Análisis Matemático, muy bueno.

Hola amigos !!

Les traigo un apunte de análisis matemático, a mi me fue de gran utilidad, esta muy bien explicado y es muy entendible.

Les dejo el índice del mismo

Guías de lectura XX
1. Axiomas de R. Principio de inducción 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1
1.2. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . . . . 7
1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26
II
Índice general III
1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1.2. Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32
2. Funciones elementales 33
2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.5.1. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.5.2. Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.6. Función potencia de exponente real a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.7. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.7.1. Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 45
2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46
2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 46
2.2.8. Las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3. Sobre el concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos . . . . . . . 61
2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3. Números complejos. Exponencial compleja 64
Índice general IV
3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3. Comentarios a la definición usual iDp􀀀1. . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.4. No hay un orden en Ccompatible con la estructura algebraica . . . . . 68
3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . 70
3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal . . . . . . . . . . 72
3.3.2.1. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.3.1. Notación de las raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5. Aplicaciones de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.1. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5.2. Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5.3. Procesamiento digital de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Funciones Continuas y límite funcional 102
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Índice general V
4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.3.1. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.1. Límites laterales de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.2.2. Límites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6. Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6.1. Límites y discontinuidades de funciones monótonas . . . . . . . . . . . 139
4.6.2. Comportamientos asintóticos de las funciones elementales . . . . . . . 140
4.6.2.1. Límites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140
4.7. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5. Números y límites. El infinito matemático 150
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2. Evolución del concepto de número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2.4. El triunfo de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos . . . . . . . . 164
5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3. Evolución del concepto de límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.1. La teoría de las “razones últimas” de Newton . . . . . . . . . . . . . . 166
Índice general VI
5.3.2. La metafísica del Cálculo en D’Alembert y Lagrange . . . . . . . . . . 167
5.3.3. El premio de la Academia de Berlín de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.4. Cauchy y su Cours D’Analyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3.6. Weierstrass nos dio los "􀀀Æ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4. Breve historia del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas . . . . . . . . 178
5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4.1.3. La rueda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 184
5.4.2.1. El infinito en la Escolástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4.2.2. Galileo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4.2.3. El Cálculo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos . . . . 188
5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6. Derivadas 201
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . . . . 202
6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . 202
6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205
6.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación . . . . . 206
6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de
equivalencia logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas . . . . . . . . 221
6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . 221
Índice general VII
6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.3.2. Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4.1. Notación de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . . . . . 235
6.5. Técnicas para calcular límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.5.1. Límites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.5.3. Sobre el uso de la notación lK
ım x!a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat . . . . . . . . . 307
6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308
6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 311
6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . . . 312
6.8.3. Los inventores del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7. Sucesiones 325
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.2. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R . . . . . . . . . . 330
7.2.3. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.2.3.1. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R. . . . . . . . . . 334
Índice general VIII
7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . . 335
7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud de R. . . . . . . . . . 338
7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . 360
7.3.1. Sucesiones y límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.4. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.4.1. Definición de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382
7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8. Integral de Riemann 386
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.2. Aproximaciones al área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral . . . . . . . . . . . . . 391
8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409
8.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
8.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales . . . . . . . . . 428
Cálculo diferencial e integral
Índice general IX
8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.6.4. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.6.4.1. Integración por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable . . . . . . . . . . . . 436
8.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
8.6.8. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . 438
8.6.8.2. Método de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
8.6.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
8.6.10. Integración por racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
8.6.10.1. Integración de funciones del tipo R.sen x;cos x/. . . . . . . 443
8.6.10.2. Integrales del tipo w R􀀀x;L.x/r;L.x/s;:
dx. . . . . 445
8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8.6.10.4. Integrales del tipo w R.e
x/dx . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8.6.10.5. Integración de funciones del tipo R.x;pax2CbxC
/. . 447
8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
8.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.7.1. Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
8.7.4.1. Área encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476
8.7.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
8.7.8. Volúmenes de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . . 481
8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
Cálculo diferencial e integral
Índice general X
8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
8.7.11. Área de una superficie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
8.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
8.8. Evolución de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas . . . . . . . . . . 499
8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes . . . 500
8.8.1.2. El Método de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
8.8.1.3. Área de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
8.8.2. La integración antes del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . . . . 507
8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis . . . . . . . . . . . . . . 509
8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . . 512
8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 513
8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton . . . . . 513
8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514
9. Series numéricas 518
9.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . . . 522
9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . 525
9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
9.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
9.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . . . . . . . . 533
9.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
9.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
9.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
9.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 563
9.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
9.5. Expresión de un número real en base b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
9.6. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
9.6.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
9.6.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
9.7. Cálculo elemental de r
0C1sen xdxy de
P1nD1n2 . . . . . . . . . . . . . . . 578
10. Sucesiones y series de funciones 581
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
10.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . 599
10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600
10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . . 604
10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series . . . . . . 611
10.4.1.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
10.4.1.2. Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
10.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
10.6.1. Newton y las series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

Como podrán ver, hay mucha info !!!


Les aclaro que el archivo es un PDF, por eso al copiarlo no salió muy prolijo el índice, pero mas que nada la idea es que vieran su contenido

En total son 688 páginas

Espero les sea de utilidad !!!


http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf