Buenos dias T! estoy creando un post que va a llevar un largo tiempo, asi que mientras, ya que estoy estudiando esto para rendir la previa de 3ro, pense en hacer un post sobre esto
Antes de empezar voy a hacer ciertas acotaciones.
El indice de la raiz siempre se pone excepto si la raiz es cuadrada, que el indice se deja en blanco.
Si tenemos una raiz negativa, es resultado varia dependiendo el nivel de conocimiento, si ya viste numeros complejos al resultado se le agrega una "i" es decir, la raiz cuadrada de -4 es igual a 2i. Si no viste numeros complejos el resultado es una E al reves tachada, indicando que no existe el resultado, "∄"
Antes de empezar con los radicales, hay que explicar que son los numeros irracionales, para entender porque se estudian los radicales.
Un numero irracional es un numero con decimales infinitos, sease, √2 ; π, etc.
Por eso, para evitarnos el problema de decidirnos cuantos numeros despues de la "," usar y la tediosidad de usar esos numeros, se usan los radicales.
Esto nos dice que la raiz "n" de un numero "a" nos da "b". Ahora, si recordamos la definicion de la potenciacion, nos dice que un numero "b" elevado a la "n" es igual a "a". En simples palabras, la radicacion es la accion contraria a la potenciacion Es decir, supongamos que la raiz es cuadrada (2), el numero que esta adentro de la raiz, fue elevado al cuadrado para llegar a ese numero, supongamos, la raiz cuadrado de 4, es 2, porque 2 elevado al 2 es 4, espero haberme explicado bien, si tienen dudas no tengan dudas en mandarme MP.
Lo mas problable es que ningun ejercicio de la prueba sean asi, pero si no saben esto, no pueden hacer nada, cruda realidad de las matematicas.
Las propiedades en las matematicas, podriamos decir que son las "reglas" que nunca se pueden quebrar, es decir, si una regla me dice que 2 + 2= 4, en ningun caso, sea cual sea la situacion, puede dar otro resultado, es un ejemplo bruto pero es para que se entienda jaja. Todos sabemos que ese resultado es 5
Esta propiedad nos dice que si a un radical lo queremos expresar como fraccion, se eleva a la base a una fraccion que contiene en el nomidaror el numero al que esta elevado la baso y en el denominador el numero del indice de la raiz, es decir, si tenemos la raiz 4 de 8 esto es igual a 8 elevado a 1/4. Recordemos que por mas que no se coloque, todo numero esta elevado a la 1. Lo mismo a la inversa, si un numero esta elevado a una fraccion, se convierte en raiz
Esta propiedad es muy simple, nos dice que si queremos que un numero entre al radical, lo que hacemos es elevar ese numero por el indice de la raiz, por logica, estamos aplicando la definicion. Es decir, si tenemos 8 raiz cuadrada de 2 = raiz cuadrada de 8 elevado al cuadrado por 2, Etc...
Esta propiedad nos dice que si tenemos dos raices que se estan multiplicando, y tienen el mismo indice, podemos expresarlo como una sola raiz, y que adentro se multipliquen cada base. Es decir, raiz cuadrada de 2 por raiz cuadrada de 3 seria igual a la raiz cuadrada de 3 por 2.
Es exactamente lo mismo que la anterior pero en una division, en ves de tener dos raices de una divisioncon el mismo indice, ponemos toda la division adentro de una sola raiz
Esta propiedad nos dice que si a la raiz la esta elevando un numero, se eleva la base, no el indice de la raiz. HAY QUE TENER SIEMPRE EN CUENTA QUE ESTO PASA SI EL EXPONENTE DE LA RAIZ Y EL EXPONENTE DE LA ELEVACION NO SON SIMPLIFICABLES, SI LA RAIZ ES 4 Y EL EXPONENTE 2, EN VES DE HACER ESTO, SE SIMPLIFICA, igual, en caso de no hacer esto, luego a la hora de extraer la base fuera del radical es lo mismo, pero es un paso menos si se simplifica.
Esta propiedad nos dice que si hay una raiz adentro de otra raiz, lo que se tiene que hacer es, dejar la base adentro de una raiz, la cual el indice va a ser el resultado de la multiplicacion de las 2 raices.
Esta propiedad nos dice que si el indice de la raiz, es el mismo que el exponente de la base, el resultado es la base, simple.
Ya sabiendo todo esto, vamos a empezar a trabajar, como dije antes, esto se hizo para no tener que poner un numero irracional, entonces, si tenemos la raiz cuadrada de 75 ¿que hay que hacer? descomponer en factores primos, es decir, sacarle mitad (en este caso no se puede) pero si se le puede sacar tercera y quinta. Es decir, una ves sacados los factores primos, en este caso nos queda 3 POR 5^2. Ya que tenemos una raiz cuadrada, por definicion el 5, al estar elevado al cuadrado puede salir de la raiz, quedando 5 raiz de 3.
Para los que no entienden, esto es porque, si aplicamos propiedades, cada factor lo podemos poner en un raiz distinta, y el 5 al estar al cuadrado y la raiz al ser cuadrada, sale la base sola, es decir el 5, por eso es que queda 5 raiz cuadrada de 3.
Ahora, que pasa cuando, por ejemplo, luego de descomponer un numero en factores primos, el resultado de un factor es mas grande que el indice, por ejemplo, la raiz es cuadrada, y el exponente del factor es 4, el factor sale elevado al cuadrado, y fuera, se hace la elevacion, es decir.
Ahora, supongamos que el exponente, es mas grande que el indice es mas grande que la raiz PERO no son numeros divisibles, lo que se hace es didivirlo en un numero que sale justo y dejar lo otro aparte, es decir, si esta la raiz cuadrada de x al cubo, se divide a la x al cubo en x al cuadrado y x.
Voy a poner un ejemplo de lo que acote arriba de los numeros negativos, suponiendo que saben numeros complejos, ya que si no lo saben solo ponen la E al reves
Bueno esos son los casos mas relevantes que hacen falta explicar si estas aprendiendo radicales. Cualquier cosa si hay un ejercicio que les cuesta diganlo por MP o comentario.
Como vimos en el apartado anterior, al extraer, ahi veces que quedan fuera de la raiz multiplicando, por ejemplo, 3 raiz cuadrada de 2.
Entonces para hacer sumas y restas lo unico que se hace es sumar o restar los numeros que esten afuera de la raiz, SIEMPRE QUE TENGAN LA MISMA RAIZ, es decir, yo no puedo sumar, 2 raiz de 2 + 3 raiz de 5.
Ahora supongamos que todos los factores de una raiz salen, y no quedan con una raiz, si la consigna es solo sumar, NO SE HACE NADA.
En el caso de la multiplicacion es muy distinto a la suma y resta. Primero voy a aclarar algo, si el ejercicio es por ej, 2 raiz cuadrada de 4, obviamente al extraer factores sale un 2, ese dos, multiplica al otro 2 que estaba afuera, es decir, todos los numeros que esten fuera del radical siempre se multiplican.
Una vez aclarado esto, la multiplicacion se realiza asi. Se multiplican los numeros que estan fuera del radical entre si, y los que estan adentro del radical entre si.
Logicamente en este tipo de ejercicios tambien existe la distributiva.
En el caso de tener una multiplicacion donde el indice de la raiz es distinto, por ejemplo, un indice es 2 y el otro es 3, lo que se hace es sacar el minimo comun multiplo (que en este caso es el 6) es decir, si hace una sola raiz de indice 6, y a cada factor se lo eleva por lo que falta para llegar al 6, es decir, es la raiz de 2, a todos se los eleva al cubo porque 2 x 3 = 6.
En fin, esto es todo lo que tienen que tienen que saber de las multiplicaciones.
Esto es algo que practicamente no se usa, pero al final del post yo les voy a pasar un practico que tengo donde se ve todos los temas de radicales, y ese esta, asi que me veo en la obligacion de explicarlo, muchos confunden esto con la extraccion, pero no.
Esto es asi, si tengo una raiz 6 de un numero "x" elevado al cuadrado, lo que hago es simplificar como en una fraccion, es simplimente eso, simplificar, no extraer.
Un concejo que les doy, simplifiquen solo si la consigna lo pide, si no no, por eso les digo que mucha gente lo confunde con la extraccion y piensa que da lo mismo, pero no, no da lo mismo. Haganle caso a alguien que ya lo sufrio xD
Esto ya lo explique en la parte de las propiedades, pero voy a dar un ejemplo numerico para que sea mas facil de entender.
Bueno, aca empieza la parte hermosa de los radicales jaja. Espero poder explicarme bien en esto porque es algo extenso para hacerlo con palabras, por eso me ayudo con imagenes.
Estos ejercicios son siempre una fraccion con una raiz en el denominador, la idea es representar la misma fraccion, pero sin la raiz en el denominador.
Para esto lo que se hace es multiplicar la fraccion, por otra fraccion que tenga en el denominador y en el nominador, la misma raiz que esta en el denominador en la primera que queremos convertir. Ahora un dibujo que creo que si es necesario jaja
Quiero que aclarar que ese no es el resultado final del ejercicio, osea, la racionalizacion esta bien, queda asi, pero falta hacer la extraccion en el nominador, pero ahi esta hecha la racionalizacion ya.
Ahora supongamos que la raiz es cubica u otro numero superior a 2, Pero el numero de adentro esta elevado a la 1, cosa que si multiplicas por la misma raiz, quedaria, raiz cubica de b al cuadrado, por ej, entonces no podemos hacer la racionalizacion, por eso lo que hacemos, es elevar el numero a un numero "x" que nos deje simplificar.
Bueno, el ultimo caso con el que se pueden encontrar es que en el denomidor no sea una raiz sola, si no que haya una suma o resta, lo que hacemos ahi es multiplicar por el conjugado, es decir, si hay una suma, multiplicamos por una resta, y si hay una resta, multiplicamos por una suma, esto es para poder hacer una diferencia de cuadrados.
Bueno, el ultimo tema, esto se trata sobre la propiedad de escribir la raiz en forma de potencia, que es una fraccion, en el nominador va la elevacion de la base, y en el denominador el indice de la raiz.
Se ve que el 3 en la raiz esta como nueve, porque el nominador me indica que se eleva al cuadrado.
Esto tambien puede ser al reves, que me den una raiz y la tenga que expresar en forma de exponente.
Muchos diran, ¿que tiene que ver esto con los radicales? absolutamente nada ¿porque lo explico? porque en la fotocopia que voy a dejar hay ejercicios en donde tenes que usar el teorema de pitagoras y logicamente las medidas estan con raices, entonces me veo en la obligacion de explicar esto.
El teorema de pitagoras se usa para saber cuanto mide un lado de un cuadrado si tenemos los otros 2. Y si tenemos solo la hipotenusa, podemos sacar los otros 2 (siempre que sean iguales claro).
El teorema de pitagoras plantea lo siguiente.
ESTE TEOREMA SOLO SE APLICA A TRIANGULOS RECTANGULOS (triangulos con un angulo de 90°)
Esto nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado. Con un ejemplo sencillo.
Ahora, ¿como podemos aplicar esto a otras figuras? supongamos que tenemos un rectangulo y queremos saber su perimetro, pero tenemos un lado y la hipotenusa, no se puede aplicar
H^2 = A^2 + B^2 Por que la hipotenusa ya la conocemos, entonces la formula cambia. Seria asi
En este apartado lo unico que importa es ver como se ve un grafico de una funcion con raiz, son simplemente dos casos, raiz par, y raiz impar, despues varia dependiendo del numero que este adentro de la raiz, nada mas
este es el grafico de una funcion de raiz con indice par
Bueno, terminamos!!!!!! jajaj es muy tedioso leerlo, pero bueno, antes de dejar el practico voy a dejarles 2 ayudas. Van a encontrar casos asi (a + b)^2 o (a + b)^3
Estos son binomios al cuadrado y al cubo respectivamente. Se resuelven asi
Bueno, aca estan las imagenes del trabajo, son 4 hojas.
Esas partes que diven "ver" o "calc" son cosas que dejaba para hacer despues y me olvide de borrarlo jaja. Hacer todo el trabajo me llevo 7 hojas de cuaderno.
Bueno, eso fue todo, espero que les guste y les sea de ayuda a muchos, si tienen alguna duda manden MP o escribanlo en los comentarios, si quieren los resultados pidanmelos, no aseguro que esten bien jaja. Por ultimo cito una frase de la profesora que tenia en 3ro
"Encuadrar el resultado para obtener exito matematico"
BY: Cenoz
Antes de empezar voy a hacer ciertas acotaciones.
El indice de la raiz siempre se pone excepto si la raiz es cuadrada, que el indice se deja en blanco.
Si tenemos una raiz negativa, es resultado varia dependiendo el nivel de conocimiento, si ya viste numeros complejos al resultado se le agrega una "i" es decir, la raiz cuadrada de -4 es igual a 2i. Si no viste numeros complejos el resultado es una E al reves tachada, indicando que no existe el resultado, "∄"
Antes de empezar con los radicales, hay que explicar que son los numeros irracionales, para entender porque se estudian los radicales.
Un numero irracional es un numero con decimales infinitos, sease, √2 ; π, etc.
Por eso, para evitarnos el problema de decidirnos cuantos numeros despues de la "," usar y la tediosidad de usar esos numeros, se usan los radicales.
DEFINICION
Esto nos dice que la raiz "n" de un numero "a" nos da "b". Ahora, si recordamos la definicion de la potenciacion, nos dice que un numero "b" elevado a la "n" es igual a "a". En simples palabras, la radicacion es la accion contraria a la potenciacion Es decir, supongamos que la raiz es cuadrada (2), el numero que esta adentro de la raiz, fue elevado al cuadrado para llegar a ese numero, supongamos, la raiz cuadrado de 4, es 2, porque 2 elevado al 2 es 4, espero haberme explicado bien, si tienen dudas no tengan dudas en mandarme MP.
Lo mas problable es que ningun ejercicio de la prueba sean asi, pero si no saben esto, no pueden hacer nada, cruda realidad de las matematicas.
PROPIEDADES
Las propiedades en las matematicas, podriamos decir que son las "reglas" que nunca se pueden quebrar, es decir, si una regla me dice que 2 + 2= 4, en ningun caso, sea cual sea la situacion, puede dar otro resultado, es un ejemplo bruto pero es para que se entienda jaja. Todos sabemos que ese resultado es 5
Esta propiedad nos dice que si a un radical lo queremos expresar como fraccion, se eleva a la base a una fraccion que contiene en el nomidaror el numero al que esta elevado la baso y en el denominador el numero del indice de la raiz, es decir, si tenemos la raiz 4 de 8 esto es igual a 8 elevado a 1/4. Recordemos que por mas que no se coloque, todo numero esta elevado a la 1. Lo mismo a la inversa, si un numero esta elevado a una fraccion, se convierte en raiz
Esta propiedad es muy simple, nos dice que si queremos que un numero entre al radical, lo que hacemos es elevar ese numero por el indice de la raiz, por logica, estamos aplicando la definicion. Es decir, si tenemos 8 raiz cuadrada de 2 = raiz cuadrada de 8 elevado al cuadrado por 2, Etc...
Es exactamente lo mismo que la anterior pero en una division, en ves de tener dos raices de una divisioncon el mismo indice, ponemos toda la division adentro de una sola raiz
Esta propiedad nos dice que si a la raiz la esta elevando un numero, se eleva la base, no el indice de la raiz. HAY QUE TENER SIEMPRE EN CUENTA QUE ESTO PASA SI EL EXPONENTE DE LA RAIZ Y EL EXPONENTE DE LA ELEVACION NO SON SIMPLIFICABLES, SI LA RAIZ ES 4 Y EL EXPONENTE 2, EN VES DE HACER ESTO, SE SIMPLIFICA, igual, en caso de no hacer esto, luego a la hora de extraer la base fuera del radical es lo mismo, pero es un paso menos si se simplifica.
Esta propiedad nos dice que si hay una raiz adentro de otra raiz, lo que se tiene que hacer es, dejar la base adentro de una raiz, la cual el indice va a ser el resultado de la multiplicacion de las 2 raices.
Esta propiedad nos dice que si el indice de la raiz, es el mismo que el exponente de la base, el resultado es la base, simple.
EXTRACCION
Ya sabiendo todo esto, vamos a empezar a trabajar, como dije antes, esto se hizo para no tener que poner un numero irracional, entonces, si tenemos la raiz cuadrada de 75 ¿que hay que hacer? descomponer en factores primos, es decir, sacarle mitad (en este caso no se puede) pero si se le puede sacar tercera y quinta. Es decir, una ves sacados los factores primos, en este caso nos queda 3 POR 5^2. Ya que tenemos una raiz cuadrada, por definicion el 5, al estar elevado al cuadrado puede salir de la raiz, quedando 5 raiz de 3.
Para los que no entienden, esto es porque, si aplicamos propiedades, cada factor lo podemos poner en un raiz distinta, y el 5 al estar al cuadrado y la raiz al ser cuadrada, sale la base sola, es decir el 5, por eso es que queda 5 raiz cuadrada de 3.
Ahora, que pasa cuando, por ejemplo, luego de descomponer un numero en factores primos, el resultado de un factor es mas grande que el indice, por ejemplo, la raiz es cuadrada, y el exponente del factor es 4, el factor sale elevado al cuadrado, y fuera, se hace la elevacion, es decir.
Ahora, supongamos que el exponente, es mas grande que el indice es mas grande que la raiz PERO no son numeros divisibles, lo que se hace es didivirlo en un numero que sale justo y dejar lo otro aparte, es decir, si esta la raiz cuadrada de x al cubo, se divide a la x al cubo en x al cuadrado y x.
Voy a poner un ejemplo de lo que acote arriba de los numeros negativos, suponiendo que saben numeros complejos, ya que si no lo saben solo ponen la E al reves
Bueno esos son los casos mas relevantes que hacen falta explicar si estas aprendiendo radicales. Cualquier cosa si hay un ejercicio que les cuesta diganlo por MP o comentario.
SUMAS Y RESTAS
Como vimos en el apartado anterior, al extraer, ahi veces que quedan fuera de la raiz multiplicando, por ejemplo, 3 raiz cuadrada de 2.
Entonces para hacer sumas y restas lo unico que se hace es sumar o restar los numeros que esten afuera de la raiz, SIEMPRE QUE TENGAN LA MISMA RAIZ, es decir, yo no puedo sumar, 2 raiz de 2 + 3 raiz de 5.
Ahora supongamos que todos los factores de una raiz salen, y no quedan con una raiz, si la consigna es solo sumar, NO SE HACE NADA.
MULTIPLICACION
En el caso de la multiplicacion es muy distinto a la suma y resta. Primero voy a aclarar algo, si el ejercicio es por ej, 2 raiz cuadrada de 4, obviamente al extraer factores sale un 2, ese dos, multiplica al otro 2 que estaba afuera, es decir, todos los numeros que esten fuera del radical siempre se multiplican.
Una vez aclarado esto, la multiplicacion se realiza asi. Se multiplican los numeros que estan fuera del radical entre si, y los que estan adentro del radical entre si.
Logicamente en este tipo de ejercicios tambien existe la distributiva.
MULTIPLICACION DE DISTINTO INDICE
En el caso de tener una multiplicacion donde el indice de la raiz es distinto, por ejemplo, un indice es 2 y el otro es 3, lo que se hace es sacar el minimo comun multiplo (que en este caso es el 6) es decir, si hace una sola raiz de indice 6, y a cada factor se lo eleva por lo que falta para llegar al 6, es decir, es la raiz de 2, a todos se los eleva al cubo porque 2 x 3 = 6.
En fin, esto es todo lo que tienen que tienen que saber de las multiplicaciones.
SIMPLIFICACION
Esto es algo que practicamente no se usa, pero al final del post yo les voy a pasar un practico que tengo donde se ve todos los temas de radicales, y ese esta, asi que me veo en la obligacion de explicarlo, muchos confunden esto con la extraccion, pero no.
Esto es asi, si tengo una raiz 6 de un numero "x" elevado al cuadrado, lo que hago es simplificar como en una fraccion, es simplimente eso, simplificar, no extraer.
Un concejo que les doy, simplifiquen solo si la consigna lo pide, si no no, por eso les digo que mucha gente lo confunde con la extraccion y piensa que da lo mismo, pero no, no da lo mismo. Haganle caso a alguien que ya lo sufrio xD
INTRODUCIR FACTORES
Esto ya lo explique en la parte de las propiedades, pero voy a dar un ejemplo numerico para que sea mas facil de entender.
RACIONALIZACION DE DENOMINADORES
Bueno, aca empieza la parte hermosa de los radicales jaja. Espero poder explicarme bien en esto porque es algo extenso para hacerlo con palabras, por eso me ayudo con imagenes.
Estos ejercicios son siempre una fraccion con una raiz en el denominador, la idea es representar la misma fraccion, pero sin la raiz en el denominador.
Para esto lo que se hace es multiplicar la fraccion, por otra fraccion que tenga en el denominador y en el nominador, la misma raiz que esta en el denominador en la primera que queremos convertir. Ahora un dibujo que creo que si es necesario jaja
Quiero que aclarar que ese no es el resultado final del ejercicio, osea, la racionalizacion esta bien, queda asi, pero falta hacer la extraccion en el nominador, pero ahi esta hecha la racionalizacion ya.
Ahora supongamos que la raiz es cubica u otro numero superior a 2, Pero el numero de adentro esta elevado a la 1, cosa que si multiplicas por la misma raiz, quedaria, raiz cubica de b al cuadrado, por ej, entonces no podemos hacer la racionalizacion, por eso lo que hacemos, es elevar el numero a un numero "x" que nos deje simplificar.
Bueno, el ultimo caso con el que se pueden encontrar es que en el denomidor no sea una raiz sola, si no que haya una suma o resta, lo que hacemos ahi es multiplicar por el conjugado, es decir, si hay una suma, multiplicamos por una resta, y si hay una resta, multiplicamos por una suma, esto es para poder hacer una diferencia de cuadrados.
POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL
Bueno, el ultimo tema, esto se trata sobre la propiedad de escribir la raiz en forma de potencia, que es una fraccion, en el nominador va la elevacion de la base, y en el denominador el indice de la raiz.
Se ve que el 3 en la raiz esta como nueve, porque el nominador me indica que se eleva al cuadrado.
Esto tambien puede ser al reves, que me den una raiz y la tenga que expresar en forma de exponente.
TEOREMA DE PITAGORAS
Muchos diran, ¿que tiene que ver esto con los radicales? absolutamente nada ¿porque lo explico? porque en la fotocopia que voy a dejar hay ejercicios en donde tenes que usar el teorema de pitagoras y logicamente las medidas estan con raices, entonces me veo en la obligacion de explicar esto.
El teorema de pitagoras se usa para saber cuanto mide un lado de un cuadrado si tenemos los otros 2. Y si tenemos solo la hipotenusa, podemos sacar los otros 2 (siempre que sean iguales claro).
El teorema de pitagoras plantea lo siguiente.
ESTE TEOREMA SOLO SE APLICA A TRIANGULOS RECTANGULOS (triangulos con un angulo de 90°)
Esto nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado. Con un ejemplo sencillo.
Ahora, ¿como podemos aplicar esto a otras figuras? supongamos que tenemos un rectangulo y queremos saber su perimetro, pero tenemos un lado y la hipotenusa, no se puede aplicar
H^2 = A^2 + B^2 Por que la hipotenusa ya la conocemos, entonces la formula cambia. Seria asi
GRAFICO
En este apartado lo unico que importa es ver como se ve un grafico de una funcion con raiz, son simplemente dos casos, raiz par, y raiz impar, despues varia dependiendo del numero que este adentro de la raiz, nada mas
este es el grafico de una funcion de raiz con indice par
y este es el grafico de una funcion de raiz con indice impar
y bueno, eso es todo lo de graficos jajaja era muy corto
Bueno, terminamos!!!!!! jajaj es muy tedioso leerlo, pero bueno, antes de dejar el practico voy a dejarles 2 ayudas. Van a encontrar casos asi (a + b)^2 o (a + b)^3
Estos son binomios al cuadrado y al cubo respectivamente. Se resuelven asi
Bueno, aca estan las imagenes del trabajo, son 4 hojas.
Esas partes que diven "ver" o "calc" son cosas que dejaba para hacer despues y me olvide de borrarlo jaja. Hacer todo el trabajo me llevo 7 hojas de cuaderno.
Bueno, eso fue todo, espero que les guste y les sea de ayuda a muchos, si tienen alguna duda manden MP o escribanlo en los comentarios, si quieren los resultados pidanmelos, no aseguro que esten bien jaja. Por ultimo cito una frase de la profesora que tenia en 3ro
"Encuadrar el resultado para obtener exito matematico"
BY: Cenoz