Introducción al Calculo Diferencial

Hola Taringueros. 


En esta ocasión presentaré de manera breve y con palabras de mortales, algunos de los conceptos básicos para comprender un poco el cálculo diferencial. 

El objetivo es intentar ayudar a comprender un poco mejor esta materia, pues no es algo que a todos se nos dé fácil, y peor aún, corremos con la mala suerte de no entender ni una palabra de lo que los individuos al frente del pizarrón están diciendo. 

Así que comencemos. 

¿Qué es el cálculo diferencial? 

Es una rama de las matemáticas que fue desarrollada para joder a los estudiantes, que consiste en el estudio de las funciones, las cuales comúnmente se denotan por "f(x)". 
 

Historia real a parte, se le atribuye a Isaac Newton su desarrollo cuando estudiaba las velocidades como una razón de cambio del desplazamiento como función del tiempo V=d/t 


Dentro de esta rama de las matemáticas hay conceptos que son fundamentales, tal es el caso de "límite". Por razones que mencioné antes, no mencionaré su definición formal, pero podemos entenderlo si pensamos en el siguiente problema: 

Imagina que entre tú y una pared existe una distancia "x", y que sólo tienes permitido avanzar en cada paso la mitad de la distancia que hay entre tú y la pared; así, tu primer paso será "x/2", tu segundo paso será "x/4" (la mitad de "x/2", la nueva distancia entre tú y la pared), en el tercer paso avanzarás "x/8" y así sucesivamente. Como podrás darte cuenta, siguiendo esta regla jamás llegarás a la pared, te aproximarás mucho, podrás casi rozarla, pero no tocarla, pues siempre te faltará un "x/n" de distancia. En este caso podemos decir que existe un límite para tus avances, dicho límite es la pared, pues nunca podrás alcanzarla a pesar de acercarte cada vez más. 

Bueno, ya ejemplificando un poco lo que es un límite, pasemos ahora a mencionar por qué nos interesa saberlo. 

Como ya se dijo, se pretende principalmente conocer velocidades. Recordarán de sus clases de secundaria una formula pequeñita, pequeñita pero bien importante: la pendiente, es decir, un número que nos indica cuantos pasos hacia arriba dará mi gráfica (eje y) por cada paso que doy a la derecha (eje X) (una razón de cambio, por supuesto, estoy hablando de funciones). 
 


Ahora imagina que esa función representa el desplazamiento de un cuerpo (metros, km, cm, como gustes) por cada unidad de tiempo que pasa, y si hilamos las ideas anteriores nos daremos cuanta que la razón de cambio para esta función de desplazamiento es precisamente la velocidad. Y basta con usar mi formulita de la pendiente para conocer la velocidad del cuerpo en un periodo de tiempo 


Pero ¿Qué hago si quiero saber la velocidad del cuerpo en un instante? 

Ah... es aquí cundo entra en escena el "límite". Podré dividir mis unidades de tiempo tanto como quiera, pero aún así seguirán siendo eso, unidades de tiempo, y no un "instante". 
Es por eso que lo que buscamos es que 
 

pero eso es conveniente, en un tiempo "cero" no sucede absolutamente nada, por lo que la velocidad no podría ser calculada pues la división por 0 no está definida, así que recurrimos al concepto de límite para poder calcular esa velocidad sin hacer cosas matemáticamente incorrectas. 
De esta forma, el calculo de la velocidad será: 

 


El resultado de tal límite lo llamaremos derivada en ese punto. 
Geométricamente, ese número nos indica la pendiente de una línea recta que toca a la función en exclusivamente ese punto, lo que como recordaran de sus clases de primaria es la tangente (La línea amarilla). 





Existen técnicas (es por muchas ya conocido eso) para calcular funciones que nos indican las pendientes de las tangentes para cada punto de la función, conocidas como la derivada de la función. Pero, como calcularlas y cual es el origen de las mismas será tema de otro post. 

Repito, este post es meramente descriptivo, con el fin de ayudarte a entender un poco la idea del cálculo. Si tienes problemas con el calculo de límites, así como de las derivadas, mencionalo en los comentarios. También cualquier otra duda, reclamo, corrección, aclaración, etc. 



GRACIAS POR TU VISITA.