Paradojas!!

¿Que es una paradoja?

La historia del pensamiento matemático está llena de dificultades de naturaleza lógica que reciben el nombre de paradojas. El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos" y etimológicamente significa "término que contradice la opinión común"; se refiere a aseveraciones en neta contradicción con el sentido común o con los principios de la lógica, que, como tales, sorprenden y divierten.

Muchos podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos del ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

El gato de Schrödinguer

Según el principio de superposición de la mecánica cuántica, un mismo objeto puede estar en dos sitios a la vez. Dicho de otra manera, un mismo objeto podría estar en dos sitios a la vez, solo cuando un observador observa el objeto, este se decide y se sitúa en un lugar u otro. Este principio crea una gran paradoja: ¿es posible que un objeto macroscópico esté en dos sitios a la vez?. Está claro que no, esto solo es aplicable a nivel teórico y desde un punto de vista cuántico.

En 1935, Enwin Schrödinguer, ideó un experimento mental que consistía en encerrar un gato en una habitación. Imaginemos un gato encerrado en una habitación. En la habitación hay una partícula radioactiva con un 50 % de probabilidad de desintegrarse, un recipiente de cristal lleno de un gas mortífero, y un dispositivo de tal forma que si la partícula radioactiva se desintegra este se activa, y rome el recipiente dejando escapar el gas venenoso.

Según Schrödinguer, como que el sistema depende de una sola partícula, el gato estará sometido a las leyes de la mecánica cuántica, por lo que el gato tendrá un estado de vida - muerte, simultáneamente, con un 50 % de probabilidades. Dicho de otra forma, el gato estará vivo - muerto al mismo tiempo y no se definirá hasta que no abramos la habitación.

Está claro que este experimento nunca se ha llegado a realizar y no deja de ser una curiosidad teórica de la mecánica cuántica.

Pero, ¿qué sucede realmente?. ¿Está el gato sometido a dos estados superpuestos vida - muerte realmente?: Está claro que no. El gato es un objeto macroscópico, caliente y caótico, y no está sometido a las leyes de la mecánica cuántica.

Si el principio de superposición queda demostrado en las partículas elementales y en cuerpos macroscópicos no funciona, ¿dónde está el límite?, ¿dónde está la frontera entre el mundo cuántico y el clásico?.

La explicación está en la decoherencia de la materia: cualquier cosa (incluso un objeto macroscópico) empieza como un estado cuántico, existiendo en una superposición de estados, pero cuando interacciona con el ambiente colapsa a un estado único clásico, fenómeno que se conoce como decoherencia cuántica.

Paradoja del abuelo o Paradoja del viaje en el tiempo

Los viajes en el tempo han sido los protagonistas de muchas películas y fantasías. El hombre, no solo ha soñado con conquistar tierras, mares y cielos, también sueña con conquistar el espacio - tiempo. Pero, ¿Son posibles los viajes en el tiempo pasado?. Einstein demostró que los viajes en el pasado son imposibles. Para poder viajar al pasado tendríamos que viajar a una velocidad superior a la velocidad de la luz y esto no es posible. Pero, ¿Qué pasaría si pudiésemos viajar al pasado?

Según las teorías científicas actuales, los agujeros de gusano agrandados, órbitas alrededor de agujeros negros o viajes a la velocidad de la luz podrían utilizarse, al menos teóricamente, para desplazarnos hacia el pasado o el futuro.

Imaginemos por un momento que una persona puede viajar al pasado y matar a su abuela antes de que esta le concibiera. Entonces, si la abuela no vive no puede tener al hijo que en un futuro tendría que ser el padre del viajero en el tiempo y el viajero nunca llegará a nacer. En este punto se crea una paradoja conocida como la paradoja del abuelo o la paradoja del viaje en el tiempo.

En el ano 2029, Skynet, la maquina malvada que odia a los humanos y quiere aniquilarlos, envía al pasado, más concretamente al ano 1985, un exterminador para asesinar a Sarah Connor, madre de Jhon Connor, líder de la resistencia en el ano 2029; matando a la madre el hijo no pude nacer. La resistencia envía para proteger a Sarah al sargento Riks, el cual se enamora de Sarah y la fecunda. En este caso es imposible que el exterminador mate a Sarah, ya que se consigue su objetivo, Sarah no puede tener a John y el exterminador nunca será enviado al pasado para matar a Sarah.

Para Stephen Hawking si los viajes al pasado viajes fueran posibles, ya habría turistas del futuro visitando el planeta el día de hoy. Hawking afirma que si fuera posible viajar al pasado, cualquier acción tendiente a cambiarlo no tendría ningún efecto en el presente. A esto se le conoce como la conjetura de la protección cronológica.

En la película basada en la novela "La máquina del Tiempo", de H. G. Wells (en la novela original este suceso no aparece), se sugiere que los actos que ocurren en el universo son inevitables y suceden en todas sus líneas temporales. Así, la mujer del protagonista muere de muchas maneras diferentes en cada uno de los viajes al pasado de éste.

Una posible alternativa al problema es la teoría de las líneas temporales. Esta teoría postula que no hay una sola línea temporal absoluta, sino que cada partícula puede tener su propia línea temporal. Esta idea viene a ser similar a la de los universos paralelos. También se podría entender que cada vez que se produce una paradoja temporal, se crea un universo paralelo que transcurre por su propia línea temporal.

El físico Seth Lloyd, nos da otra posible solución al afirmar ahora que la máquina del tiempo sería posible, si se desarrollase aprovechando ciertas características de la física cuántica. El modelo de Seth modelo implica que el viajero temporal no podría moverse a sus anchas por el pasado, sino que la máquina que lo traslada estaría predeterminada para realizar ciertas acciones.

Paradoja de la clasificación

Una muy conocida paradoja lógica es esta que expongo a continuación:

Se toman a todas las personas del mundo, y se las clasifica en interesantes y no interesantes. En la lista de no interesantes debe estar la persona menos interesante del mundo. Sin embargo, este hecho ya la hace interesante, por lo que hay que pasarla a la lista de personas interesantes. Ahora, habrá otra persona que será la menos interesante del mundo, por lo que se repite el proceso. De esta forma, al final todas las personas pasan a la lista de personas interesantes, quedando la lista de personas no interesantes vacía. Por tanto, todas las personas del mundo son interesantes.

Esta es una divertida paradoja derivada de otra paradoja de Edwin F. Bechenbach, que demostraba que todo número entero positivo es interesante.
¿Que ocurriría si en vez de buscar a la persona menos interesante en la lista de no interesantes, buscásemos a la persona más interesante de la lista de interesantes? Las listas quedarían como están. La paradoja se presenta cuando se busca en la lista de no interesantes. Se puede utilizar cualquier criterio, y la paradoja se presenta.

La predicción de Swami

¿Podrá Swami ver el futuro a través de su bola de cristal? La predicción del futuro puede llevarnos a un nuevo y curioso tipo de paradojas lógicas.

Un día, el Swami tuvo una discusión con su hija Sue, una adolescente.

Sue: Mira Papá, sólo eres un engañabobos. La verdad es que no puedes predecir el futuro.

Swami: ¡Claro que puedo!

Sue: ¡Qué vas a poder!. ¡Yo te lo demostraré!

Sue anotó algo en un papel, lo dobló, y lo pisó con la bola.

Sue: Ahí tienes descrito un acontecimiento que podrá suceder antes de las tres de la tarde. Si eres capaz de predecir si ocurrirá, no tendrás que comprarme el coche que me prometiste si aprobaba todo. Toma esta ficha en blanco y escribe "Sí" si crees que el acontecimiento va a suceder. Escribe "NO" si no crees que va a ocurrir. Si tu predicción es equivocada, ¿Estarás de acuerdo en comprarme el coche ahora, y no al final de curso?.

Swami: De acuerdo, Sue. Trato hecho.

Swami escribió algo en la ficha. A las tres en punto Sue sacó el papel de debajo de la bola y leyó en voz alta: "Antes de las tres de la tarde escribirá 'NO' en la tarjeta".

Swami: ¡Eso es trampa!, Yo he escrito sí y me equivoqué. Pero si hubiera escrito "NO" también habría perdido. No puedo acertar de ninguna forma.

Sue: Papi, me gustaría un deportivo rojo. ¡Y con asientos anatómicos!

En su versión original, en esta paradoja se tenía un ordenador que sólo puede responder sí o no. Se le pide al ordenador que prediga si su próxima respuesta será "no". Evidentemente, es imposible que la predicción sea lógicamente correcta. En su forma más conocida, la paradoja se plantea al preguntarle a otra persona: "¿Será 'no' la próxima palabra que pronunciará usted?. Por favor, responda diciendo "sí" o "no".

La paradoja del Quijote

En la novela "El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha", en el capítulos LI de la segunda parte del libro, se nos cuenta de una isla donde regía una curiosa ley.

Un guardia pregunta a cada visitante:

Guardia: ¿Para qué viene usted aquí?

Si el viajero contesta con verdad, todo va bien. Pero si dice mentida es ahorcado allí mismo.

Un día, un visitante contestó:

Visitante: ¡He venido aquí para ser ahorcado!

Los guardias quedaron perplejos como el cocodrilo. Si no ahorcan al sujeto, este habría mentido, y por ello debería ser ahorcado. Pero si lo ahorcan, habrá dicho la verdad, y no debería se ajusticiado.

Para decidir la cuestión, el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernados tomó una resolución:

Gobernador: Decida lo que decida tendré que vulnerar la ley. Así pues, seré clemente y dejaré a este inocente.

La paradoja queda oscurecida por la ambigüedad de la declaración del visitante. En efecto, ¿está manifestando su intención, o está hablando de un suceso futuro?. En el primer sentido, el hombre pudo haber dicho la verdad respecto a su intención, y las autoridades podrían no ahorcarlo sin contradecir la ley. Por otra parte, tomada su afirmación en el segundo sentido, cualquier cosa que hagan las autoridades será una contradicción.

Esta paradoja se propone en el clásico libro de Lógica Matemática de A. CHURCH (1956), llamándole ya problema de Cervantes. También, en su conocido texto de Álgebra, GODEMENT enuncia el problema en la forma siguiente:

"Los caníbales de una tribu se preparan a comerse un misionero. Deseando demostrarle una vez más su respeto a la dignidad y a la libertad humana, los caníbales proponen al misionero el decidir él mismo de su suerte haciendo una breve declaración; si ésta es verdadera, el misionero será asado, y si es mentira será hervido. ¿Qué debe decir el misionero para salvar su vida?" (según CERVANTES).

Las paradojas de Zenón

Los antiguos griegos idearon muchas paradojas concernientes al tiempo y al movimiento. Jugando con el significado equívoco de conceptos como el infinito y el infinito, Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el 495 y el 435 a. de C. formuló algunas paradojas, una de las más famosas fue la propuesta acerca de un corredor.


El corredor de Zenón razonaba así:

Corredor: Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. !Nunca podré alcanzar la meta!

Para poner un ejemplo más concreto del razonamiento de Zenón, supongamos que un corredor de maratón A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una suposición absurda porque !no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible, aunque la experiencia común nos diga lo contrario.


Otra famosa paradoja ideada por Zenón es la paradoja de Aquiles. En este caso el guerrero quería alcanzar a una tortuga distante 1 Km.

Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, ésta ha avanzado 10 metros más. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar un poco más.

Tortuga: Nunca podrás cogerme, viejo. !Cada vez que llegues al último lugar donde estuve, yo estaré siempre un poco más adelante, aunque sea la mitad de un pelo!.

Zenón sabía, desde luego, que Aquiles podía alcanzar a la tortuga. Lo que hacía era, simplemente, hacer ver las paradógicas consecuencias de imaginar el espacio y el tiempo formados por una sucesión infinita de puntos e instantes individuales consecutivos, como las cuentas de un collar.


El tercer argumento es el de la flecha. La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, está siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover debería estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiguiente !El movimiento es imposible!


La cuarta y última de las paradojas de Zenón es la paradoja del estadio, y, tal vez, es la más difícil de exponer:

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B. Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos dicho que la velocidad era la misma.

Regresión infinita

- "¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?"

- ¿La gallina? No, pues tuvo que hacer un huevo empollando. ¿El huevo? No, una gallina tuvo que poner antes el huevo.

La clásica paradoja del huevo y la gallina es seguramente el más conocido ejemplo de regresión infinita como se la conoce en lógica.

Jonathan Swift describió en un poema una regresión infinita de pulgas, poema que el matemático August de Morgan recompuso así:



Una pregunta, concerniente a la regresión infinita, que seguramente no costará de contestar es:

- ¿Es nuestro universo, en su continua expansión, todo cuanto existe, o es sólo parte de un sistema más vasto todavía, del que nada sabemos?

Paradoja del cartero o de Russell

Dentro del grupo de paradojas lógicas nos encontramos esta conocida paradoja del tipo "Si sí, entonces no; si no, entonces sí" y constituye una vulgarización de la famosa paradoja de Russell.

Es el caso de un cartero y un barbero de una cierta pequeña ciudad. El cartero tiene la misión de llevar el correo a aquellos que no lo retiren por sí mismos de Correos; de la misma forma, el único barbero existente tiene la misión de afeitar a todos los vecinos de la villa que no se afeiten a sí mismos.

Un buen día, el barbero le dice al cartero: - Por disposición municipal yo puedo afeitar a aquellos habitantes que no se afeiten por sí mismos, por lo que tengo un problema conmigo mismo: si me afeito a mi mismo, entonces, respetando la decisión municipal, no puedo afeitarme, pero si no me afeito sí que puedo afeitarme. Pero si me afeito... En resumen, no se si afeitarme o no.

- Mi situación es aún más complicada -respondió el cartero- Yo solo puedo llevar las cartas a aquellos que no van a la oficina de correos a recogerlas. Y entonces, ¿Qué tengo que hacer con la correspondencia dirigida a mi mismo? Si soy yo mismo el que la retiro, entonces se supone que no me la puedo entregar. Pero si no la retiro, se supone que sí me la puedo entregar.

La paradoja de pinocho

Todos sabemos que pinocho tenía una particularidad muy especial: le crecía la nariz si mentía. Ahora imagínate que Pinocho dice:

- ¡Ahora mismo me crecerá la nariz!

Entonces, ¿Le crece o no?: Si le crece, diría la verdad, lo que significa que nunca le debería haber crecido, entonces se le achica, y eso significa que debe crecerle, lo que significa que Pinocho quedaría atrapado literalmente en este problema.

La paradoja de Protágoras

Acaso una de las más primitivas paradojas conocidas sea la del profesor de leyes griego Protágoras, quien aceptó a un estudiante pobre pero de talento y convino con él en impartirle enseñanza sin cobrarle, a condición de que una vez que el estudiante hubiese completado sus estudios y ganara su primer caso ante los Tribunales, le pagaría a Protágoras una cierta suma, a lo que el estudiante se avino. Pero al terminar sus estudios, el estudiante no emprendió ningún caso legal y Protágoras demandó al estudiante en reclamación de esta suma. He aquí los argumentos que ambos alegaron ante el tribunal:

Estudiante: Si yo gano el caso, entonces, por definición, no tengo que pagar. Si pierdo, entonces no habré ganado mi primer caso, y yo no habré contraído la obligación de pagar a Protágoras si no es hasta haber ganado mi primer caso. Así pues, gane o pierda, no tengo que pagar.

Protágoras: Si él pierde el caso, entonces, por definición, tiene que pagarme. Si lo gana, entonces habrá ganado su primer caso, y por tanto tiene que pagarme. En uno u otro caso, tiene que pagarme.

¿Quién tenía razón?

¿TE ANIMAS A RESOLVER ALGUNA?

Recomendame en Taringa?
Seguime?
Favoritos?