Hola que tal? bueno como habia dicho ayer hoy hago la continuacion del post: donde hable sobre el milagro griego y sobre Thales de Mileto... bueno, ahi va el post:
Pitagoras de Samos
Nació alrededor del 580 a.C. en Samos. Falleció alrededor del 500 a.C. en Tarento.
La isla Samos está situada en el mar Egeo, próxima a la costa de Asia Menor y vecina
de Mileto, por lo que se cree que fue discípulo de Thales.
En esa época, la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró, viajando por diferentes países, entre ellos Egipto y Babilonia, para retirarse luego a Crotona (al sur de Italia). Habiendo regresado con un rejunte de conocimientos matemáticos, astronómicos y también religiosos, fundó una asociación que tenía el carácter de una comunidad religiosa más que el de una escuela filosófica, eran algo así como una secta. Por este motivo, se dice que las
ciencias matemáticas nacieron en Grecia de un carácter religioso y moral. Los pitagóricos
eran vegetarianos, se reunían a efectuar ceremonias, a ayudarse mutuamente, y aun a vivir en
comunidad, era como una especie de sociedad secreta, con sus indicaciones y códigos
propios. A diferencia de las demás escuelas de la época, en la escuela Pitagórica podían
ingresar mujeres. Se dice que Pitágoras se casó con una alumna llamada Teano.
El símbolo de la escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí los
miembros, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas):
Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el
encadenamiento lógico de sus proposiciones.
La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles
propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Los pitagóricos estaban convencidos que
los números son la esencia del universo por lo que los estudiaban exhaustivamente. Hicieron
los primeros estudios de teoría de números, estudiando los números primos, coprimos,
perfectos, amigos, triangulares, etc. Cada número era la representación de diversas cuestiones.
El 1 era el punto, el 2 la línea, el 3 la superficie, el 4 el sólido; el número 10, suma de los
cuatro primeros, es la famosa tetraktys, el número capital. El 1 también representaba la razón,
lo divino, el origen de todas las cosas. El 2 representaba la opinión, el dualismo interno de
todos los seres, la pareja hombre-mujer. El 3 representaba los niveles del mundo: celeste,
terrestre e infernal. El 4 representaba los elementos: agua, aire, fuego y tierra. El número 5
representaba la vida, el poder y la invulnerabilidad. Le asignaban propiedades a casi todos los
números más utilizados, como si no quisieran ofender a ninguno.
Algunos opinan que los antiguos griegos no avanzaron mucho en el estudio del álgebra debido a la costumbre fundada por los pitagóricos de asignarle propiedades particulares a cada número, por lo que el estudiarlos de una manera general generaba una contradicción.
Hay algunos historiadores que opinan que lo que hoy llamamos pitagorico deberia ser llamado babilonico, ya que los pitagoricos tomaron muchos de sus conocimientos de estos pueblos, pero ellos fueron los que aplicaron el rigor logico y las demostraciones a estos conocimientos.
Debido a la influencia política que tuvo la escuela Pitagórica en esa época, se produjo
una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio
obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Se cree que un año más tarde fue asesinado
en otra revolución en Tarento y que entonces Teano, su mujer, tomó el control de la escuela.
Teorema de Pitagoras
Si bien el teorema de Pitágoras era conocido por los babilonios unos mil años antes de
que Pitágoras naciera, el mismo lleva su nombre porque fueron los pitagóricos los primeros
en estudiarlo de manera teórica, y fue quizás él mismo el primero en demostrarlo. Según la
leyenda, Pitágoras estaba tan contento de haber logrado demostrar el famoso teorema, y
estaba tan maravillado de su elegancia, que sacrificó un buey a los dioses. Esta leyenda resulta casi imposible si se considera el hecho, bastante bien establecido, de que los pitagóricos eran estrictamente vegetarianos. Utilizando este famoso teorema, los pitagóricos descubrieron que la diagonal del cuadrado no era conmensurable con su lado, sino raiz de 2 veces el lado (un número irracional), lo que originó una contradicción en la filosofía de la escuela, la cual suponía que todos los números son racionales.
Es famosa su teoría de la “música de las esferas”. Explicaba que el movimiento de los astros en su veloz desplazamiento produce sonidos. Las distancias que los separan guardan proporción con las escalas musicales, los que están más cerca de su centro, se desplazan con más lentitud y producen sonidos graves. Los que están más alejados, en ese movimiento circular, lo hacen con mayor velocidad y sus sonidos son agudos. Juntos, producen armonías que se convierten en la “música de las esferas”, que es la música que escucha Dios.
Fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la tierra y postular que ésta y el resto de los planetas conocidos no se encontraban en el centro del universo.
Numeros estudiados por los pitagoricos
NÚMEROS PRIMOS
Son números que tienen exactamente dos divisores, el 1 y el mismo número. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Nota: el 2 es el único número primo par.
NÚMEROS COMPUESTOS
Son números que tienen más de dos divisores.
Ejemplos: 4, 6, 8, 9, 12, 100, 140, 200. Nota: el 1 no es considerado primo ni compuesto.
NÚMEROS COPRIMOS
Unos números son coprimos o primos entre sí si su único divisor en común es el 1. Ejemplos: 8 y 9 (los divisores de 8 son 1, 2, 4, y 8 mientras que los de 9 son 1, 3 y 9), 15 y 16, 26 y 35, 8 y 35, 3 y 5 (este caso es obvio porque ambos son primos), 7 y 9 (este caso es bastante obvio porque el 7 es primo y el 9 no es un múltiplo de 7). También existen ternas de números coprimos como 6 – 10 – 15 , 21 – 24 – 28. Son particularmente interesantes estos ejemplos, ya que los números no son coprimos tomados de a dos, pero el máximo común divisor de los tres es 1.
NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
Son números primos que son impares consecutivos, es decir, sólo difieren en dos unidades. Ejemplos: 3 y 5, 11 y 13, 17 y 19.
NÚMEROS CASI PRIMOS
Son producto de dos primos. Ejemplos: 15 por ser igual a 3 multiplicado por 5. 77 por ser igual a 7 multiplicado por 11.
NÚMEROS PERFECTOS
Son iguales a la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.
NÚMEROS ABUNDANTES
Son mayores que la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 8 > 1 + 2 + 4, 10 > 1 + 2 + 5, 21 > 1 + 3 + 7.
Otros ejemplos: 15, 25, 32.
NÚMEROS DEFICIENTES
Son menores que la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6, 20 < 1 + 2 + 4 + 5 + 10
Otros ejemplos: 24, 40, 60.
NÚMEROS LEVEMENTE ABUNDANTES Y LEVEMENTE DEFICIENTES
Tienen una diferencia de una unidad respecto a la suma de sus divisores, es decir que por una
diferencia de 1, no son perfectos.
Ejemplo de número levemente abundante: 16, porque 16 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1.
NÚMEROS AMIGOS
Dos números a y b son amigos si la suma de los divisores de a, excepto a, es igual a b y la
suma de los divisores de b, excepto b, es igual a a.
Ejemplo: 220 y 284 porque 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y
además 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Otro ejemplo: 17296 y 18416 (Este par fue encontrado por el árabe Tabit Qurra, quien fue el
primero en descubrir y demostrar una fórmula para hallar números amigos).
Y bueno, esto es todo sobre Pitagoras, les mando un saludo, mañana resumo sobre Anaxagoras y capaz tambien sobre Zenon y sus paradojas.
dejo el link de un post que hize sobre paradojas por si a alguien le interesa:
Pitagoras de Samos
Nació alrededor del 580 a.C. en Samos. Falleció alrededor del 500 a.C. en Tarento.
La isla Samos está situada en el mar Egeo, próxima a la costa de Asia Menor y vecina
de Mileto, por lo que se cree que fue discípulo de Thales.
En esa época, la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró, viajando por diferentes países, entre ellos Egipto y Babilonia, para retirarse luego a Crotona (al sur de Italia). Habiendo regresado con un rejunte de conocimientos matemáticos, astronómicos y también religiosos, fundó una asociación que tenía el carácter de una comunidad religiosa más que el de una escuela filosófica, eran algo así como una secta. Por este motivo, se dice que las
ciencias matemáticas nacieron en Grecia de un carácter religioso y moral. Los pitagóricos
eran vegetarianos, se reunían a efectuar ceremonias, a ayudarse mutuamente, y aun a vivir en
comunidad, era como una especie de sociedad secreta, con sus indicaciones y códigos
propios. A diferencia de las demás escuelas de la época, en la escuela Pitagórica podían
ingresar mujeres. Se dice que Pitágoras se casó con una alumna llamada Teano.
El símbolo de la escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí los
miembros, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas):
Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el
encadenamiento lógico de sus proposiciones.
La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles
propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Los pitagóricos estaban convencidos que
los números son la esencia del universo por lo que los estudiaban exhaustivamente. Hicieron
los primeros estudios de teoría de números, estudiando los números primos, coprimos,
perfectos, amigos, triangulares, etc. Cada número era la representación de diversas cuestiones.
El 1 era el punto, el 2 la línea, el 3 la superficie, el 4 el sólido; el número 10, suma de los
cuatro primeros, es la famosa tetraktys, el número capital. El 1 también representaba la razón,
lo divino, el origen de todas las cosas. El 2 representaba la opinión, el dualismo interno de
todos los seres, la pareja hombre-mujer. El 3 representaba los niveles del mundo: celeste,
terrestre e infernal. El 4 representaba los elementos: agua, aire, fuego y tierra. El número 5
representaba la vida, el poder y la invulnerabilidad. Le asignaban propiedades a casi todos los
números más utilizados, como si no quisieran ofender a ninguno.
Algunos opinan que los antiguos griegos no avanzaron mucho en el estudio del álgebra debido a la costumbre fundada por los pitagóricos de asignarle propiedades particulares a cada número, por lo que el estudiarlos de una manera general generaba una contradicción.
Hay algunos historiadores que opinan que lo que hoy llamamos pitagorico deberia ser llamado babilonico, ya que los pitagoricos tomaron muchos de sus conocimientos de estos pueblos, pero ellos fueron los que aplicaron el rigor logico y las demostraciones a estos conocimientos.
Debido a la influencia política que tuvo la escuela Pitagórica en esa época, se produjo
una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio
obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Se cree que un año más tarde fue asesinado
en otra revolución en Tarento y que entonces Teano, su mujer, tomó el control de la escuela.
Teorema de Pitagoras
Si bien el teorema de Pitágoras era conocido por los babilonios unos mil años antes de
que Pitágoras naciera, el mismo lleva su nombre porque fueron los pitagóricos los primeros
en estudiarlo de manera teórica, y fue quizás él mismo el primero en demostrarlo. Según la
leyenda, Pitágoras estaba tan contento de haber logrado demostrar el famoso teorema, y
estaba tan maravillado de su elegancia, que sacrificó un buey a los dioses. Esta leyenda resulta casi imposible si se considera el hecho, bastante bien establecido, de que los pitagóricos eran estrictamente vegetarianos. Utilizando este famoso teorema, los pitagóricos descubrieron que la diagonal del cuadrado no era conmensurable con su lado, sino raiz de 2 veces el lado (un número irracional), lo que originó una contradicción en la filosofía de la escuela, la cual suponía que todos los números son racionales.
Es famosa su teoría de la “música de las esferas”. Explicaba que el movimiento de los astros en su veloz desplazamiento produce sonidos. Las distancias que los separan guardan proporción con las escalas musicales, los que están más cerca de su centro, se desplazan con más lentitud y producen sonidos graves. Los que están más alejados, en ese movimiento circular, lo hacen con mayor velocidad y sus sonidos son agudos. Juntos, producen armonías que se convierten en la “música de las esferas”, que es la música que escucha Dios.
Fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la tierra y postular que ésta y el resto de los planetas conocidos no se encontraban en el centro del universo.
Numeros estudiados por los pitagoricos
NÚMEROS PRIMOS
Son números que tienen exactamente dos divisores, el 1 y el mismo número. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Nota: el 2 es el único número primo par.
NÚMEROS COMPUESTOS
Son números que tienen más de dos divisores.
Ejemplos: 4, 6, 8, 9, 12, 100, 140, 200. Nota: el 1 no es considerado primo ni compuesto.
NÚMEROS COPRIMOS
Unos números son coprimos o primos entre sí si su único divisor en común es el 1. Ejemplos: 8 y 9 (los divisores de 8 son 1, 2, 4, y 8 mientras que los de 9 son 1, 3 y 9), 15 y 16, 26 y 35, 8 y 35, 3 y 5 (este caso es obvio porque ambos son primos), 7 y 9 (este caso es bastante obvio porque el 7 es primo y el 9 no es un múltiplo de 7). También existen ternas de números coprimos como 6 – 10 – 15 , 21 – 24 – 28. Son particularmente interesantes estos ejemplos, ya que los números no son coprimos tomados de a dos, pero el máximo común divisor de los tres es 1.
NÚMEROS PRIMOS GEMELOS
Son números primos que son impares consecutivos, es decir, sólo difieren en dos unidades. Ejemplos: 3 y 5, 11 y 13, 17 y 19.
NÚMEROS CASI PRIMOS
Son producto de dos primos. Ejemplos: 15 por ser igual a 3 multiplicado por 5. 77 por ser igual a 7 multiplicado por 11.
NÚMEROS PERFECTOS
Son iguales a la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.
NÚMEROS ABUNDANTES
Son mayores que la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 8 > 1 + 2 + 4, 10 > 1 + 2 + 5, 21 > 1 + 3 + 7.
Otros ejemplos: 15, 25, 32.
NÚMEROS DEFICIENTES
Son menores que la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número.
Ejemplos: 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6, 20 < 1 + 2 + 4 + 5 + 10
Otros ejemplos: 24, 40, 60.
NÚMEROS LEVEMENTE ABUNDANTES Y LEVEMENTE DEFICIENTES
Tienen una diferencia de una unidad respecto a la suma de sus divisores, es decir que por una
diferencia de 1, no son perfectos.
Ejemplo de número levemente abundante: 16, porque 16 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1.
NÚMEROS AMIGOS
Dos números a y b son amigos si la suma de los divisores de a, excepto a, es igual a b y la
suma de los divisores de b, excepto b, es igual a a.
Ejemplo: 220 y 284 porque 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y
además 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Otro ejemplo: 17296 y 18416 (Este par fue encontrado por el árabe Tabit Qurra, quien fue el
primero en descubrir y demostrar una fórmula para hallar números amigos).
Y bueno, esto es todo sobre Pitagoras, les mando un saludo, mañana resumo sobre Anaxagoras y capaz tambien sobre Zenon y sus paradojas.
dejo el link de un post que hize sobre paradojas por si a alguien le interesa: