre tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, y tras las otras dos hay cabras. (El presentador sabe el contenido tras cada una de las puertas). El concursante elige una puerta al azar y, antes de abrirla, el presentador abre cualquiera de las dos restantes, pero siempre revelando una cabra, quedando así dos puertas cerradas: una con el coche, y otra con la segunda cabra.
El presentador le pregunta al concursante si desea cambiar su elección inicial por la otra puerta que quedó cerrada, o si desea mantenerla. Sabiendo que lo que el concursante desea ganar es el carro, ¿debería cambiarla para aumentar las probabilidades de obtenerlo, o eso resulta irrelevante? La respuesta es que debería cambiarla, ya que como era más probable haber elegido una cabra al principio, es más verosímil que la otra sea la correcta.
Pero por si tienes dudas con esto, lo cual no es difícil si es la primera vez que lo ves, agrego mi explicación.
En la primera fase se realiza una selección aleatoria entre las tres puertas. Podría seleccionarse una que esconda una cabra (dos opciones), o una que esconda un carro (una sola opción).
En los dos casos en que se selecciona una con una cabra, el hecho de cambiar hace ganar, y sólo en el caso en que se selecciona la del coche, el hecho de cambiar hace perder. Por el contrario, el no cambiar hace perder en los dos casos en que se selecciona una con una cabra, y sólo hace ganar en el caso en que se selecciona la del coche.
Como puede notarse, las dos fases del juego no son eventos independientes, ya que la puerta seleccionada primeramente decide cuáles van a ser los resultados posteriores para cada tipo de estrategia.
En la ilustración de abajo resalto el hecho de cambiar con color amarillo para indicar que es la mejor estrategia, porque es la que coincide mayor cantidad de veces con "ganar". El único caso en donde no coincide amarillo con amarillo es cuando al principio se eligió la puerta con el coche.
Si se elige cambiar, se ve que hay tres posibles casos de los cuales dos resultan en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche aplicando esa estrategia es de 2/3. Usando la estrategia de no cambiar, hay tres posibles resultados de los cuales uno solo resulta en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche de esa forma es de 1/3.
La única forma de que se pierda haciendo el cambio es habiendo acertado el coche desde el principio, lo cual es más difícil que ocurra.
A pesar de ver el árbol es posible que mucha gente siga confundida, porque dicen que al final sólo hay dos puertas: una que hace ganar y otra que hace perder. Eso es cierto, pero lo importante son los caminos que llevan a los distintos resultados y no la cantidad de puertas que quedan. La puerta que se seleccionó al principio resulta ser la correcta menos cantidad de veces que la otra que dejó cerrada el presentador, por lo que las probabilidades no son de 1/2 para cada una.
Hay un juego que emplea la misma lógica, y que tal vez resulte más obvio. Supongamos que tenemos tres mesas para escoger, cada una de las cuales tiene dos cartas boca abajo, una de una pinta roja y una de una pinta negra. Se sabe, además, que en dos de las mesas la carta de la izquierda es la roja, y en el otro, la carta de la izquierda es la negra, pero no se sabe cuál mesa es cuál.
Aquí se muestra una posible configuración.
Una vez elegida al azar una de las tres mesas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta roja esté a la izquierda? La respuesta es 2/3.
Lo importante en este juego es que hay dos mesas cuya carta roja está a la izquierda, contra una sola en donde la carta roja está a la derecha. El hecho de que haya dos cartas en la mesa escogida no hace que la probabilidad sea de 1/2 para cada color. En el problema de Monty Hall, la etapa de seleccionar una de las tres puertas al principio tiene el mismo efecto que la etapa de seleccionar la mesa en este juego.
El error principal es pensar que las probabilidades siempre tienen que distribuirse equitativamente para cada posible elección. Esa confusión surge porque una fórmula que nos enseñan para calcular probabilidades es:
Pero para poder aplicar esta fórmula, es importante saber de antemano que cada uno de los eventos que puede considerarse como "caso" debe tener el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, al lanzar un dado, decimos que cada uno de los seis posibles resultados tiene probabilidad 1/6 de salir, porque suponemos que el dado está construido simétricamente. Pero esa probabilidad no sería cierta si el dado no estuviera balanceado, a pesar de que seguirían siendo seis resultados posibles. Algún resultado tendería a salir más veces que otro.
Por poner otro ejemplo: supongamos que tenemos varias tarjetas, las cuales pueden ser de dos tipos:
unas dicen "A-B" y otras dicen "B-A". Las tarjetas son las siguientes:
B-A
B-A
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A pesar de que hay dos posibles tipos de tarjetas, no nos atreveríamos a decir que seleccionando una de ellas al azar, la probabilidad de que salga A-B o de que salga B-A es 1/2 para cada caso, porque hay más tarjetas de un tipo que de otra.
En fin, puede notarse que lo importante no es la cantidad de posibles resultados que hay, si por alguna razón algún resultado tiende a repetirse más que otro.
También podría pensarse en un juego en donde se agregan puertas en lugar de eliminarlas. Supongamos que tenemos dos puertas, de las cuales se sabe que una tiene un premio y la otra no. Si elegimos una al azar, la probabilidad de haber acertado el premio es de 1/2. Luego podrían agregarse cinco puertas más, cada una con premio. Nótese que ahora hay seis puertas con premio y una sin premio, pero eso no hace que la que habíamos elegido antes tenga probabilidad de 6/7, ya que las puertas nuevas no alteran el contenido de la nuestra.
Consiste en lo siguiente: Un concursante debe elegir entre tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, y tras las otras dos hay cabras. (El presentador sabe el contenido tras cada una de las puertas). El concursante elige una puerta al azar y, antes de abrirla, el presentador abre cualquiera de las dos restantes, pero siempre revelando una cabra, quedando así dos puertas cerradas: una con el coche, y otra con la segunda cabra.
El presentador le pregunta al concursante si desea cambiar su elección inicial por la otra puerta que quedó cerrada, o si desea mantenerla. Sabiendo que lo que el concursante desea ganar es el carro, ¿debería cambiarla para aumentar las probabilidades de obtenerlo, o eso resulta irrelevante? La respuesta es que debería cambiarla, ya que como era más probable haber elegido una cabra al principio, es más verosímil que la otra sea la correcta.
Pero por si tienes dudas con esto, lo cual no es difícil si es la primera vez que lo ves, agrego mi explicación.
En la primera fase se realiza una selección aleatoria entre las tres puertas. Podría seleccionarse una que esconda una cabra (dos opciones), o una que esconda un carro (una sola opción).
En los dos casos en que se selecciona una con una cabra, el hecho de cambiar hace ganar, y sólo en el caso en que se selecciona la del coche, el hecho de cambiar hace perder. Por el contrario, el no cambiar hace perder en los dos casos en que se selecciona una con una cabra, y sólo hace ganar en el caso en que se selecciona la del coche.
Como puede notarse, las dos fases del juego no son eventos independientes, ya que la puerta seleccionada primeramente decide cuáles van a ser los resultados posteriores para cada tipo de estrategia.
En la ilustración de abajo resalto el hecho de cambiar con color amarillo para indicar que es la mejor estrategia, porque es la que coincide mayor cantidad de veces con "ganar". El único caso en donde no coincide amarillo con amarillo es cuando al principio se eligió la puerta con el coche.
Si se elige cambiar, se ve que hay tres posibles casos de los cuales dos resultan en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche aplicando esa estrategia es de 2/3. Usando la estrategia de no cambiar, hay tres posibles resultados de los cuales uno solo resulta en ganar, por lo que la probabilidad de llevarse el coche de esa forma es de 1/3.
La única forma de que se pierda haciendo el cambio es habiendo acertado el coche desde el principio, lo cual es más difícil que ocurra.
A pesar de ver el árbol es posible que mucha gente siga confundida, porque dicen que al final sólo hay dos puertas: una que hace ganar y otra que hace perder. Eso es cierto, pero lo importante son los caminos que llevan a los distintos resultados y no la cantidad de puertas que quedan. La puerta que se seleccionó al principio resulta ser la correcta menos cantidad de veces que la otra que dejó cerrada el presentador, por lo que las probabilidades no son de 1/2 para cada una.
Hay un juego que emplea la misma lógica, y que tal vez resulte más obvio. Supongamos que tenemos tres mesas para escoger, cada una de las cuales tiene dos cartas boca abajo, una de una pinta roja y una de una pinta negra. Se sabe, además, que en dos de las mesas la carta de la izquierda es la roja, y en el otro, la carta de la izquierda es la negra, pero no se sabe cuál mesa es cuál.
Aquí se muestra una posible configuración.
Una vez elegida al azar una de las tres mesas, ¿cuál es la probabilidad de que la carta roja esté a la izquierda? La respuesta es 2/3.
Lo importante en este juego es que hay dos mesas cuya carta roja está a la izquierda, contra una sola en donde la carta roja está a la derecha. El hecho de que haya dos cartas en la mesa escogida no hace que la probabilidad sea de 1/2 para cada color. En el problema de Monty Hall, la etapa de seleccionar una de las tres puertas al principio tiene el mismo efecto que la etapa de seleccionar la mesa en este juego.
El error principal es pensar que las probabilidades siempre tienen que distribuirse equitativamente para cada posible elección. Esa confusión surge porque una fórmula que nos enseñan para calcular probabilidades es:
Número de casos favorables / Número de casos posibles
Pero para poder aplicar esta fórmula, es importante saber de antemano que cada uno de los eventos que puede considerarse como "caso" debe tener el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, al lanzar un dado, decimos que cada uno de los seis posibles resultados tiene probabilidad 1/6 de salir, porque suponemos que el dado está construido simétricamente. Pero esa probabilidad no sería cierta si el dado no estuviera balanceado, a pesar de que seguirían siendo seis resultados posibles. Algún resultado tendería a salir más veces que otro.
Por poner otro ejemplo: supongamos que tenemos varias tarjetas, las cuales pueden ser de dos tipos:
unas dicen "A-B" y otras dicen "B-A". Las tarjetas son las siguientes:
B-A
B-A
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A-B
A pesar de que hay dos posibles tipos de tarjetas, no nos atreveríamos a decir que seleccionando una de ellas al azar, la probabilidad de que salga A-B o de que salga B-A es 1/2 para cada caso, porque hay más tarjetas de un tipo que de otra.
En fin, puede notarse que lo importante no es la cantidad de posibles resultados que hay, si por alguna razón algún resultado tiende a repetirse más que otro.
También podría pensarse en un juego en donde se agregan puertas en lugar de eliminarlas. Supongamos que tenemos dos puertas, de las cuales se sabe que una tiene un premio y la otra no. Si elegimos una al azar, la probabilidad de haber acertado el premio es de 1/2. Luego podrían agregarse cinco puertas más, cada una con premio. Nótese que ahora hay seis puertas con premio y una sin premio, pero eso no hace que la que habíamos elegido antes tenga probabilidad de 6/7, ya que las puertas nuevas no alteran el contenido de la nuestra.