1. Espacio con producto interno
Definición.
El producto interno también conocido como producto escalar, interior o punto, en V es una función que asocia a cada pareja de vectores u, v en V, un número real o escalar que denotamos por < u, v > también se puede expresar como una aplicación (u, v): V x V = K donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. (u, v).
Esto en particular quiere decir que un producto entre vectores de Rn cuyo resultado es un escalar, dicho producto llamamos producto escalar tiene usa serie de propiedades que permiten estudiar algunos aspectos geométricos.
Resulta que el producto interno de un espacio Vectorial que en una operación definida en Rn, se definen ciertos productos que no necesariamente se refieren al producto escalar sino a cualquier otro con características análoga (aspecto semejante por cumplir determinada función).
Las propiedades básicas que serán los axiomas del producto interno que definiremos a continuación.
1. < u, v > = < v, u >, para todo par de vectores u y v en V.
2. < u, v + w > = < u, v > + < u, w >, para todo u, v y w en V.
3. < k u, v> = k < u, v > = < u, kv >, para todo u, v en V y k E R.
4. < u, u > ≥ 0 y < u, u > = 0 si y solo si u = 0.
El par (E, <, > se denomina espacio vectorial euclídeo, un espacio vectorial en el que se pueda definir un producto interno.
Si V es un espacio vectorial con un producto interno, de estas propiedades básicas se deduce inmediatamente lo siguiente:
• < u + v, w > = < u, w > para todo u, v, w en V
• < u, 0 > = < 0, u > = 0 para todo u E V.
Ejemplo 1.
En R2 defina: <(x1,x2), (y1,y2)> = 2x1y1 + 3x2y2
Este es un producto interno en R2. Efectivamente:
1. Sean (x1,x2) y (y1,y2) en R2:
<(x1,x2),(y1,y2)> = 2x1y1 + 3x2y2 = 2y1 x1 + 3 y2x2 = <(x1,x2),(y1,y2)>
2. Dados (x1,x2), (y1,y2) y (z1,z2) en R2:
<(x1,x2),(y1,y2) + (z1,z2)> = <(x1,x2),( y1 + z1, y2 + z2)> = 2x1(y1 + z1) + 3x2(y2 + z2) = 2x1y1 + 2x1z1 + 3x2y2 + 3x2z2 = 2x1y1 + 3x2y2 + 2x1z1 + 3x2z2 = <(x1,x2),(y1,y2) + (z1,z2)>
3. Sean (x1,x2) y (y1,y2) en R2 y k E R:
< k(x1,x2),(y1,y2)> = < (kx1,kx2),(y1,y2)> = 2kx1y1 + 3kx2y2 = k(2x1y1 + 3x2 y2) = k <(x1,x2),(y1,y2)>
De modo análogo se prueba que < (x1,x2),k(y1,y2)> = k <(x1,x2),(y1,y2)> .
4. Si (x1,x2) E R2, entonces
< (x1,x2), (y1,y2) > = 2x2/1 + 3x2/2 ≥ 0
Y es claro que es igual a 0 si y solo si X1 = X2 = 0
Ejemplo 2. Considerando el espacio C [0, 1] de las funciones con valores reales continuas en el intervalo [0, 1]. Si f, g E C [0, 1], definimos
Las propiedades de la integral nos dicen que este es un producto interno, Ya que la aplicación lo define. Este producto interno da origen a la teoría de las series de Fourier.
Ejemplo 3. En R2, el producto de vectores definido por <(x1,x2), (y1,y2) > = x1, y2 – x2,y2 no es un producto interno. En particular, no satisface la propiedad 4. De la definición.
Por ejemplo.
<(1, 2), (1, 2)> = 1 . 1 – 2 . 2 = – 3 < 0.
Por ultimo dadas las propiedades del producto interno, es utilizado para definir conceptos geométricos, los dos más importantes: Longitud y ángulo entre vectores refiriéndose a la perpendicularidad.
2. Método de ortogonalización de Gram – Schmidt.
Definición.
Este proceso es de suma importancia puesto que nos permite convertir una base cualquiera de un espacio euclídeo, en una base ortogonal y por ende se puede convertir en ortonormal, dividiendo a sus elementos por la norma respectiva. Es decir a partir de una base dada es posible determinar una base ortonormal.
Al ser W un subespacio no nulo de Rn con base S = {u1, u2,…..., um}, Entonces, hay una base ortonormal T = {w1, w2,……., wm} para W.
Demostración
Construiremos gradualmente la base T deseada. El primer pasó consiste en encontrar una base ortogonal T = {v1, v2,……., vm} para W. eligiendo cualquier de los vectores S, digamos u1, llamándolo v1; v1= u1. Después buscando un vector v2 en el subespacio W1 de W generado por {u1, u2} que sea ortogonal a v1. Como v1 = u1, W1 es también el subespacio generado por {v1, u2}. De tal manera,
v2 = c1v1 + c2u2.
Determinaremos c1 y c2 de modo que v1. v2 = 0. Ahora,
0 = v2 . v1 = (c1v1 + c2u2) . v1 = c1(v1 . v1) + c2(u2. v1).
Como v1 no es igual a 0 (¿Por qué?), v1. v1 no es igual a 0, y al resolver para c1 y c2 obtenemos
Donde podemos asignar un valor arbitrario no nulo a c2. Si hacemos c2 = 1, obtenemos
Por lo tanto,
Hasta este momento construimos un subconjunto ortogonal {v1, v2} de W.
A continuación, determinaremos un vector v3 que esta en el subespacio W2 de W generado por {u1, u2, u3} (¿por que?) sea,
v3 = d1v1 + d2v2 + d3u3
Trataremos que d1 y d2 sean tales que
v3 . v1 = 0 y v3 . v2 = 0
Ahora,
1. 0 = v3 . v1 = (d1v1 + d2v2 + d3u3) . v1 = d1(v1 . v1) + d3(u3 . v1).
2. 0 = v3 . v2 = (d1v1 + d2v2 + d3u3) . v2 = d2(v2 . v2) + d3(u3 . v2).
En la obtención de los dos lados derechos I y II usamos el hecho de que v1 . v2 = 0. Observamos que v2 no es igual a 0 (¿Por qué?). Al despejar d1 y d2 en I y II, respectivamente, obtenemos
Asignar un valor arbitrario, no nulo, a d3 . Si d3 = 1, obtenemos
Tenemos un subconjunto ortogonal (v1, v2, v3) de W
Ahora determinaremos un vector V4 en el subespacio W3 de W generado por el conjunto {u1, u2, u3, u4} y por lo tanto, por {v1, v2, v3, v4}. Que sea ortogonal a v1, v2 y v3. Podemos escribir
De esta manera continuamos hasta obtener un conjunto ortogonal T = (v1, v2,……, vm) de m vectores. Entonces, T es una basa para W. Y para terminar, normalizamos los vi., es decir, hacemos
Entonces T = {W1, W2,….., Wm) es una basa ortonormal para W.
Ejemplo 1. Considere la base S = {u1, u2, u3} para R3, donde
u1 = (1, 1, 1), u2 = (–1, 0, 1) y u3 = (–1, 2, 3).
Utilizando el proceso de Gram-Schmidt para transformar S a una base ortonormal para R3.
Paso 1. Sea v1 = u1 = (1, 1, 1).
Paso 2. Ahora calculamos V2 y V3
Al multiplicar v2 por 3, para eliminar las fracciones, obtenemos (–1, 2, 1), que ahora utilizamos como v2. Entonces
En consecuencia,
T* = {v1, v2, v3} = {(1, 1, 1), (–1, 2, –1), (–2, 0, 2)}
Es una base ortogonal para R3.
Paso 3. Sean
Entonces T = {W1, W2, W3}
Es una base ortonormal para R3
Ejemplo 2. Sea W el subespacio de R4 con base S = {u1, u2, u3,}, donde
u1 = (1, –2, 0, 1), u2 = (–1, 0, 0, –1) y u3 = (1, 1, 0, 0),
Utilizando el proceso de Gram-Schmidt para transformar S a una base ortonormal para W.
Paso 1. Sea v1 = u1 = (1, –2, 0, 1).
Paso 2. Calculamos v2 y v3:
Multiplicamos v2 por 3, para eliminar las fracciones, y obtener (–2, –2, 0, –2), que será nuestro v2. Entonces
Multiplicamos v3 por 2. Para eliminar las fracciones, y obtener (1, 0, 0, –1), como v3. Por lo tanto,
Es una base ortogonal para W.
Paso 3. Sean
Entonces
Es una base ortonormal para W.
3. Representación Matricial de una Transformación Lineal.
Definición.
Es Cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.
Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm es una transformación lineal, entonces existe una única matriz A de m x n tal que T(x) = Ax para toda x E Rn. En este caso una transformación lineal T. V → W de un espacio vectorial V de dimensión finita en un espacio vectorial W de dimensión finita.
Una interpretación grafica de la ecuación nos dice que, Las flechas horizontales superior representa la transformación lineal L del espacio vectorial V de dimensión n en el espacio vectorial W de dimensión m, y lleva el vector x de V al vector L(x) de W. La flecha horizontales inferior representa la matriz A. Entonces, [L(x)]T, un vector de coordenadas Rm, se obtiene multiplicando
s, un vector de coordenadas en Rn , por la matriz A. Esto indica que siempre podemos trabajar con matrices en vez de transformaciones lineales.
El procedimiento para calcular la matriz de una transformación lineal L: V → W con respecto a las bases S = (v1, v2,…..,vn) y T = (w1, w2,…….wm) para V y W, receptivamente, es el siguiente.
Paso 1. Calcular L (vj) para j = 1, 2,…..,n.
Paso 2. Determinar el vector coordenadas [L (vj)]T de L(vj) con respecto a la base T. Esto significa que L(vj) debe expresarse como una combinación lineal de los vectores en T.
Paso 3. La matriz A de L con respecto a S y R se forma eligiendo a [L (vj)]T j-ésima columna de A.
Ejemplo 1
Sea L; R3 → R2 defina como
Sean S = (v1, v2, v3) y T = (w1, w2)
Bases para R3 y R2, respectivamente, donde
Determinamos la matriz A de L con respecto a S y T. Tenemos que
Como T es la base canónica de R2, los vectores de coordenadas de L(v1), L(v2), y L(v3), con respecto a T son iguales a L(v1), L(v2), L(v3), respectivamente. Es decir,
Por lo tanto,
Ejemplo 2. Sea L: R3 → R2 defina ahora sean
S = (v1, v2, v3) y T = (w1, w2)
bases para R3 y R2, despectivamente, donde
Determinar la matriz de L con respecto a S y T.
Solución Tenemos
Para determinar los vectores de coordenadas [L(v1)]T, [L(v2)]T y [L(v3)]T, escribimos
Es decir debemos resolver tres sistemas lineales, cada uno de los cuales consta de dos ecuaciones con dos incógnitas. Como su matriz de coeficientes es la misma, los resolvemos todos a la vez. En consecuencia, formamos la matriz
Cuya forma escalonada reducida por filas es
Esto indica que la matriz A de L con respecto a S y T es
4. Isomorfismo
Definición 1. Algunos espacios son “lo mismo” que otros. Todos los espacios vectoriales de n dimensiones son “en esencia” el mismo.
Con una definición con una forma similar se refiere a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. Por ejemplo un corazón artificial es isomorfito respecto al órgano real: este modelo puede servir como elemento de estudio para extraer conclusiones aplicables al corazón original.
Resumiendo la terminología de las funciones, decimos que una transformación lineal T: V → W es inyectiva si dados u, v E V tales que T(u) = T(v), entonces u = ( en otras palabras, dos elementos diferentes, no pueden tener la misma imagen). Se dice que T es sobreyectiva si Im(T) = W (es decir, todo w E W es imagen de algún elemento u E V). Finalmente, se dice que T es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales V y W es una transformación lineal biyectiva T: V → W, Si existe un isomorfismo entre los espacios vectoriales V y W, se dice que ellos son isomorfos y se escribe de la siguiente manera V W. Desde el punto de vista algebraico esto significa que podemos considerar a ambos espacios vectoriales como si fueran el mismo, puesto que la relación de ser isomorfos entre espacios vectoriales es una relación de equivalencia.
Ejemplo 1. Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
Ejemplo 2. Defina T: R3 → P2 por T = a + bx + cx^2. Es sencillo verificar que T es lineal. Suponga que
T = 0 = 0 + 0x + 0x^2. Entonces a = b = c = 0.
Es decir, nu T = {0} y T es 1-1. Si p(x) = a0 + a1x + a2x^2. Entonces
Esto significa que Im T = P2 y T es sobre. Por lo tanto.
Definición.
El producto interno también conocido como producto escalar, interior o punto, en V es una función que asocia a cada pareja de vectores u, v en V, un número real o escalar que denotamos por < u, v > también se puede expresar como una aplicación (u, v): V x V = K donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. (u, v).
Esto en particular quiere decir que un producto entre vectores de Rn cuyo resultado es un escalar, dicho producto llamamos producto escalar tiene usa serie de propiedades que permiten estudiar algunos aspectos geométricos.
Resulta que el producto interno de un espacio Vectorial que en una operación definida en Rn, se definen ciertos productos que no necesariamente se refieren al producto escalar sino a cualquier otro con características análoga (aspecto semejante por cumplir determinada función).
Las propiedades básicas que serán los axiomas del producto interno que definiremos a continuación.
1. < u, v > = < v, u >, para todo par de vectores u y v en V.
2. < u, v + w > = < u, v > + < u, w >, para todo u, v y w en V.
3. < k u, v> = k < u, v > = < u, kv >, para todo u, v en V y k E R.
4. < u, u > ≥ 0 y < u, u > = 0 si y solo si u = 0.
El par (E, <, > se denomina espacio vectorial euclídeo, un espacio vectorial en el que se pueda definir un producto interno.
Si V es un espacio vectorial con un producto interno, de estas propiedades básicas se deduce inmediatamente lo siguiente:
• < u + v, w > = < u, w > para todo u, v, w en V
• < u, 0 > = < 0, u > = 0 para todo u E V.
Ejemplo 1.
En R2 defina: <(x1,x2), (y1,y2)> = 2x1y1 + 3x2y2
Este es un producto interno en R2. Efectivamente:
1. Sean (x1,x2) y (y1,y2) en R2:
<(x1,x2),(y1,y2)> = 2x1y1 + 3x2y2 = 2y1 x1 + 3 y2x2 = <(x1,x2),(y1,y2)>
2. Dados (x1,x2), (y1,y2) y (z1,z2) en R2:
<(x1,x2),(y1,y2) + (z1,z2)> = <(x1,x2),( y1 + z1, y2 + z2)> = 2x1(y1 + z1) + 3x2(y2 + z2) = 2x1y1 + 2x1z1 + 3x2y2 + 3x2z2 = 2x1y1 + 3x2y2 + 2x1z1 + 3x2z2 = <(x1,x2),(y1,y2) + (z1,z2)>
3. Sean (x1,x2) y (y1,y2) en R2 y k E R:
< k(x1,x2),(y1,y2)> = < (kx1,kx2),(y1,y2)> = 2kx1y1 + 3kx2y2 = k(2x1y1 + 3x2 y2) = k <(x1,x2),(y1,y2)>
De modo análogo se prueba que < (x1,x2),k(y1,y2)> = k <(x1,x2),(y1,y2)> .
4. Si (x1,x2) E R2, entonces
< (x1,x2), (y1,y2) > = 2x2/1 + 3x2/2 ≥ 0
Y es claro que es igual a 0 si y solo si X1 = X2 = 0
Ejemplo 2. Considerando el espacio C [0, 1] de las funciones con valores reales continuas en el intervalo [0, 1]. Si f, g E C [0, 1], definimos
Las propiedades de la integral nos dicen que este es un producto interno, Ya que la aplicación lo define. Este producto interno da origen a la teoría de las series de Fourier.
Ejemplo 3. En R2, el producto de vectores definido por <(x1,x2), (y1,y2) > = x1, y2 – x2,y2 no es un producto interno. En particular, no satisface la propiedad 4. De la definición.
Por ejemplo.
<(1, 2), (1, 2)> = 1 . 1 – 2 . 2 = – 3 < 0.
Por ultimo dadas las propiedades del producto interno, es utilizado para definir conceptos geométricos, los dos más importantes: Longitud y ángulo entre vectores refiriéndose a la perpendicularidad.
2. Método de ortogonalización de Gram – Schmidt.
Definición.
Este proceso es de suma importancia puesto que nos permite convertir una base cualquiera de un espacio euclídeo, en una base ortogonal y por ende se puede convertir en ortonormal, dividiendo a sus elementos por la norma respectiva. Es decir a partir de una base dada es posible determinar una base ortonormal.
Al ser W un subespacio no nulo de Rn con base S = {u1, u2,…..., um}, Entonces, hay una base ortonormal T = {w1, w2,……., wm} para W.
Demostración
Construiremos gradualmente la base T deseada. El primer pasó consiste en encontrar una base ortogonal T = {v1, v2,……., vm} para W. eligiendo cualquier de los vectores S, digamos u1, llamándolo v1; v1= u1. Después buscando un vector v2 en el subespacio W1 de W generado por {u1, u2} que sea ortogonal a v1. Como v1 = u1, W1 es también el subespacio generado por {v1, u2}. De tal manera,
v2 = c1v1 + c2u2.
Determinaremos c1 y c2 de modo que v1. v2 = 0. Ahora,
0 = v2 . v1 = (c1v1 + c2u2) . v1 = c1(v1 . v1) + c2(u2. v1).
Como v1 no es igual a 0 (¿Por qué?), v1. v1 no es igual a 0, y al resolver para c1 y c2 obtenemos
Donde podemos asignar un valor arbitrario no nulo a c2. Si hacemos c2 = 1, obtenemos
Por lo tanto,
Hasta este momento construimos un subconjunto ortogonal {v1, v2} de W.
A continuación, determinaremos un vector v3 que esta en el subespacio W2 de W generado por {u1, u2, u3} (¿por que?) sea,
v3 = d1v1 + d2v2 + d3u3
Trataremos que d1 y d2 sean tales que
v3 . v1 = 0 y v3 . v2 = 0
Ahora,
1. 0 = v3 . v1 = (d1v1 + d2v2 + d3u3) . v1 = d1(v1 . v1) + d3(u3 . v1).
2. 0 = v3 . v2 = (d1v1 + d2v2 + d3u3) . v2 = d2(v2 . v2) + d3(u3 . v2).
En la obtención de los dos lados derechos I y II usamos el hecho de que v1 . v2 = 0. Observamos que v2 no es igual a 0 (¿Por qué?). Al despejar d1 y d2 en I y II, respectivamente, obtenemos
Asignar un valor arbitrario, no nulo, a d3 . Si d3 = 1, obtenemos
Tenemos un subconjunto ortogonal (v1, v2, v3) de W
Ahora determinaremos un vector V4 en el subespacio W3 de W generado por el conjunto {u1, u2, u3, u4} y por lo tanto, por {v1, v2, v3, v4}. Que sea ortogonal a v1, v2 y v3. Podemos escribir
De esta manera continuamos hasta obtener un conjunto ortogonal T = (v1, v2,……, vm) de m vectores. Entonces, T es una basa para W. Y para terminar, normalizamos los vi., es decir, hacemos
Entonces T = {W1, W2,….., Wm) es una basa ortonormal para W.
Ejemplo 1. Considere la base S = {u1, u2, u3} para R3, donde
u1 = (1, 1, 1), u2 = (–1, 0, 1) y u3 = (–1, 2, 3).
Utilizando el proceso de Gram-Schmidt para transformar S a una base ortonormal para R3.
Paso 1. Sea v1 = u1 = (1, 1, 1).
Paso 2. Ahora calculamos V2 y V3
Al multiplicar v2 por 3, para eliminar las fracciones, obtenemos (–1, 2, 1), que ahora utilizamos como v2. Entonces
En consecuencia,
T* = {v1, v2, v3} = {(1, 1, 1), (–1, 2, –1), (–2, 0, 2)}
Es una base ortogonal para R3.
Paso 3. Sean
Entonces T = {W1, W2, W3}
Es una base ortonormal para R3
Ejemplo 2. Sea W el subespacio de R4 con base S = {u1, u2, u3,}, donde
u1 = (1, –2, 0, 1), u2 = (–1, 0, 0, –1) y u3 = (1, 1, 0, 0),
Utilizando el proceso de Gram-Schmidt para transformar S a una base ortonormal para W.
Paso 1. Sea v1 = u1 = (1, –2, 0, 1).
Paso 2. Calculamos v2 y v3:
Multiplicamos v2 por 3, para eliminar las fracciones, y obtener (–2, –2, 0, –2), que será nuestro v2. Entonces
Multiplicamos v3 por 2. Para eliminar las fracciones, y obtener (1, 0, 0, –1), como v3. Por lo tanto,
Es una base ortogonal para W.
Paso 3. Sean
Entonces
Es una base ortonormal para W.
3. Representación Matricial de una Transformación Lineal.
Definición.
Es Cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.
Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm es una transformación lineal, entonces existe una única matriz A de m x n tal que T(x) = Ax para toda x E Rn. En este caso una transformación lineal T. V → W de un espacio vectorial V de dimensión finita en un espacio vectorial W de dimensión finita.
Una interpretación grafica de la ecuación nos dice que, Las flechas horizontales superior representa la transformación lineal L del espacio vectorial V de dimensión n en el espacio vectorial W de dimensión m, y lleva el vector x de V al vector L(x) de W. La flecha horizontales inferior representa la matriz A. Entonces, [L(x)]T, un vector de coordenadas Rm, se obtiene multiplicando
s, un vector de coordenadas en Rn , por la matriz A. Esto indica que siempre podemos trabajar con matrices en vez de transformaciones lineales.
El procedimiento para calcular la matriz de una transformación lineal L: V → W con respecto a las bases S = (v1, v2,…..,vn) y T = (w1, w2,…….wm) para V y W, receptivamente, es el siguiente.
Paso 1. Calcular L (vj) para j = 1, 2,…..,n.
Paso 2. Determinar el vector coordenadas [L (vj)]T de L(vj) con respecto a la base T. Esto significa que L(vj) debe expresarse como una combinación lineal de los vectores en T.
Paso 3. La matriz A de L con respecto a S y R se forma eligiendo a [L (vj)]T j-ésima columna de A.
Ejemplo 1
Sea L; R3 → R2 defina como
Sean S = (v1, v2, v3) y T = (w1, w2)
Bases para R3 y R2, respectivamente, donde
Determinamos la matriz A de L con respecto a S y T. Tenemos que
Como T es la base canónica de R2, los vectores de coordenadas de L(v1), L(v2), y L(v3), con respecto a T son iguales a L(v1), L(v2), L(v3), respectivamente. Es decir,
Por lo tanto,
Ejemplo 2. Sea L: R3 → R2 defina ahora sean
S = (v1, v2, v3) y T = (w1, w2)
bases para R3 y R2, despectivamente, donde
Determinar la matriz de L con respecto a S y T.
Solución Tenemos
Para determinar los vectores de coordenadas [L(v1)]T, [L(v2)]T y [L(v3)]T, escribimos
Es decir debemos resolver tres sistemas lineales, cada uno de los cuales consta de dos ecuaciones con dos incógnitas. Como su matriz de coeficientes es la misma, los resolvemos todos a la vez. En consecuencia, formamos la matriz
Cuya forma escalonada reducida por filas es
Esto indica que la matriz A de L con respecto a S y T es
4. Isomorfismo
Definición 1. Algunos espacios son “lo mismo” que otros. Todos los espacios vectoriales de n dimensiones son “en esencia” el mismo.
Con una definición con una forma similar se refiere a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. Por ejemplo un corazón artificial es isomorfito respecto al órgano real: este modelo puede servir como elemento de estudio para extraer conclusiones aplicables al corazón original.
Resumiendo la terminología de las funciones, decimos que una transformación lineal T: V → W es inyectiva si dados u, v E V tales que T(u) = T(v), entonces u = ( en otras palabras, dos elementos diferentes, no pueden tener la misma imagen). Se dice que T es sobreyectiva si Im(T) = W (es decir, todo w E W es imagen de algún elemento u E V). Finalmente, se dice que T es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Un isomorfismo entre dos espacios vectoriales V y W es una transformación lineal biyectiva T: V → W, Si existe un isomorfismo entre los espacios vectoriales V y W, se dice que ellos son isomorfos y se escribe de la siguiente manera V W. Desde el punto de vista algebraico esto significa que podemos considerar a ambos espacios vectoriales como si fueran el mismo, puesto que la relación de ser isomorfos entre espacios vectoriales es una relación de equivalencia.
Ejemplo 1. Probar que la transformación lineal T: R2 → R3 tal que T(x,y) = (x,x + y,y) es inyectiva pero no sobreyectiva.
Solución
(i) Sean (x1, y1) y (x2, y2) elementos de R2, tales que T(x1, y1) = T(x2, y2). Entonces (x1, x1+ y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2) y por lo tanto x1 = x2 y y1 = y2.
En conclusión (x1, y1) = (x2, y2) y esto significa que T es inyectiva. También conocida como T es uno a uno, escrita como 1 – 1.
Ejemplo 2. Defina T: R3 → P2 por T = a + bx + cx^2. Es sencillo verificar que T es lineal. Suponga que
T = 0 = 0 + 0x + 0x^2. Entonces a = b = c = 0.
Es decir, nu T = {0} y T es 1-1. Si p(x) = a0 + a1x + a2x^2. Entonces
Esto significa que Im T = P2 y T es sobre. Por lo tanto.