Función Cuadrática

FUNCION CUADRATICA Buenas... aca les dejo un TP que tuve que hacer para la facultad explicando que es una funcion cuadratica, proponiendo ejercicios para iniciar el tema, desarrollarlo y averiguar cuanto se comprendio! Espero que les sea util!! Marco Teórico Todo monomio o polinomio irreductible de segundo grado en una o más variables es una función cuadrática. Si la función cuadrática tiene una sola variable independiente, dicha función será entera, racional o irracional según la expresión algebraica que contiene a la variable sea entera, racional o irracional, respectivamente. El sistema de representación grafica llamado cartesiano ortogonal permite referir cada punto del plano a dos rectas o ejes, x e y, perpendiculares entre si, mediante un par ordenado de números reales, abscisa y ordenada, respectivamente. Dichos números reciben el nombre de coordenadas del punto y corresponden a las medidas de las distancias del mismo a esos ejes con respecto a un segmento unidad (que puede ser diferente para cada eje). A cada punto del plano corresponde un único par ordenado de números reales (x; y), y recíprocamente. Los ejes constituyen rectas reales con el punto cero coincidente. El plano así determinado se denomina plano real. Este sistema se designa con la notación R x R o R2. Las curvas obtenidas en el gráfico reciben el nombre de parábolas. Estas curvas presentan simetría axial con respecto a rectas paralelas a las ordenadas. El punto de la ordenada mínima o máxima se llama vértice. Si el coeficiente x2 es positivo, la concavidad indicada por la curva está dirigida hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. La fórmula general de las funciones cuadráticas es y= ax2+bx+c, donde x2 es llamado término cuadrático, x término lineal y el que no tiene x término independiente. No obstante a es el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal y c el término independiente. Los números a, b y c son números reales, en la cual a no puede ser nulo porque si no se reduciría a una función de primer grado (función lineal). Resolver una ecuación es determinar los valores de la incógnita que satisfacen dicha ecuación. Esos valores son las raíces de la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Para hallar estas raíces hay que igualar la función a cero y utilizar la siguiente fórmula: X1, X2 =(-b±√(b^2-4ac))/2a Para hallar el vértice de una función cuadrada basta aplicar la siguiente fórmula: Xv= (-b)/(2.a) Luego calcular f(x) con el resultado obtenido. De esta forma resulta Yv; con este punto y con Xv obtenemos las coordenadas del vértice. Para hallar el eje de simetría basta con tener Xv, pues en ese punto pasa la recta vertical que se toma como eje para realizar la simetría axial que me determinará la congruencia de todos los puntos pertenecientes a la parábola. El dominio de la función son todos los números reales y la imagen es un intervalo semicerrado de números reales, cuyo primer término esta dado por el punto del vértice y en escala ascendente si la parábola tiene sus ramas hacia arriba o descendente si tiene sus ramas hacia abajo. En cuanto al discriminante es la fórmula que está dentro de la raíz cuadrada, en la ecuación para hallar las raíces de la función. No obstante es: D=b^2-4.a.c Actividad disparadora: En la botella que has traído realiza dos orificios, uno a 2 cm de la base y otro a 5 cm de la base. Ahora mantené llena de agua la botella. ¿Qué sucede? ¿Cómo son los chorros de agua? Podemos observar que los chorros de agua describen curvas llamadas parábolas. Se presenta el afiche con el siguiente dibujo. Agrúpense en grupos de tres personas y a partir de lo observado deduzcan que propiedad se puede cumplir. La propiedad que se respeta en este ejemplo es que la fuerza con la que sale el agua está en función a la altura de la perforación, por ejemplo el chorro que sale por un orificio que esta a 8cm de la base, le corresponde 2cm de distancia, si lo queremos expresar como una formula obtenemos y= -2x2+8. Ahora, luego de descubrir esta propiedad, realicen con su compañero de banco la siguiente actividad: COMPLETAR: A 6 cm de la base y a 3 cm de distancia ¿qué función corresponde? A 4 cm de la base y 4 cm de distancia ¿qué función corresponde? Actividad de desarrollo Realicen las tablas de valores y las graficas, en distintos colores, en el mismo SECO de cada una de las siguientes funciones: y= x2 grafica roja y= x2 +1 grafica azul y= -x2+4x grafica verde La formula general de las funciones cuadráticas es y= ax2+bx+c, donde x2 es llamado termino cuadrático, x termino lineal y el que no tiene x termino independiente. No obstante a es el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal y c el termino independiente Observemos el punto (0; 0) de la parábola roja (y= x2). ¿Es un punto mínimo o un máximo de la función? ______________________ ¿Y el de las otras dos graficas? _____________________ Estos puntos se denominan vértices de la función y se pueden calcular con la siguiente fórmula: Xv= (-b)/(2.a) Por ejemplo veamos el caso de la función azul, y= x2 +1 Xv= (-b)/(2.a) ¿Cuáles son los valores de a, b y c? a= _____ b= ______ c= ______ Entonces para determinar el vértice, reemplazamos en la fórmula con los números obtenidos de los coeficientes: Xv= (-0)/2.1 Xv=0 Luego a ese valor que nos da Xv lo reemplazamos en la función para determinar la coordenada sobre el eje y. En el caso de la parábola azul nos quedaría Yv= 0^2+1 Yv=1 No obstante, nuestro vértice de la parábola azul se encuentra en el punto (0; 1). ¿En qué puntos se encuentra el vértice de la parábola verde? Hallarlo reemplazando los valores en la formula dada.___________________ Ahora volvamos nuevamente al grafico, ¿Cuál de las parábolas graficadas corta al eje x en el punto 0? ___________ ¿Cuál de ellas lo corta en dos puntos?_____________ ¿Cuál no lo corta? ____________________ La intersección con el eje x se llama ceros de la función, esto quiere decir que son los valores x del dominio que satisfacen la ecuación f(x)=0. Para averiguar cuáles son esos puntos precisamos la siguiente fórmula: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a Ahora que sabemos cuál es la parábola que corta al eje x en 0, intentemos hallarlo a partir de la formula. x=(-b±√(b^2-4ac))/2a a=1 b=0 c=0 x= (-0±√(0^2-4.1.0))/2.1 x=(-0±√(0-0))/2 x=(-0±0)/2 De esto se desprende que: X_1= (-0+0)/2 X_1=0 X_2= (-0-0)/2 X_2=0 Por lo tanto el único cero que tiene la función y= x2 es el cero. ¿Cuáles son los ceros de la parábola verde? C0= { __; __ } Intenten hallarlos con la formula dada anteriormente. Por último observen solamente una de las funciones, la que ustedes quieran. Tracen una recta perpendicular al eje x que pase por el vértice. ¿Cómo es una rama respecto de la otra? ______________ Esa recta que dibujamos se llama eje de simetría, es la que divide a la parábola en dos partes iguales. Con tu compañero de banco piensen cuál podrá ser formula. Actividad final Marcar con una cruz la opción correcta. Justificar resolviendo los problemas. La función f(x)= x2-9 tiene: Un máximo Un mínimo No tiene ceros La función f(x)= -2x2+4 tiene: Ramas hacia abajo y su vértice desplazado hacia la izquierda Ramas hacia arriba y su vértice desplazado hacia la izquierda Ramas hacia arriba y su vértice desplazado hacia la derecha Ramas hacia abajo y su vértice desplazado hacia la derecha Ramas hacia abajo y su vértice no está desplazada ni a la izquierda ni a la derecha La función cuadrática en su definición tiene un coeficiente denominado pendiente Verdadero Falso El dominio de la función f(x)= -2x2+4 es: El conjunto de los numero reales El conjunto de los números reales menos el cero y el dos [0;∞) (0;∞) Un intervalo cerrado de números El discriminante de la función f(x)= 4x2-1x-3 es: Un numero positivo entero Un numero negativo entero Un numero positivo racional Un numero negativo racional Cero Una raíz cuadrada Respuestas y procedimientos esperados En la actividad disparadora los alumnos verán que el agua que sale de los orificios depende de la altura en que éstos se encuentren, pudiendo notar que el agua que sale desde la perforación más cercana a la base recorre una mayor distancia, mientras que el que está más arriba es más corto y sale más redondeado. En la primera actividad se espera que los alumnos intenten armar la formula general para cada caso. En el caso uno seria y= -3x2+6, y el segundo caso y= -4x2+4. En la actividad de desarrollo se propone que trabajen con tablas de valores como lo estudiaron en función lineal, realizando una grafica aproximada, para que luego logren (en el segundo ejercicio), con nuestra ayuda, implementar las formulas propiamente dichas que le corresponden a las funciones cuadráticas. De esta forma se le enseñara al alumno en un primer momento de manera empírica para que luego pueda abstraer los contenidos y así resolver las actividades con los conceptos teóricos. Las tablas de valores, con sus respectivas graficas, quedarían de la siguiente forma: x y=x2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 x y=x2+1 -5 26 -2 5 1 2 2 5 5 26 x y=-x2+4x -2 -12 -1 -5 0 0 1 3 2 4 Luego de graficar las funciones cuadráticas planteadas, se lo va guiando al alumno a que pueda observar de manera critica ciertos puntos especiales de las parábolas. Cuando se pregunta si el punto (0;0) es un mínimo o un máximo, se espera que respondan que es un mínimo ya que es el primer punto de la función. En el caso de la parábola azul pasa lo mismo y en la parábola verde deberían decir que existe un máximo. Luego se espera que los alumnos reconozcan los coeficientes de cada función para que luego reemplacen, en la formula dada, con los valores correspondientes para hallar los vértices. Para la parábola verde la formula quedaría Xv= (-b)/(2.a) Xv= (-4)/(2.(-1)) Xv= (-4)/(-2) Xv= 2 Y para el vértice en el eje y, Yv= -〖(2)〗^2+4.(2) Yv=-4+8 Yv=4 El vértice de la parábola verde se encuentra en el punto (2;4) Con respecto a los ceros de la función, esperamos que los alumnos puedan notar, a través de sus primeras graficas, que la parábola verde corta al eje de las x en dos puntos, la roja en uno y la azul en ningún punto. Luego se les pide que calculen los ceros de la parábola verde reemplazando con los coeficientes de cada termino en la formula plateada. Lo que los llevara a que el conjunto de los ceros sea {0;4}. a= -1 b=4 c= 0 x=(-b±√(b^2-4ac))/2a x= (-4±√(4^2-4.(-1).0))/(2.(-1)) x=(-4±√(16-0))/(-2) x= (-4±√16)/(-2) Entonces: x_1=(-4+√16)/(-2) x_1= (-4+4)/(-2) x_1=0/(-2) x_1=0 x_2=(-4-√16)/(-2) x_2=(-4-4)/(-2) x_2=(-16)/(-2) x_2=4 Por último, para poder graficar una parábola pedimos que tracen una perpendicular al eje x que pasa por el vértice para que puedan observar que la parábola se divide en dos partes iguales; luego planteamos que con su compañero de banco piensen cual sería la formula. El objetivo es que deduzcan que el eje de simetría pasa por el punto que hallaron con la fórmula del vértice en x. En cuanto a la actividad final o actividad de institucionalización, se puede observar que es un múltiple choise donde los alumnos deberán resolver cada consigna aplicando la teoría estudiada, ya sea formulas como graficas. No obstante se espera que las respuestas sean: Tiene un mínimo porque el vértice esta en (0;-9) y las ramas de la parábola estan hacia arriba. Las ramas van hacia abajo porque el coeficiente del término cuadrático es negativo, y su vértice no está desplazado hacia ningún lado porque está en el punto (0;4) Es falso, ya que la pendiente es el término con x de la función lineal. El conjunto de los números reales por definición. El discriminante de la función planteada es un numero positivo entero porque D=49. ACLARACION: CUANDO APARECE EL SIGNO ^ SIGNIFICA "ELEVADO AL .... " Espero que les sirva y cualquier duda pregunten!!