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Hola Taringeros !!! Les traigo un resumen (ya que en los libros es mas extenso) de los PCGA. Obviamente, esto debe ampliarse con mas teoria y práctica pero para tener una base de cada uno de estos principios es suficiente. Pero, lo mas importante es que contiene ejemplos que nos van a ayudar a entender mejor cada uno de estos principios. Los principios contables generalmente aceptados (PCGA) fueron aprobados por la VII CONFERENCIA INTERAMERICANA DE CONTABILIDAD y la VII ASAMBLEA NACIONAL DE GRADUADOS EN CIENCIAS ECONÓMICAS en mar de Plata en 1965. 1. Equidad Principio que dice que todo estado financiero debe reflejar la equidad entre intereses opuestos, los cuales están en juego en una empresa o ente dado. Ejm: En una empresa hay 3 socios; los cuales son: César, Manuel y Carlos. César tiene el 45% de las acciones, Manuel el 35% y Carlos el 20%. Si las utilidades ascienden a $/.100, César recibe $/.45, Manuel $/.35 y Carlos $/.20. Por tanto se están repartiendo las utilidades de los accionistas equitativamente. 2. Ente Los estados financieros se refieren siempre a un ente donde al propietario se le considera como tercero. Ejm: El Sr. Perez es dueño de una disquera. Perez quiere comprarse una casa en la playa, para eso gasta el sueldo que a él le corresponde en la empresa. En otras palabras: “La empresa no asume sus gastos personales” porque Perez es considerado como tercero. 3. Bienes económicos Principio que establece que los bienes económicos son todos aquellos bienes materiales y/o inmateriales que pueden ser valuados en términos monetarios. Ejm: Como bien inmaterial, puede ser la marca ADIDAS, que es reconocida y preferida por el público, por tanto puede ser valuada en términos monetarios ya que le traerá más ganancias a la empresa si adquiere la marca. Por el lado de bienes materiales, serían las maquinarias de una empresa, las cuales se valoran por su precio de adquisición. 4. Moneda Común Principio que establece que para registrar los estados financieros se debe tener una moneda común, la cual es generalmente la moneda legal del país en que funciona el ente. Ejm: Una empresa Argentina que produce camperas, registra sus actividades financieras en Pesos Argentinos ($) 5. Empresa en marcha Principio por el cual se asume que la empresa a la que se le registra sus actividades financieras tiene vigencia de funcionamiento temporal con proyección al futuro, a menos que exista una buena evidencia de lo contrario. Ejm: Una empresa constructora ha firmado un contrato de colaboración empresarial (Join Venture) por dos años con una empresa de máquinas pesadas. Si otra empresa constructora que tiene un trabajo de construcción de 6 meses quiere aliarse con la primera por las máquinas que posee, puede hacerlo ya que puede observarse plenamente la vigencia de dos años del contrato que tiene la 1º empresa. 6. Ejercicio También se le conoce con el nombre de periodo. Este principio se refiere a que los resultados de la gestión se miden en iguales intervalos de tiempo, para que así los resultados entre ejercicio y ejercicio sean comparables. Ejm: La medición del Plan Contable General se realiza cada 12 meses. 7. Objetividad Los cambios en los activos, pasivos y el patrimonio deben medirse y registrarse objetivamente (adecuadamente) en los registros contables siguiendo todos los principios, tan pronto como sea posible. Ejm: El día 29 de agosto se compran 10 acciones a $10 000, sin embargo al finalizar el mes de octubre sus acciones sólo valen $8000, pero se espera que al terminar el año cuesten $12000. Por lo tanto para tener un registro objetivo se deben hacer algunos ajustes en la contabilidad y registrarlos a tiempo. 8. Prudencia Conocido también como principio de Conservadurismo. Este principio dice que no se deben subestimar ni sobreestimar los hechos económicos que se van a contabilizar. Es decir que cuando se contabiliza, siempre se escoge el menor valor para el activo. Ejm: Si hace 1 mes, compré una máquina a $200 y el mercado ahora lo cotiza a $180. En la contabilidad debo tomar el menor valor del activo, o sea $180. 9. Uniformidad Mientras los principios de contabilidad sean aplicables para preparar los estados financieros, deben ser utilizados uniformemente de ejercicio a ejercicio (de un periodo a otro) para que puedan compararse. En caso contrario debe señalarse por medio de una nota aclaratoria. Ejm: Los cuotas pagadas de un préstamo que realiza una empresa, deben ser consideradas como egresos – que son - en el ejercicio correspondiente. 10. Exposición Este principio dice que todo estado financiero debe tener toda la información necesaria para poder interpretar adecuadamente la situación financiera del ente al que se refieren. Ejm: Una empresa entrega sus estados financieros a sus accionistas con “TODAS” las actividades económicas que ha realizado, para que éstos puedan interpretarla. 11.Materialidad Este principio establece que las transacciones de poco valor significativo no se deben tomar en cuenta porque no alteran el resultado final de los estados financieros. Ejm: Una empresa no va a contabilizar en sus estados financieros cuántos tornillos ha utilizado para fijar las máquinas dentro de su fábrica. Es insignificante. 12. Valuación al costo Es el principal criterio de valuación, que establece que los activos y servicios que tiene un ente, se deben registrar a su costo histórico o de adquisición. Para establecer este costo se deben tomar en cuenta los gastos en transporte y fijación para su funcionamiento. Ejm: La empresa GALLETAS T! S.A. adquirió una máquina para fabricar galletas, la cual costó $3000, como lo trajeron de USA, en transporte se gastó $1200 y para fijar y preparar la máquina en la empresa para su funcionamiento cobraron “$300. Por tanto, en los estados financieros de la empresa, la valuación de la máquina será de $4500. 13. Devengado Las variaciones patrimoniales (ingresos o egresos) que se consideran para establecer el resultado económico competen a un ejercicio (periodo) sin considerar si ya se han cobrado o pagado. Ejm: Consumo agua el mes de enero. El recibo me llega en febrero, por tanto lo pago en febrero. Sin embargo contabilizo como egreso el consumo de agua en el mes de enero, porque es ahí donde se consumió. 14. Realización: Los resultados económicos sólo deben contabilizarse cuando queden realizados a través de medios legales o comerciales (actas, documentos, etc.) donde se toman en cuenta los riesgos inherentes de todo negocio. No se encuentran en este grupo las “PROMESAS O SUPUESTOS” ya que no toman en cuenta los riesgos y no se sabe si los términos del negocio se van a realizar o no. El concepto 'realizado' participa del concepto de devengado. Ejm: Su amigo cierra un negocio con usted, estableciendo las cláusulas del negocio y los riesgos del mismo. Por tanto sí se puede contabilizar dicho negocio ya que cumple con el principio de realización. LOS PRINCIPIOS SE CLASIFICAN EN CUATRO ÁREAS: ÁREA 1: Principio: EQUIDAD El principio de equidad se encuentra en el área 1, porque es el principio general y fundamental para los demás principios. ÁREA 2: Principios: ENTE, BIENES ECONÓMICOS, MONEDA COMÚN, EMPRESA EN MARCHA, EJERCICIO. Estos 5 principios se encuentran en el área 2, porque reflejan el medio socioeconómico. En otras palabras, estos principios hacen referencia a todo lo que tiene que ver con la empresa y el medio económico-social. ÁREA 3: Principios: OBJETIVIDAD, PRUDENCIA, UNIFORMIDAD, EXPOSICIÓN Y MATERIALIDAD. Estos principios están en relación con la información, ya que tienen que ver con la recolección, medición, exposición y forma en que se toma la información. ÁREA 4: Principios: VALUACIÓN AL COSTO, DEVENGADO, REALIZACIÓN. Estos principios se caracterizan por referirse a la valuación, por tanto corresponde a todo lo referido a compromisos de pago, cobro y valorización de activos.

Hola amigos !! Les traigo un apunte de análisis matemático, a mi me fue de gran utilidad, esta muy bien explicado y es muy entendible. Les dejo el índice del mismo Guías de lectura XX 1. Axiomas de R. Principio de inducción 1 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . . . . . . . . . . 1 1.2. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3. Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . . . . 7 1.2.3.2. Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Principio de inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . . 26 II Índice general III 1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1.2. Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales . . 32 2. Funciones elementales 33 2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.1. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.2. Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.6. Función potencia de exponente real a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.7. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.1. Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.2. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . 45 2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante . . . 46 2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente . . . . . 46 2.2.8. Las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3. Sobre el concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos . . . . . . . 61 2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3. Números complejos. Exponencial compleja 64 Índice general IV 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Operaciones básicas con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.3. Comentarios a la definición usual iDp􀀀1. . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.4. No hay un orden en Ccompatible con la estructura algebraica . . . . . 68 3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo . . . . . . . . . . . 70 3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal . . . . . . . . . . 72 3.3.2.1. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3. Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.3.1. Notación de las raíces complejas . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.4.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.5. Aplicaciones de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.1. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5.2. Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5.3. Procesamiento digital de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Funciones Continuas y límite funcional 102 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3.1. La propiedad del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.2. Propiedad de extremo inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Índice general V 4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3.1. Continuidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4. Continuidad en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5. Límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5.1. Límites laterales de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.2.2. Límites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6. Álgebra de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.6.1. Límites y discontinuidades de funciones monótonas . . . . . . . . . . . 139 4.6.2. Comportamientos asintóticos de las funciones elementales . . . . . . . 140 4.6.2.1. Límites de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . 140 4.7. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5. Números y límites. El infinito matemático 150 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.2. Evolución del concepto de número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2.4. El triunfo de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos . . . . . . . . 164 5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3. Evolución del concepto de límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.1. La teoría de las “razones últimas” de Newton . . . . . . . . . . . . . . 166 Índice general VI 5.3.2. La metafísica del Cálculo en D’Alembert y Lagrange . . . . . . . . . . 167 5.3.3. El premio de la Academia de Berlín de 1784 . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.4. Cauchy y su Cours D’Analyse de 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.6. Weierstrass nos dio los "􀀀Æ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4. Breve historia del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas . . . . . . . . 178 5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.4.1.3. La rueda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.1. El infinito en la Escolástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.2. Galileo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.4.2.3. El Cálculo y el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos . . . . 188 5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6. Derivadas 201 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica . . . . . . . . . . . . 202 6.2.1. Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . 202 6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada . . . . 205 6.2.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación . . . . . 206 6.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.2.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas . . . . . . . . 221 6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . 221 Índice general VII 6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.3.2. Reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4.1. Notación de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . . . . . 235 6.5. Técnicas para calcular límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Límites que debes saberte de memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.5.3. Sobre el uso de la notación lK ım x!a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.7.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat . . . . . . . . . 307 6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat . . . . . . . . . . . . . 308 6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes . . . 311 6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow . . . . . . . . . . . . . . 312 6.8.3. Los inventores del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7. Sucesiones 325 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.2. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R . . . . . . . . . . 330 7.2.3. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 7.2.3.1. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R. . . . . . . . . . 334 Índice general VIII 7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass . . . . . . . . . 335 7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud de R. . . . . . . . . . 338 7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.2.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.2.9. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites . . . . . . . 360 7.3.1. Sucesiones y límite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 7.3.3. Sucesiones de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 7.3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 7.4. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 7.4.1. Definición de la exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.4.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.4.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass . . . 382 7.6. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 8. Integral de Riemann 386 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 8.2. Aproximaciones al área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral . . . . . . . . . . . . . 391 8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.3. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.3.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 404 8.4. Teoremas del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real . . . . . . . . . 409 8.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 8.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales . . . . . . . . . 428 Cálculo diferencial e integral Índice general IX 8.6.3. Primitivas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 8.6.4. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 8.6.4.1. Integración por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 8.6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable . . . . . . . . . . . . 436 8.6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 8.6.8. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . 438 8.6.8.2. Método de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.6.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10. Integración por racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 8.6.10.1. Integración de funciones del tipo R.sen x;cos x/. . . . . . . 443 8.6.10.2. Integrales del tipo w R􀀀x;L.x/r;L.x/s;: dx. . . . . 445 8.6.10.3. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.4. Integrales del tipo w R.e x/dx . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.6.10.5. Integración de funciones del tipo R.x;pax2CbxC /. . 447 8.6.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 8.6.12. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.7. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1. Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 8.7.1.1. Regiones de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 8.7.1.2. Regiones de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.7.2. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.7.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.7.4. Curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 8.7.4.1. Área encerrada por una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 476 8.7.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.6. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 8.7.8. Volúmenes de sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución . . . . . . . . . . . . . 481 8.7.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 Cálculo diferencial e integral Índice general X 8.7.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.7.11. Área de una superficie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 8.7.12. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 8.7.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 8.8. Evolución de la idea de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas . . . . . . . . . . 499 8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes . . . 500 8.8.1.2. El Método de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 8.8.1.3. Área de una espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.8.2. La integración antes del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval . . . . . . . . . . . . 507 8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 508 8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis . . . . . . . . . . . . . . 509 8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow . . . . . . . . . . . . . 512 8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes . . . . . . . . . 513 8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton . . . . . 513 8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz . . . . . 514 9. Series numéricas 518 9.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 9.1.1. La particularidad del estudio de las series . . . . . . . . . . . . . . . . 522 9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes . . . . . . . . . . . . . 525 9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 9.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.1.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . . . . . . . . 533 9.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 9.2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 9.3. Criterios de convergencia no absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 9.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta . . . . . . . . . . . 563 9.4.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 9.5. Expresión de un número real en base b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 9.6. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 9.6.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.6.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 9.7. Cálculo elemental de r 0C1sen xdxy de P1nD1n2 . . . . . . . . . . . . . . . 578 10. Sucesiones y series de funciones 581 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 10.2.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias . . . . . . . . . . . . 599 10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 600 10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales . . . . . . . . . 604 10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series . . . . . . 611 10.4.1.1. La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 10.4.1.2. Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 10.5.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 10.5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 10.6. Los primeros desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 10.6.1. Newton y las series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 Como podrán ver, hay mucha info !!! Les aclaro que el archivo es un PDF, por eso al copiarlo no salió muy prolijo el índice, pero mas que nada la idea es que vieran su contenido En total son 688 páginas Espero les sea de utilidad !!! http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf

Hola amigos !! Hoy les traigo una explicación ineteresante sobre que es una función. Realmente es algo simple, pero a la hora de aplicarlo en matemáticas, nos resulta dificil de entender. Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra. Nombres Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres. Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función: Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada: f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado. Así que con la función "f(x) = x2", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir f(4) = 16. Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como y = x2 Relacionar Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro! En realidad, una función relaciona la entrada con la salida. Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16 Ejemplo: Un arbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a: a(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm Volveremos a esta idea después de responder la pregunta... Definición formal de función Una función relaciona cada elemento de un conjunto con un elemento exactamente de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto). "exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale! Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre "X" (relaciona cada elemento de) También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto. Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale. La prueba de la línea vertical En un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez. Si alguna cruzara más de una vez no sería una función. Dominio, codominio y rango En el dibujo de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama rango o imagen. Pares ordenados Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16). Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después. Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16" Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados: Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3". Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3} Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir "si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c" Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes. Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 y 5, o sea no es univaluada Conclusión * una función relaciona entradas con salidas * una función toma elementos de un conjunto (el dominio) y los relaciona con elementos de un conjunto (el codominio). * las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman la imagen o rango * una entrada sólo produce una salida (no una u otra) * una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos un par ordenado * así que una función también se puede ver como un conjunto de pares ordenados

Hola amigos de T! Hoy les traigo alguno recursos de electrónica muy buenos, son simuladores y al final del post una página muy completa con tutoriales de todo tipo: Osciladores, máquinas eléctricas, PLC, PIC, fibra óptica, etc. Para el aprendizaje de la electricidad y la electrónica, hoy en día resulta imprescindible la utilización de simuladores por ordenador, que nos permiten realizar nuestros diseños y nos muestran el funcionamiento de los circuitos de forma virtual antes de su montaje con componentes reales. Son muchos los simuladores de escritorio que se utilizan en distintos niveles educativos, pero en este artículo nos centraremos en los simuladores en línea, cuya principal ventaja es que podemos utilizarlos desde cualquier plataforma, pues se ejecutan a través de un navegador web. CircuitLab Es una aplicación que está recibiendo muy buenas críticas por su sencillez de uso. Permite diseñar muchos tipos de circuitos analógicos y digitales, simularlos, realizar cálculos, guardar los diseños y compartirlos con la comunidad. https://www.circuitlab.com/ Logic.ly Es un simulador de circuitos digitales que tiene dos versiones, una de pago para instalar y otra online. La versión en línea no permite guardar los diseños, pero si permite realizar simulaciones sencillas con puertas lógicas y flips-flops. http://logic.ly/ The Logic Lab Este sencillo simulador online de circuitos digitales permite guardar los diseños realizados. Cuando guardamos el diseño, el programa nos proporciona una URL a la que podemos acceder para ver de nuevo la simulación o continuar modificando nuestro circuito. http://www.neuroproductions.be/logic-lab/ DC/AC Lab Es una aplicación para construir circuitos sencillos y observar su comportamiento. No utiliza símbolos, sino dibujos de los componentes reales, pero podemos realizar mediciones con un multímetro u observar la señal en un osciloscopio. http://www.dcaclab.com/en/lab/ Ohm Zone Es otro sencillo simulador de circuitos eléctricos. Permite medir la intensidad o el voltaje en diferentes puntos del circuito y puede resultar útil para comprender la ley de Ohm en educación secundaria. http://www.article19.com/shockwave/oz.htm Calibrador Son muchas las prácticas que hay que hacer para aprender a manejar con soltura máquinas e instrumentación de los talleres. Los simuladores virtuales nunca sustituyen las prácticas físicas, pero son un estupendo complemento para el aprendizaje, ya que nos permiten practicar desde cualquier lugar y sin necesidad de disponer de la costosa instrumentación. Un ejemplo son los instrumentos de medida. En este artículo podrás probar y evaluar algunos simuladores del calibre y del micrómetro. El calibre, pie de rey o vernier es un instrumento que nos permite realizar mediciones exteriores, interiores y de profundidad en pequeñas piezas con una sensibilidad de fracciones de milímetro. Cuando el 0 del nonio coincide con alguna división de la regla principal se lee directamente su valor. Cuando no coincide, se lee el valor anterior al cero de la regla principal, y el siguiente valor decimal se obtiene leyendo el número del nonio que coincide con alguna línea de la regla. En el ejemplo de la figura se lee inicialmente 2,4 (valor anterior al cero del nonio) y después 0,07 (valor de la división que coincide con una del nonio). El resultado final es 2,4 + 0,07 = 2,47 cm http://www.cenam.mx/dimensional/java/Vernier/Vernier.aspx Micrometro El micrómeto o palmer es un instrumento que permite medir el tamaño de un objeto con gran precisión, en un rango de centésimas o de milésimas de milímetro (micras). Primero nos fijamos en la escala longitudinal. Si el 0 de la escala del tambor coincide con la escala fija, leemos directamente el valor en ella. Si no, leemos el valor anterior al cero y añadimos la medida que se aprecie con las marcas del tambor. En el ejemplo que sigue, en la escala fija se ve la división 9,5 y en el tambor leemos la división 11 de la escala móvil, luego la medida es 9,5 + 0,11 = 9,61 mm. http://www.amazingedu.com/images/demo_flash/AmazingLoader_AP1_1.swf Falstad Applets de Java de ondas y frecuencias, acústica, procesamiento de señales, estática, electrodinámica, mecánica cuántica, termodinámica, entre otras especialidades. Excelentes para visualizar conceptos a partir de datos ingresados. Está en inglés, pero como todo en la ciencia tiene más o menos el mismo nombre. http://www.falstad.com/loadedstring/ Aca les dejo el tutorial, que como les dije , es muy completo ! Unicrom Una gran variedad de guías informativas sobre Microcontroladores PIC, autómatas o PLC, osciladores, fibra óptica, filtros, motores monofásicos, máquinas eléctricas y generadores de señal. Son bastante cortos y consisos, para los que buscan (y entienden) cosas rápidas http://www.unicrom.com/tutoriales.asp

Buenas tardes amigos de T!, les traigo una información realmente muy importante, ya que como todos sabemos, el agua dulce será el gran problema del futuro (aunque en el presente ya se esta sintiendo su falta) En algunas zonas del mundo, como por ejemplo en buena parte de Oriente Medio, la escasez de agua dulce promueve la explotación de recursos hídricos de baja calidad, como los acuíferos salobres, pero es cuestionable que sean sostenibles las prácticas actuales para aprovechar tales acuíferos. Un equipo de investigadores de la Universidad Ben-Gurion del Negev, en Israel, creó un oasis artificial en el desierto, gracias a la aplicación exitosa de un sistema de desalinización, energizado por el Sol, y que es capaz de suministrar agua apta para la irrigación en regiones áridas. Este innovador sistema usa membranas de nanofiltración para tratar el agua salobre local, produciendo agua desalinizada y apta para la irrigación. Los resultados del Proyecto del Oasis Josefowitz demuestran que la irrigación con el agua desalinizada dota de una productividad más alta al agua y a los fertilizantes inorgánicos, en comparación con la productividad derivada de las prácticas convencionales actuales. Las cosechas que crecieron con el agua desalinizada mediante el nuevo sistema requirieron un 25 por ciento menos de irrigación y de fertilizantes que las cosechas irrigadas a la manera tradicional, es decir con agua salobre. En algunos casos, el rendimiento de las cosechas incluso aumentó. La creciente demanda global de alimentos exige que las prácticas agrícolas del futuro sean más eficaces en el uso de los recursos naturales, como la tierra de cultivo y el agua, tal como argumenta Andrea Ghermandi, del equipo de investigación. Los experimentos agrícolas con irrigación utilizando agua de diferentes calidades, distintas frecuencias de aplicación, y cuatro diferentes cultivos agrícolas esenciales, se llevaron a cabo durante dos estaciones de crecimiento. La planta de desalinización operó a baja presión, con un bajo consumo de energía, y requirió poco mantenimiento durante el período. El equipo de Ghermandi, Rami Messalem, Rivka Offenbach y Shabtai Cohen también usó con éxito la remolacha roja, un cultivo tolerante a la sal, para consumir los desperdicios líquidos de la planta desalinizadora piloto durante las dos estaciones de crecimiento. Esto demuestra que el desecho concentrado moderadamente salado, generado como consecuencia de la obtención del agua desalinizada, puede ser un subproducto utilizable.