Escribo este blog para aclarar algunas confusiones que surgen al momento de calcular raíces cuadradas, las cuales se deben habitualmente a un desconocimiento de la propia definición.
La definición de raíz cuadrada de un número x es otro número tal que multiplicado por sí mismo es igual a x. Por ejemplo, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4, ya que 2² = 4 y (-2)² = 4. En general, todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, pero la confusión aparece al utilizar el operador √ en alguna fórmula. Contrariamente a una creencia bastante común, dicho operador no se refiere a ambas raíces, sino solamente a la que no es negativa. Por eso se le conoce como raíz cuadrada principal o positiva. De esta manera, tenemos el siguiente resultado.
Si queremos la raíz cuadrada negativa de 4, escribimos -√4.
También se le llama función raíz cuadrada a este operador. Es una función porque para una misma entrada sólo provee una salida posible. Por simplicidad, se le suele llamar simplemente "raíz cuadrada", y así nos referiremos a ella de aquí en adelante, pero no hay que olvidar que con esto estamos denotando únicamente a la raíz no negativa. En la siguiente imagen podemos ver un trozo de su gráfica.
Su gráfica está únicamente sobre el primer cuadrante del plano cartesiano, lo que indica que tanto su dominio como su rango son los reales no negativos. No admite entradas negativas porque no existe número real tal que multiplicado por sí mismo dé un negativo, y eso debido a las reglas de los signos para la multiplicación:
(-)*(-) = (+) y
(+)*(+) = (+).
Si permitimos como salida números complejos, entonces las entradas sí pueden ser negativas, pero nos restringiremos a números reales en este blog.
Ahora podemos proceder a contestar la cuestión principal. ¿Cuál es el resultado de raíz cuadrada de x elevada al cuadrado? Se podría pensar que como sacar raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2, entonces el 2 que eleva a la x se cancela con el 1/2. Sin embargo, este razonamiento es erróneo.
Nótese que como el randicando es x², el cual tiene que ser forzosamente positivo o cero, la x puede tomar cualquier valor (positivo, negativo o cero), y la función raíz cuadrada estará bien definida en cualquier caso. Si decimos que el resultado es x, pero x era negativa, la función estará devolviendo un valor negativo, lo cual viola su propia definición.
En general, no están definidas las potencias de números negativos en donde el exponente no es entero, y eso se debe a que el signo es desconocido. Por ejemplo, si el exponente n es entero, sabemos de antemano el signo de (-2)^n. Si n es par, el signo será positivo, y si n es impar, el resultado será negativo. Pero, ¿cuál es el signo de (-2) elevado a la pi? No se ha logrado definir, así que las potencias con exponente no entero las reservamos para bases positivas, y es por ello que el razonamiento anterior para calcular raíz cuadrada de x al cuadrado no es válido en el caso de que x sea negativa.
Observemos este ejemplo:
De aquí se concluye que cuando x es positiva (o cero), el resultado x está bien definido, pero cuando x es negativa, el resultado debe ser -x, de modo que dé un valor positivo. Esto se resume como: raíz cuadrada de x elevada al cuadrado es igual al valor absoluto de x, que se denota como |x|.
Recordemos que el valor absoluto de x se define como
1) |x| = x en caso de que x≥0,
2) |x| = -x en caso de que x<0.
Su gráfica es:
El mismo razonamiento lo podemos extender para cualquier potencia par.
Supongamos que n es un entero. Entonces:
Ahora veamos cómo aplica esto en ecuaciones.
Supongamos que tenemos que hallar las soluciones de x² = 9.
Aplicamos raíz en ambos miembros y queda:
En este caso la ecuación tiene dos soluciones, pero lo que quiero señalar aquí es que no es el operador √ el que retorna dos valores, ni tampoco el valor absoluto. Nótese que el operador ± solamente apareció después de que despejamos la x completamente. Lo que sucede es que hay dos posibles x, es decir, dos posibles entradas, tales que la salida de la función valor absoluto es la misma.
Una cosa es que en el dominio haya dos valores para los cuales su imagen coincide (caso de función no inyectiva), y otra cosa muy diferente es que un mismo valor tenga dos salidas distintas (en cuyo caso no se le puede llamar función a esa relación).
Así, por ejemplo, sería incorrecto escribir |x| = ±3, y si ya tenemos una entrada fija (una x establecida), también hay un solo valor retornado:
|3| = 3
|-3| = 3
Por ende, si tenemos una igualdad como (4-9/2)² = (5-9/2)², al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros para cancelar el cuadrado nos queda:
Aclaro esto para refutar la creencia generalizada de que en esta igualdad, al aplicar raíz cuadrada se obtienen cuatro "ecuaciones" posibles (debidas a las combinaciones de tomar la "solución" positiva o la negativa en cada miembro), por lo que hay que considerarlas todas y luego ir descartando las absurdas. En realidad, solamente hay una igualdad válida correspondiente.
Por último, es importante señalar que no es lo mismo raíz cuadrada de x al cuadrado que la raíz cuadrada de x, con toda la raíz elevada al cuadrado. En el primer caso, ya dijimos que eso es igual al valor absoluto de x, en donde x puede tomar cualquier valor. En el segundo caso, la x constituye el radicando de la raíz, por lo que no puede ser negativa, y por ende al luego elevar toda la raíz al cuadrado el resultado ya no requiere ser |x| sino se puede escribir simplemente x, porque ya se conoce el signo de x y no es negativo.
La definición de raíz cuadrada de un número x es otro número tal que multiplicado por sí mismo es igual a x. Por ejemplo, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4, ya que 2² = 4 y (-2)² = 4. En general, todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, pero la confusión aparece al utilizar el operador √ en alguna fórmula. Contrariamente a una creencia bastante común, dicho operador no se refiere a ambas raíces, sino solamente a la que no es negativa. Por eso se le conoce como raíz cuadrada principal o positiva. De esta manera, tenemos el siguiente resultado.
Si queremos la raíz cuadrada negativa de 4, escribimos -√4.
También se le llama función raíz cuadrada a este operador. Es una función porque para una misma entrada sólo provee una salida posible. Por simplicidad, se le suele llamar simplemente "raíz cuadrada", y así nos referiremos a ella de aquí en adelante, pero no hay que olvidar que con esto estamos denotando únicamente a la raíz no negativa. En la siguiente imagen podemos ver un trozo de su gráfica.
Su gráfica está únicamente sobre el primer cuadrante del plano cartesiano, lo que indica que tanto su dominio como su rango son los reales no negativos. No admite entradas negativas porque no existe número real tal que multiplicado por sí mismo dé un negativo, y eso debido a las reglas de los signos para la multiplicación:
(-)*(-) = (+) y
(+)*(+) = (+).
Si permitimos como salida números complejos, entonces las entradas sí pueden ser negativas, pero nos restringiremos a números reales en este blog.
Ahora podemos proceder a contestar la cuestión principal. ¿Cuál es el resultado de raíz cuadrada de x elevada al cuadrado? Se podría pensar que como sacar raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2, entonces el 2 que eleva a la x se cancela con el 1/2. Sin embargo, este razonamiento es erróneo.
Nótese que como el randicando es x², el cual tiene que ser forzosamente positivo o cero, la x puede tomar cualquier valor (positivo, negativo o cero), y la función raíz cuadrada estará bien definida en cualquier caso. Si decimos que el resultado es x, pero x era negativa, la función estará devolviendo un valor negativo, lo cual viola su propia definición.
En general, no están definidas las potencias de números negativos en donde el exponente no es entero, y eso se debe a que el signo es desconocido. Por ejemplo, si el exponente n es entero, sabemos de antemano el signo de (-2)^n. Si n es par, el signo será positivo, y si n es impar, el resultado será negativo. Pero, ¿cuál es el signo de (-2) elevado a la pi? No se ha logrado definir, así que las potencias con exponente no entero las reservamos para bases positivas, y es por ello que el razonamiento anterior para calcular raíz cuadrada de x al cuadrado no es válido en el caso de que x sea negativa.
Observemos este ejemplo:
De aquí se concluye que cuando x es positiva (o cero), el resultado x está bien definido, pero cuando x es negativa, el resultado debe ser -x, de modo que dé un valor positivo. Esto se resume como: raíz cuadrada de x elevada al cuadrado es igual al valor absoluto de x, que se denota como |x|.
Recordemos que el valor absoluto de x se define como
1) |x| = x en caso de que x≥0,
2) |x| = -x en caso de que x<0.
Su gráfica es:
El mismo razonamiento lo podemos extender para cualquier potencia par.
Supongamos que n es un entero. Entonces:
Ahora veamos cómo aplica esto en ecuaciones.
Supongamos que tenemos que hallar las soluciones de x² = 9.
Aplicamos raíz en ambos miembros y queda:
En este caso la ecuación tiene dos soluciones, pero lo que quiero señalar aquí es que no es el operador √ el que retorna dos valores, ni tampoco el valor absoluto. Nótese que el operador ± solamente apareció después de que despejamos la x completamente. Lo que sucede es que hay dos posibles x, es decir, dos posibles entradas, tales que la salida de la función valor absoluto es la misma.
Una cosa es que en el dominio haya dos valores para los cuales su imagen coincide (caso de función no inyectiva), y otra cosa muy diferente es que un mismo valor tenga dos salidas distintas (en cuyo caso no se le puede llamar función a esa relación).
Así, por ejemplo, sería incorrecto escribir |x| = ±3, y si ya tenemos una entrada fija (una x establecida), también hay un solo valor retornado:
|3| = 3
|-3| = 3
Por ende, si tenemos una igualdad como (4-9/2)² = (5-9/2)², al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros para cancelar el cuadrado nos queda:
Aclaro esto para refutar la creencia generalizada de que en esta igualdad, al aplicar raíz cuadrada se obtienen cuatro "ecuaciones" posibles (debidas a las combinaciones de tomar la "solución" positiva o la negativa en cada miembro), por lo que hay que considerarlas todas y luego ir descartando las absurdas. En realidad, solamente hay una igualdad válida correspondiente.
Por último, es importante señalar que no es lo mismo raíz cuadrada de x al cuadrado que la raíz cuadrada de x, con toda la raíz elevada al cuadrado. En el primer caso, ya dijimos que eso es igual al valor absoluto de x, en donde x puede tomar cualquier valor. En el segundo caso, la x constituye el radicando de la raíz, por lo que no puede ser negativa, y por ende al luego elevar toda la raíz al cuadrado el resultado ya no requiere ser |x| sino se puede escribir simplemente x, porque ya se conoce el signo de x y no es negativo.