La proporción áurea, el lenguaje matemático de la belleza

Hola a todos y bienvenidos. Hoy les traigo un post sobre el número de oro, un número realmente sorpredente que guarda muchos secretos. Espero que lo disfruten.

-Introducción:

Ahora más que nunca el mundo en el que vivimos se levanta sobre los números, algunos de los cuales tienen incluso nombre propio: el número pi (π), el número e... De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesante: 1,6180339887... Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo largo de la historia a muchas más mentes brillantes que pi y e. Durante siglos ha recibido denominaciones de lo más llamativas: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción, etc. El número de oro, que se representa con la letra griega Φ (phi), habita un territorio de relaciones y propiedades numéricas increíbles, pero también de conexiones insospechadas entre la naturaleza y las creaciones humanas.
Una de las maravillas de la proporción áurea es su inagotable capacidad de generar figuras de gran belleza y asombrosas propiedades, tales como los polígonos rectángulos o los polígonos regulares. Tras estos nombres tan intimidatorios se esconden, en realidad, objetos geométricos cotidianos, como las tarjetas de crédito o las estrellas de cinco puntas. Las primeras constituyen un ejemplo muy a mano de los denominados "rectángulos áureos", aquellos cuyos lados guardan entre sí la divina proporción. ¡Llevamos en el bolsillo una chispa de "divinidad"! Y si los rectángulos áureos son comunes, ¿Qué decir de las estrellas pentagonales, o de las espirales? Todas ellas están vinculadas de un modo muy directo a la proporción áurea, y asoman aquí y allá en construcciones, mosaicos y juegos de todo tipo. Pero si algo en verdad resulta asombroso es la vinculación del número divino con conceptos tan complejos y que tanto han estremecido a la humanidad como la belleza y la perfección. En esta aventura apasionante se cuenta con unos guías de auténtico lujo: Leonardo, Le Corbusier y muchos otros grandes personajes que se han rendido a la armonía de Φ. Si alejamos nuestra mirada de los trabajos del hombre y la posamos en la naturaleza que nos rodea, también allí nos espera, enigmática y sonriente, la proporción áurea. El crecimiento de muchos seres vivos sigue las pautas marcadas por ella, e incluso los fractales, unos recién legados al universo de la ciencia, exhiben propiedades que los vinculan con la divina proporción.

-El número de oro:

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposición de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque parezca increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocida desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como la "divina proporción", "número de oro" o "proporción áurea". Reproducir esa cifra en letra impresa resultaría literalmente imposible, y no porque sea excesivamente grande, de hecho es apenas mayor que 1, sino porque está compuesta por un número infinito de dígitos que, además, no siguen pauta alguna. Descartada su reproducción literal, podemos ayudarnos de la notación aritmética para conocerla. El número de oro se torna así algo mucho más manejable:



Vamos a intentar otra aproximación al número de oro, esta vez geométrica, en la búsqueda de su supuesto carácter divino. Para ello, dibujamos un rectángulo cuyo lado más largo es el resultado de multiplicar el corto por 1, 618; es decir, un rectángulo la proporción de cuyos lados es el número de oro (en este caso, un valor muy próximo). Si lo hacemos correctamente, nos tiene que resultar algo parecido a lo siguiente:



Un rectángulo de estas características recibe el nombre de áureo. En primera instancia puede parecernos un rectángulo de lo más convencional. Hagamos, sin embargo, un sencillo experimento con dos tarjetas de crédito cualquiera. Si disponemos una de ellas de forma horizontal y la otra vertical y las alineamos por sus bases, se observará lo siguiente:



En efecto, al trazar la diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, podremos comprobar con creciente admiración que coincide exactamente con el vértice superior derecho de la tarjeta vertical. Si hacemos la prueba con dos libros de un mismo tamaño, en especial libros técnicos o ediciones de bolsillo, es muy probable que demos con el mismo resultado. Esta propiedad es exclusiva de los rectángulos áureos del mismo tamaño, de lo que se deduce que muchos objetos cotidianos de forma rectangular se han diseñado con la divina proporción en mente. ¿Casualidad? Tal vez. O quizás resulta que los rectángulos y demás formas geométricas que guardan esta proporción son, por alguna razón, especialmente agradables a la vista. Si apostamos por esta última posibilidad, nos encontraremos en compañía de nombres ilustres de la pintura y la arquitectura de todas las épocas. No es ninguna coincidencia que la denominación moderna del número de oro, la letra griega phi (Φ), sea también la inicial del arquitecto clásico por antonomasia, el legendario Fidias.

-Un mundo áureo:

Mucho se ha escrito sobre el misterio que oculta la sonrisa más célebre de la historia del arte, pero además se puede aventurar una solución geométrica al enigma. Veamos qué ocurre si superponemos varios rectángulos áureos sobre el rostro de la bella Gioconda:



¿Tenía en mente Leonardo la proporción áurea a la hora de realizar su obra maestra? Afirmarlo resultaría aventurado. Menos polémico es aseverar que el genio florentino concedía gran importancia a la relación entre la estética y la matemática. Dejaremos la cuestión en el aire por el momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó las ilustraciones de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita por su buen amigo Luca Pacioli, llamada "De divina proportione", es decir, "La divina proporción".
Leonardo no es, desde luego, el único artista en cuya obra se deja ver la razón áurea y sus distintas manifestaciones, ya sea como razónentre los lados de un rectángulo o en formas geométricas de mayor complejidad. Numerosos pintores posteriores han recurrido a estos fundamentos teóricos, como por ejemplo el neoimpresionista George Seurat o el prerrafaelita Edward Burne-Jones. Por su parte, Salvador Dalí realizó con su lienzo dedicado a "La última cena" una obra extraordinaria, en la que la divina proporción posee gran protagonismo. No sólo es el lienzo, de 269 por 167 cm, un rectángulo áureo casi perfecto, sino que, presidiendo la sagrada escena, se alza un monumental dodecaedro. Y es que los sólidos regulares que, como éste, quedan perfectamente inscriptos en una esfera, están íntimamente relacionados con el número de oro.


"La última cena", Salvador Dalí (1955). Óleo sobre lienzo. Esta obra es uno de los ejemplos más claros sobre la aplicación de la proporción áurea en el mundo de la pintura.

Acerquémonos ahora a la reina de las artes aplicadas, la arquitectura. Si es cierto que la proporción áurea encierra una noción de armonía de valor universal, deberíamos encontrarla también en los trazos geométricos que subyacen en edificios y construcciones. ¿Es así? Otra vez resulta arriesgado afirmarlo con rotundidad. Como una dama coqueta que gustara de hurtar sus encantos, la razón áurea anuncia su presencia en muchas grandes obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide o algunas de las más notables catedrales góticas francesas, sin revelarse de un modo concluyente. Sin embargo, resulta difícil mantenerse escéptico cuando se examina con detalle la fachada de la obra maestra de Fidias, el Partenón, y se descubre con asombro que sus diversos elementos pueden descomponerse limpiamente en rectángulos áureos.



-El secreto de las rosas:

El valor del número de oro como patrón ideal de belleza no es únicamente una veleidad humana. La naturaleza misma parece otorgar a Φ un papel especial a la hora de "escoger" ciertas formas por encima de otras, aunque para percatarse de ello se debe profundizar algo más en las propiedades del número de oro. Tomemos a nuestro ya conocido rectángulo áureo y, partiendo de él, restemos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquél. En este proceso conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor. Si repetimos el proceso varias veces obtendremos la figura siguiente:



Vamos ahora a trazar distintos cuadrantes de circuferencia de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido quitando, y con el centro en el vértice de cada uno de ellos. El dibujo resultante nos quedará como sigue:



Esta curva sinuosa, de gran elegancia, se denomina espiral logarítmica. Lejos de una mera curiosidad matemática, se puede observar muy fácilmente en nuestro entorno, en un recorrido vertiginoso que va desde la concha de los nautilus...



...a la forma de los brazos de las galaxias...



...y, de regreso a la naturaleza en tierra firme, a la elegancia sin par de la disposición de los pétalos de una rosa:



Acompañados de la reina de las flores, nos internamos en otro ámbito donde la proporción áurea es emperatriz suprema: el reino vegetal. Su presencia allí es sutil y requiere introducir un nuevo concepto matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica, descrita por este matemático italiano del siglo XIII, arranca con los valores 1 y 1, a partir de los cuales cada nuevo término se genera con la suma de los dos anteriores. Los quince primeros números de esta serie infinita son los siguientes:



El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a Φ a medida que avanzamos a lo largo de la serie. Comprobémoslo:














Cuando se alcanza el término cuadragésimo de la sucesión, el cociente se aproxima al número de oro con una precisión de 14 decimales. Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son múltiples e insospechadas. Baste apuntar aquí las asombrosas correspondencias entre el reino abstracto de los números y la realidad palpable, el sueño pitagórico convertido en realidad en un escenario de excepción.
Para ello, nos serviremos de dos flores de apariencia dispar. En primer lugar, observemos la siguiente flor del girasol, cuajada de pepitas:




Al poco nos daremos cuenta de que las pepitas dibujan espirales concéntricas en sentido horario y antihorario. Si se cuentan unas y otras, resultan dos números en apariencia anodinos: 21 y 34... Dos números que ya hemos visto antes.
Efectivamente, se trata de dos términos sucesivos de la serie de Fibonacci. Si hiciéramos el mismo ejercicio para el caso de otras flores de girasol, es muy probable que el resultado fuera el mismo o, en su lugar, otro par de términos sucesivos de la misma serie, en especial 55 y 89. La presencia de la proporción áurea en plantas y árboles no se agota con este ejemplo, sino que abarca la disposición de las ramas de algunos árboles, el número de los pétalos de muchas flores, e incluso la forma de las hojas.




Leonardo Pisano, Fibonacci (1170-1250): Leonardo Pisano nació en Pisa en 1170. Su apodo denota su origen familiar, pues Fibonacci significa simplemente hijo de Bonacci (figlio di Bonacci). Sin embargo, el nombre es de origen moderno, no hay pruebas de que fuera conocido como Fibonacci en su época.
Se inició en las matemáticas desde la contabilidad, pues su padre era un mercader italiano con relaciones comerciales internacionales. Pronto Leonardo mostró un interés por las matemáticas que iba mucho más allá de sus aplicaciones mercantiles. Los viajes comerciales al norte de África le proporcionaron la oportunidad de aprender de maestros musulmanes que le transmitieron la matemática árabe. Así conoció el sistema de numeración indo-arábigo y comprendió de inmediato sus enormes ventajas. Se convirtió en su más acérrimo valedor en Europa, donde intentó divulgarlo. A él le debemos su introducción en nuestra cultura.

-La definición del número áureo:

El número de oro, o número áureo, es un número irracional que representamos con la letra griega phi (Φ). Fue un hallazgo de los griegos de la época clásica y su historia documentada comienza en uno de los libros más célebres, comentados y reimpresos de la historia: los "Elementos de geometría" de Euclides, escrito alrededor de 300 años antes de Jesucristo.
La obra maestra de Euclides es el primer superventas de tema científico de la humanidad y uno de los libros fundamentales de nuestra cultura. El objetivo de Euclides al escribirlo era doble. Por una parte, quería recopilar todos los resultados de matemáticas conocidos en su época, es decir, componer una especie de enciclopedia que pudiera utilizarse como libro de texto en la enseñanza. Por otro lado, pretendía presentar un modelo de actuación para demostrar resultados y construir una teoría matemática, con axiomas y reglas de deducción.
El éxito de los "Elementos" en sus pretensiones es incontestable; su influencia ha sido decisiva en el dessarrollo de la matemática universal a todos los niveles. El matemático y divulgador del siglo XX Lucio Lombardo Radice escribió: "Después de la Biblia y las obras de Lenin, es el libro que ha tenido más ediciones y se ha traducido a más lenguas; ha sido, hasta hace algunos decenios, el libro de geometría para la enseñanza media". Puesto que las matemáticas son asignatura obligatoria en los sistemas educativos de todo el mundo, todos los seres humanos del planeta que han ido a la escuela han leído los "Elementos" escondido tras su libro de texto.
"Elementos de Geometría" se compone de trece libros. Del libro I al libro VI se dedica a la geometría elemental, del VII al X, a cuestiones numéricas, del XI al XIII a la geometría de los sólidos. En el libro VI, como tercera definición, aparece el texto que lo empezó todo. La traducción castellana del cosmógrafo de Felipe II , Rodrigo Zamorano, de 1576, la presenta de la siguiente manera: "Dize se ser dividida una línea recta con razon extrema y media quando fuere que como se ha toda a la mayor parte, assi la mayor a la menor".
Traducido al castellano actual el texto dice: "Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de menor". O dicho todavía con mayor concisión: "El todo es a la parte como la parte al resto".
Esta media y extrema razón, que aparece con tanta modestia, es el número que con posterioridad se llamará número de oro o número áureo y al que Luca Pacioli dedicará todo un tratado en 1509, dándole el nombre de "Divina proporción". Phi,Φ, el símbolo con el que hoy conocemos al número áureo, se le asignó en una época muy posterior, a principios del siglo XX, cuando el matemático norteamericano Mark Barr propuso vincular el número con Fidias, constructor del Partenón de Atenas, y tomó prestada su inicial.
En fin, puesto que en su expresión Φ = (1 + √5) : 2, aparece una raíz cuadrada no exacta, el número Φ será un número irracional. Lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal exacta. Y todavía más: que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita de modo periódico. El número Φ es, pues, un número decimal no periódico, del que se pueden conocer,eso sí, tantas cifras exactas como queramos a partir de las de la √5. De todas formas, no nos aportarán gran cosa, ya que la importancia de Φ es más geométrica que numérica. En todo caso, Φ = 1, 618033988749894..., con 15 decimales, tiene precisión más que suficiente para cualquier cálculo que queramos acometer.

Euclides de Alejandría (325-265 A.C.):A pesar de su importancia en el mundo de las matemáticas, se conocen tan pocas cosas con certeza de la biografía de Euclides que a menudo se le confunde con otro Euclides, el de Megara. Euclides de Alejandría nació hacia el año 325 a.C. y en el 300 a.C. aparece ya en Alejandría como director del departamento de matemáticas del llamado Museo (refugio de las musas) de la ciudad, el mayor científico de todo el Mediterráneo en su época, pues recogía copias de los principales manuscritos científicos del momento. Allí vivió y murió hacia el año 265 a.C. Se cree que se educó en Atenas y se le consideraba ya en vida uno de los grandes talentos de la época. Su influencia se extiende a través de los siglos de tal forma que cuando en la década de 1930 un grupo de matemáticos con el nombre colectivo de Bourbaki quiso dar un giro radical a las matemáticas de la época enarbolaron la consigna: "Abajo Euclides".

-Los decimales de Φ:

Para los amantes de la precisión, a continuación aparecen los diez mil primeros decimales del número áureo.

1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189 024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263 544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210 432162695486262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410 443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652 170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714101170466 659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782 977834784587822891109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429 267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131 715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479 035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122248093947123 414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968 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-Leonardo, la perfección áurea:

Leonardo da Vinci (1452-1519) es uno de los máximos ejemplos en la historia de la idea del genio. Sus aportes no se limitan a unos pocos campos del conocimiento humano, sino que abarcan áreas muy alejadas entre sí: matemáticas, física y química, ingeniería tecnología, pintura, arquitectura, etc. La maravilla de Leonardo es que fue excelente en todo lo que hizo. Más tarde o más temprano, sus aportes abarcaron teniendo relevancia en todos los campos que cultivó. Es el prototipo del hombre del Renacimiento, que tiene intereses muy diversos y es competente en todos.
La atracción que ha despertado el personaje a lo largo del tiempo en todo el mundo se explica por su estatura intelectual, pero también por muchos de sus rasgos personales, que construyeron el arquetipo del genio que rebasa su tiempo. Para empezar, su personalidad no era nada común, y mucho menos en su época. Vegetariano, zurdo, se dice que homosexual, estaba tan absorbido por la idea del progreso irrefrenable que no tenía prejuicios a la hora de bordear o incluso traspasar la legalidad en sus experimentos. A su leyanda contribuye su tendencia al hermetismo, pues escribía de manera criptográfica, con la imagen especular de las letras; y su producción artística, escasa pero enormemente enigmática, como la famosísima Gioconda, de la que tantas cosas faltan conocer con certeza.
Los dibujos y manuscritos de Leonardo se reúnen en diez códices conservados en distintos museos europeos. Uno está en la colección particular del magnate estadounidense Bill Gates, que pagó por él varios millones de dólares. Si escribimos el nombre de Leonardo da Vinci en cualquier buscador de Internet, encontraremos más de 12. 400.000 páginas relacionadas con él.
Leonardo fue un teórico del arte de la pintura, y un firme defensor de su imbricación con las matemáticas. Su obra "Tratado de la pintura" comienza con la frase: "Nadie lea mis obras que no sea matemático". La obra fue manuscrita hacia 1498, pero no se publicó hasta mediado el siglo siguiente.
Leonardo sólo hizo una labor de ilustrador en "De divina proportione", pero el propio Pacioli habla en su obra de la importancia de los estudios matemáticos del genio en el terreno artístico. El autor dice: "Las pirámides de este libro, como las demás figuras, son también de la mano de mi compatriota anteriormente nombrado, Leonardo da Vinci de Florencia, al que jamás hombre alguno se ha siquiera aproximado en la ciencia del dibujo". Esas figuras junto con "El hombre ideal", son hoy en día verdaderos íconos de un estado del pensamiento que reúne sensibilidad atística y científica, el ideal humanístico. A menudo, en diferentes momentos de la historia, cuando aparece alguna persona que es un fenómeno físico en cualquier disciplina, se la compara con el modelo de Leonardo en "De divina proportione".
Leonardo aplicó el conomiento científico de las proporciones humanas a los estudios de Pacioli y Vitruvio acerca de la belleza. Siguiendo el ideal renacencista, "El hombre ideal" o "El hombre de Vitruvio", pone al hombre en el centro del universo, puesto que está inscrito en un círculo y un cuadrado. La figura sigue las recomendaciones del romano Vitruvio ( Marus Vitruvius Pollio), el arquitecto de Julio César, que vivió en el siglo I a.C. El arquitecto, ingeniero y tratadista romano volvió a estar de actualidad en el Renacimento, con la traducción y publicación en 1486 de toda su obra escrita. En los decenios siguientes, las obras de Vitruvio tuvieron múltiples ediciones en todas las ciudades italianas de relevancia. La arquitectura renacencista las tomó como base para sus teorías, y Leonardo confesó a menudo que el romano era su gran inspiración.
Vitruvio da referencias sobre la figura humana basadas en razones simples. Dice que la altura es igual a la envergadura, y que un hombre tumbado, al extender brazos y piernas, describe un círculo. Muchos artistas intentaron recoger en una misma ilustración esas tres formas: la figura humana, la cuadrada y la circular, no siempre con resultados afortunados. Leonardo encontró una solución original y elegante, basada en que el cuadrado y la circunferencia tienen centros diferentes. Los genitales son el centro del cuadrado, y el ombligo es el centro de la circunferencia. Las proporciones ideales del cuerpo humano que se desprenden de esa figura corresponden a la razón áureea entre el lado del cuadrado y el radio del círculo. Así, la geometría une técnica y belleza a través de la razón áurea.



El hombre ideal, o El hombre de Vitruvio, actualmente conservado en la Real Academia de Venecia, muestra las proporciones ideales del cuerpo humano relacionándolo con la geometría e inserto en un cuadrado y un círculo. La razón entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es áurea.

Un genio de leyenda:Leonardo nació en Vinci, una población cercana a Florencia, en 1452. Era hijo ilegítimo de un notario, pero éste lo crió como al resto de sus hijos. Permaneció en la casa paterna de Florencia hasta ingresar como aprendiz en el taller del pintor Andrea del Verrocchio. En 1472 fue inscrito como maestro pintor. Su primer encargo fue una tabla para el Palazzo Publico que nunca finalizó (la acabó Filippino Lippi). Su relación con los Médici, señores de la ciudad, fue tempestuosa, y en 1486 se trasladó a Milán, bajo el gobierno del duque Ludovico Sforza, que intentaba que su ciudad tuviera la misma importancia cultural que Florencia. A su servicio, Leonardo pintó la "Virgen de las rocas" y el fresco de "La última cena" para el convento de Santa María de las Gracias.
A la caída de Ludovico Sforza en 1500, el maestro vivió en Bérgamo, Mantua y Venecia, pero acabó volviendo a Florencia. Allí, en 1505, pintó su retrato más conocido, la "Gioconda" o "Mona Lisa", un cuadro lleno de misterio, ya que se desconoce la identidad de la dama retratada, qué significa su misterioso gesto y en qué estancia se encuentra mientras es pintada.
En 1513 Leonardo se trasladó a Roma. Trabajó para el papa León X hasta la muerte de éste, en 1517.Sólo entonces aceptó la invitación del rey Francisco I de trasladarse a Francia. Murió allí en 1519, en el castillo de Clos-Lucé, asistido por el propio rey de Francia, si queremos creer la leyenda.



Autorretrato de Leonardo da Vinci, pintado en su vejez, hacia 1513.

-El número de oro en la pintura:

En el Renacimiento, el desarrollo de la perspectiva y la búsqueda de las proporciones ideales para la belleza hicieron coincidir en el tiempo y en la dedicación a artistas y científicos. El momento de la codificación de la perspectiva es también el comienzo de la geometría proyectiva, que los propios pintores renacencistas fundamentaron al lograr plasmar de manera realista los objetos tridimensionales en sus cuadros, es decir, en dos dimensiones. Leonardo da Vinci jugó un papel fundamental en estos logros, pero también lo harían Rafael o Durero.
En 1435 apareció la obra fundamental de la perspectiva, el "Tratado de la pintura", de León Battista Alberti, en el que se explicaban los métodos para conseguir representar la realidad. En ella aparecieron ideas que lo cambiaron todo y que se convirtieron en las nuevas reglas, como las expresadas en las famosas frases "el primer requisito para un pintor es conocer la geometría" y "el cuadro es la ventana abierta a través de la que se ve el objeto pintado".
La obsesión de Alberti era la búsqueda de reglas teóricas y prácticas para guiar el trabajo de los artistas, por lo que sus obras están repletas de numerosos cánones. En "De statuta" expone las proporciones del cuerpo humano, en "De pictura" realiza la primera definición e la perspectiva científica y en "De re aedificatoria" describe su concepto de la arquitectura moderna, completamente imbuido de la proporción áurea. Lo revolucionario de sus propuestas es una constante del conocimiento humano: la mezcla entre lo antiguo y lo moderno, que, en el período renacencista había comenzado ya Felipo Brunelleschi.
Leonardo da Vinci continuó el estudio de la perspectiva, en pleno auge y desarrollo formal y teórico de su época. El genio afirmó que "la perspectiva es la rienda y el timón de la pintura". Su influencia es claramente identificable en muchos de los artistas que le sucedieron, en particular Alberto Durero, quien estuvo igualmente interesado en la investigación de los fundamentos científicos de la pintura. Aunque no se dispone de testimonio directo del uso de la proporción áurea por parte de Leonardo, la composición de obras como "La última cena" se solapa de forma asombrosa con diversas figuras áureas; en especial, el rectángulo.



Los elementos de la composición de "La última cena" de Leonardo tienen proporciones áureas.

En esta obra el rectángulo áureo define tanto las dimensiones de la mesa como la disposición a su alrededor de Cristo y sus discípulos. Con el conocimiento que ya tenemos de la proporción áurea podemos constatar a simple vista que también la siguen las paredes de la estancia y las ventanas del fondo.
Tampoco el retrato de la "Gioconda" está exento de la razón áurea. Diversos estudios muestran cómo el rostro de "Mona Lisa", tanto en su conjunto como en sus detalles, se enmarca con precisión en una elegante sucesión de varios rectángulos áureos.



El rostro de la Gioconda está inserto en rectángulos áureos superpuestos.

En términos generales, los pintores renacencistas influidos, siquiera inconscientemente, por la proporción áurea usaron los RA (rectángulos áureos) para las proporciones a todos los niveles de detalle. El símbolo pentalfa les sirvió para la distribución del espacio, rigiendo sobre todo la colocación de los personajes. Con el mismo propósito se usó también la espiral áurea. Un ejemplo de organización de la estrella pentagonal es "La Sagrada Familia", de Miguel Ángel. La presencia de Φ en "La flagelación", de Piero della Francesa, y en "El nacimiento de Venus", de Sandro Botticelli, ofrece imágenes de una belleza estremecedora. Trazar las figuras que organizan esas obras es un delicioso desafío.
El más destacado conrinuador de la estela de Leonardo fue Alberto Durero. En 1525, Durero publicó el primer libro de matemáticas escrito en alemán: "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas", conocicdo popularmente de manera mucho más simple por el título "De la medida". El pintor y matemático ofrece en él su filosofía de la belleza en la armonía de las proporciones: "La belleza consiste en la armonía de las partes entre sí y con el todo [...] Lo mismo que cada parte en sí debe ser convenientemente dibujada, también su reunión debe crear una armonía de conjunto, [...] porque a los elementos armoniosos se les tiene por bellos".
"De la medida" describe la construcción de un gran número de curvas, como la conocoide, la espiral de Arquímedes y la espiral basada en la sección áurea, también conocida a partir de entonces como "la espiral de Durero". El libro ofrece métodos exactos (y otros aproximados) para construir polígonos regulares; considera las pirámides, los cilindros y otros cuerpos sólidos, y estudia los cinco sólidos platónicos, así como los sólidos semirregulares de Arquímedes. Durero tampoco olvidó la construcción de las secciones cónicas, como la parábola. En conjunto, como vemos, su obra se puede considerar como el inicio de la geometría descriptiva.
Finalmente, el libro cuenta con una introducción a la teoría de la perspectiva. Durero hizo varios grabados en los que mostraba los aparatos necesarios para aplicarla en dibujos del natural.




Dos grabados de Durero dedicados a los aparatos necesarios para aplicar la perspectiva en el dibujo.

En cuanto a los grabados del artista, "Melancolía I" es quizás el más conocicdo. En él, Durero muestra su pericia al trazar distintos objetos en perspectiva, en particular lo que parece ser un romboedro, situado a la izquierda. A la derecha aparece un cuadrado mágico, un cuadrado compuesto por números donde la suma de sus filas, columnas o diagonales es constante. El cuadrado muestra dos cifras en la parte inferior de las filas centrales que datan la obra: 1514.



"Melancolía I" de Durero.



Detalle del cuadrado mágico en el que se puede apreciar la estrecha vinculación de la obra de Durero con sus conocimientos matemáticos.

Tendrán que pasar algunos siglos para que se renueve la relación entre el arte y las matemáticas. El momento privilegiado tuvo lugar a inicios del siglo XX, con el auge del arte abstracto. Los historiadores del arte Lucy Adelman y Michael Compton, escribieron sobre ésta época que "ante todo había un interés generalizado por las geometrías no euclidianas y/o n-dimensionales... En segundo lugar, el período señaló la derrota de la perspectiva y su sustitución con cánones diversos menos sistemáticos. En tercer lugar, los artistas hacían uso de proporciones numéricas y de parrillas que, como las figuras geométricas, se asociaban a la idea de reducir el arte a sus elementos específicos. En cuarto lugar, aparecieron en pintura elementos que se extraían de textos de matemática... Por último, simples figuras geométricas se asociaron a las máquinas y a sus productos y de esta manera al progreso o a la modernidad".
Fue un momento de efervescencia creativa de ambas disciplinas. En 1912 tuvo lugar un acontecimiento revolucionario, como señaló el pintor y escultor suizo Max Bill: "El punto de partida de esta nueva concepción se debe probablemente a Kandinsky, que en su libro "Ueber das Geistige in der Kunst" (De lo espiritual en el arte) puso las premisas de un arte en el que la imaginación del artista se sustituiría por la concepción matemática". Piet Mondrian expresó el cambio con las palabras siguientes: "El neoplasticismo tiene sus raíces en el cubismo. También se le puede llamar pintura abstracto-real, porque lo abstracto (como las ciencias matemáticas pero sin alcanzar como ellas lo absoluto) puede ser expresado por una realidad plástica en la pintura. Ésta es una ccomposición de planos rectangulares coloreados que expresa la realidad más profunda, que llega a través de la expresión plástica de las relaciones y no a través de la apariencia natural... La nueva plástica plantea sus problemas en equilibrio estético y expresa de ese modo la nueva armonía"
Max Bill definió esta nueva manera de entender el arte: "La concepción matemática del arte no es la matemática en el sentido estricto del término, incluso se podría decir que sería difícil para este método utilizar lo que se entiende por matemática exacta. Es más bien una configuración de ritmos y relaciones, de leyes que tienen un origen individual, del mismo modo que la matemática tiene sus elementos innovadores originarios en el pensamiento de sus innovadores".
Muchos artistas destacados del siglo XX tienen un fuerte sabor matemático; muchas obras fundamentales tienen una concepción matemática o incluso usan las matemáticas como fuente de inspiración. No sólo destaca el omnipresente Escher, quizás el más popular, sino movimientos enteros, como el suprematismo o el cubismo. La subcorriente de este último llamada Sección Áurea se basaba en la idea de la búsqueda de formas universales. La "Sección Áurea" del cubismo estuvo liderada por Marcel Duchamp, y en ella participaron nombres tan ilustres como Le Corbusier, Juan Gris y Fernand Léger.

Alberto Durero (1471-1528):Durero, o Dürer, es considerado como la máxima figura del Renacimiento fuera de Italia. Nació en 1471 en Nuremberg, donde se formó como pintor y grabador. Acabada su instrucción, viajó por Alemania, y en 1494, visitó Venecia, lo que le dio ocasión de conocer la obra matemática de Pacioli. Al año siguiente abrió su propio taller en su ciudad natal. Además de pintura, se dedicó a estudiar a fondo matemáticas. Vivió en Italia de 1505 a 1507, más interesado en aprender sus matemáticas que su arte, del que ya era maestro consumado. Fue nombrado pintor de la corte del emperador Maximiliano I en 1512. El nuevo emperador Carlos V le renovó el cargo en 1520. Además del tratado "De la pintura" también escribió "Los cuatro libros de las proporciones del cuerpo humano". Finalmente falleció el 6 de abril de 1528 en Nuremberg.

-La proporción áurea en la arquitectura:

La proporción áurea se intuye en construcciones humanas desde los antiguos egipcios, aunque raramente puede asegurarse que ello obedeciera a una preferencia deliberada. La altura y la base de la gran pirámide de Keops, por ejemplo, guardan entre sí una íntima correspondencia con Φ.



Los arcos del triunfo de la Roma clásica resiguen la proporción áurea, como también lo hacen las tumbas licias y las iglesias de la antigua ciudad de Mira (la actual Demre turca). Otras civilizaciones muy alejadas de la cultura clásica parecen coincidir en el aprecio por la razón de oro. No lejos del lago Titicaca, junto a la capital de Bolivia, La Paz, se encuentra la Puerta del Sol de Tiwanaku, monumento de una cultura preincaica regido completamente por Φ.



La Puerta del Sol de Tiwanaku (Bolivia), que en la actualidad se halla medio derruida, tiene una composición que parece articulada por rectángulos áureos. La construcción data del 1500 a.C. aproximadamente.

Como ya se ha mencionado, siempre se ha considerado que, de todas las construcciones de la Antigüedad, el ejemplo más representativo de uso clásico de la proporción áurea en la arquitectura ha sido el Partenón. No en vano, el nombre moderno de la sección áurea, phi, es la inicial del constructor de este monumento, Fidias. Sin embargo, hoy en día este punto es objeto de discusión.
Ciertamente, la media y extrema razón tuvo su mayor valedora occidental en la cultura griega, pero una toma de medidas sobre el terreno arroja una cantidad de inexactitudes tan sorprendente que han acabado por levantarse las sospechas en una parte considerable de la comunidad de expertos. ¿Es posible que en la historia de la cultura occidental haya habido un intento de encontrar la relación áurea en el diseño del Partenón más que un uso consciente por parte de sus constructores? Es el problema de la interpretación cuando los datos son lo convenientemente ambiguos; una cuestión que ha dado mucho trabajo en todas las civilizaciones a los exégetas de todos los tiempos. Siempre se pueden contar 666 pasos, escalones, pulgadas, entre dos puntos cualesquiera para justificar la subida del demonio desde los infiernos o la bajada del profeta desde los cielos. De igual manera, tomando las medidas adecuadas cualquier monumento, siempre se puede encontrar Φ como cociente, aunque el arquitecto no pensara en ella en su construcción.
Sin embargo, podemos certificar como usos conscientes las manifestaciones de la divina proporción en la Edad Media, porque a menudo están documentadas. El pentágono regular o el pentágono estrellado aparecen como recursos de construcción durante todo este período. Los espectaculares rosetones de las catedrales góticas son clásicos ejemplos de ello.
Con la edición traducida de Vitruvio, los teóricos de la arquitectura renacencistas reivindicaron la necesidad de la armonía de las proporciones en las construcciones en pos de la belleza. En el apartado correspondiente de "La divina proporción", Luca Pacioli pone al hombre como centro de todas las cosas: "Hablaremos antes de la proporción humana referente a su cuerpo y miembros, pues toda medida con sus denominaciones se deriva del cuerpo humano y en él están señaladas por el dedo de Dios toda suerte de proporciones y proporcionalidades que revelan los más intrínsecos secretos de la naturaleza", para luego utilizarlo como medida del mundo: "Y por eso los antiguos, considerando la debida disposición del cuerpo humano, conformaban todas sus obras, máxime los templos sagrados, de acuerdo con la proporción de dicho cuerpo, pues en aquél encontraban las dos figuras principales sin las cuales no es posible hacer nada, es decir, la circular y el cuadrado".
En el libro "De re aedificatoria", el polifacético Leon Battista Alberti (1404-1472) afirma que la belleza consiste en la armonía de las partes entre sí y con el todo. Dice Alberti que la belleza "es el valor absoluto de un organismo estético, que irradia en el alma humanauna alegría interior, suscitando un acuerdo irremplazable entre el hombre y el universo mediante el cálculo matemático, el juego de las proporciones, o en términos tomados del "Timeo" de Platón, de las medidas pitagóricas".
La estrecha relación entre proporción y armonía en el ámbito de la música espoleó esta búsqueda de la concordancia entre los elementos de una construcción. La idea partió quizás de la reflexión de Andrea Palladio (1508-1580), el arquitecto véneto del manierismo, que tanta influencia tendría en el neoclasicismo. En su obra "Cuatro libros de arquitectura" consideró que las proporciones de las voces eran armonías para los oídos, mientras que las de las dimensiones eran armonías para los ojos: "Dichas armonías suelen complacer considerablemente, sin que nadie salvo aquellos que estudian las causas de las cosas sepa por qué".
No sólo la Italia del Renacimiento practicó el uso de la razón áurea en el diseño de sus edificios monumentales. La Universidad de Salamanca es la más antigua de España (data de 1218) y la primera de Europa que tuvo el título de universidad.
La fachada fue reconstruida en el siglo XV siguiendo el estilo plateresco, una fusión de mudéjar y gótico flamígero exclusiva del Renacimiento español. La relación de oro preside sus proporciones.

-Arquitectura contemporánea:

Los avances en las técnicas de construcción y el desarrollo de nuevos materiales hicieron estallar los límites para la imaginación de los arquitectos del siglo XX. El norteamericano Frank Lloyd Wright (1867-1959) fue uno de los representantes de la arquitectura orgánica. Poco antes de morir, como elegante canto del cisne y legado impagable para la posteridad, diseñó la gran rampa de acceso al Museo Guggenhein de Nueva York siguiendo una forma muy osada: la estructura del nautilo, es decir, de un espiral.



Interior del Museo Guggenheim de Nueva York cuya forma de espiral áurea revolucionó la arquitectura en el momento de su concepción. Sobre esta imagen se transparenta otra de un nautilo para que se puedan ver sus coincidencias.

También el arquitecto polaco Zvi Hecker (1931) utilizó diseños en espiral en las escuelas Heinz-Galinsky de Berlín, construidas en 1995. Hecker partió del concepto de un girasol, con un círculo en el centro alrededor del que rotan todos los elementos arquitectónicos.
El edificio es una combinación de una retícula ortogonal y una concéntrica, intentando repesentar la simbiosis entre la rigidez del pensamiento humano y el caos controlado de lo natural. Imita a la planta, que sigue la órbita del Sol, para que sus rayos iluminen todas las clases a lo largo del día.



Vista aérea de las escuelas Heinz-Galinsky, diseñadas por Zvi Hecker, cuya planta se inspira en la disposición de los pétalos de un girasol. También aquí el arquitecto quiso imitar la naturaleza, en la que la colocación de los pétalos está muy relacionada con Φ.

El Quincy Park, situado en la ciudad de Cambridge, en Massachusetts (Estados Unidos), está lleno de referencias a la espiral áurea. Fue diseñado en 1997 por el artista David Phillips y se encuentra muy cerca del Clay Math Institute (CMI). El CMI es el centro de investigación matemático célebre, entre otras cosas, por ofrecer desde el año 2000 un millón de dólares por la resolución de cada uno de los siete problemas del milenio, escogidos entre los más importantes pensadores dentro del campo de la investigación matemática. En el Quincy Park se puede pasear entre estatuas con la espiral áurea y curvas de metal, relieves de dos conchas y una piedra con una raíz cuadrada. Una placa de información sobre la razón áurea, e incluso el aparcamiento de bicicletas utiliza el símbolo de Φ.

-Le Corbusier:

El rompedor y radicalmente moderno Le Corbusier quiso estrechar la mano de Luca Pacioli a lo largo de los siglos cuando dijo de él que también había buscado en el pasado. En los tiempos del sistema métrico, Le Corbusier aspiró a hacer su propia aportación a la exuberante historia del número de oro. Se quejó de que el sistema métrico había despersonalizado los instrumentos de medida y, por lo tanto, se había perdido la escala humana. Para recuperarla, inventó su propia escala basada en la proporción áurea, pero pasada por el tamiz de los tiempos moderno. Como respuesta al hombre de Vitruvio, ideó el "hombre de modulor". "El metro, el centímetro, el decímetro no son de la escala humana, el modulor, sí. Tomé las proporciones desde el plexo solar hasta la cabeza y el brazo y encontré la sección de oro allí, y creé un sistema de dimensionamiento que responde a las dimensiones del cuerpo humano. Lo descubrí sin darme cuenta. No soy pretencioso, pero es importante y abre a la industria enormes posibilidades; es útil y moderno..., es una innovación sensacional".



Estatua de "El modulor" realizada a partir de las medidas ideales sugeridas por Le Corbusier en su libro homónimo. El hombre con la mano levantada mide 226 cm y su mitad se encuentra en el ombligo (113 cm). Ambas cifras multiplicadas o divididas por Φ generan una sucesión de Fibonacci.

Matila Ghyka recogió los aportes de Le Corbusier, en el volumen segundo de su libro "El número de oro", en el que explicaba que el rectángulo áureo "ha entrado triunfalmente en arquitectura a través de los planos recientes del más célebre apóstol y representante de las nuevas tendencias". A continuación describió los planos del arquitecto para el "Mundaneum" de Ginebra. Le Corbusier explicó que había concebido el "Mundaneum" como una ciudad rectangular, donde la razón entre la longitud y la profundidad del rectángulo está dada por Φ: "La sección áurea define ambos ejes (de crecimiento). así como los lados del recinto general [...] El ritmo está ordenado de acuerdo con la sección áurea, medida que ha determinado la armonía de tantas obras de todos los tiempos".
Los años de la Segunda Guerra Mundial detuvieron la construcción y se centraron en lamentablemente la tarea opuesta. Le Corbusier dedicó ese tiempo a la teoría. Entre 1942 y 1948 desarrolló el "modulor", un sistema de medidas para la edificación y el diseño del mobiliario doméstico basado en la proporción áurea y en las medidas de un cuerpo humano del prototipo sajón (1,82 m de de estatura). El libro "El modulor" se publicó en 1950 y fue un éxito inmediato. Tuvo una continuación en 1955: "El modulor 2", que adaptaba las medidas del prototipo latino (1,72 m de estatura).

Le Corbusier (1887-1965):Charles-Édouard Jeanneret-Gris, llamado Le Corbusier, era de origen suizo pero se nacionalizó francés. Comenzó en su tierra natal el aprendizaje de oficios artísticos que le acabarían conduciendo a la arquitectura. A los 29 años acudió a París, donde abrió su propio estudio de arquitectura en 1922. Viajó por Europa, Iberoamérica y Estados Unidos. Le Corbusier se proyectó más allá de la arquitectura, en el urbanismo y el diseño (algunos de sus diseños son íconos contemporáneos, como su silla chaise longue). Fundó revistas influyentes, dictó conferencias y publicó numerosos tratados teóricos; fue también un notable pintor, con influencia en el cubismo. Construyó casas individuales y grandes urbanizaciones en países de todo el mundo, convirtiéndose en uno de los arquitectos más conocidos a nivel mundial. Participó en la comisión internacional que diseñó el edificio de las Naciones Unidas en Nueva York. Con modificaciones de Niemeyer, otro gigante de la arquitectura y discípulo suyo, finalmente se realizó su proyecto. No es extraño, por lo tanto, que se puedan identificar tres rectángulos áureos en la fachada del monumental edificio.