Progresiones o sucesiones

Definición
Una sucesión (o progresión) es un conjunto (finito o no) de números ordenados que mantienen una relación entre ellos.

Ejemplos:

• 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... es la sucesión de los números pares (positivos). El primer término es a(0) = 0, el segundo, a(1) = 2, el tercero, a(2) = 4... En general, a(n) = 2·n.


• 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... es la sucesión de los números impares con término general a(n)= 2·n + 1


• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .... es la sucesión de Fibonacci donde, excepto los dos primeros términos, cada término es la suma de los dos términos que le preceden: a(n) = a(n-1) + a(n-2).

Tipos de progresiones

Los dos tipos básicos de progresiones son:

• aritméticas: cada término se obtiene sumando un número llamado diferencia, d, al término anterior. Es decir, a(n) = a(n-1) + d.

Por ejemplo, las sucesiones de los pares y de los impares son de este tipo con diferencia 2.

Estas progresiones son del tipo:



La diferencia la podemos obtener restando dos términos consecutivos:



Podemos obtener el término n-ésimo de la sucesión sin conocer todos los términos mediante el término general



Y la suma de los n primeros términos es




• geométricas: cada término se obtiene al multiplicar un número llamado razón, r, al término anterior. Es decir, a(n) = a(n-1) · d

Un ejemplo de este tipo de sucesiones es 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... que tiene razón r = 2.
Otro ejemplos es 2, 1, 0.5, 0.25, 0.125,... que tiene razón r = 1/2 = 0.5.

Estas progresiones son del tipo:



La razón la podemos calcular dividiendo dos términos consecutivos



y podemos calcular el término n-ésimo mediante



La suma de los n primeros términos es



Además, si|r|<1 (el valor absoluto de la razón es menor que 1), entonces podemos calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica mediante la fórmula

Ejemplos de progresiones

Vamos a ver un par de ejemplos un poco complicados. Enlace: ejemplos y ejercicios de sucesiones más sencillos .

Ejemplo 1

En un cuadrado de lado 2 se unen los puntos medios de sus lados para obtener otro cuadrado inscrito. Se repite el proceso sucesivamente con los cuadrados obtenidos.



Calcular la sucesión cuyo término n-ésimo corresponde con la longitud del lado del cuadrado n-ésimo. ¿Qué tipo de sucesión es?

Solución:

Utilizaremos el teorema de Pitágoras para calcular los lados.

El lado del cuadrado inicial mide 2.
El lado del segundo cuadrado mide



El lado del siguiente cuadrado mide:



El lado del siguiente cuadrado mide:



El lado del siguiente cuadrado mide:



Ya podemos deducir que la sucesión es



Es una progresión geométrica ya que si dividimos dos términos consecutivos obtenemos el mismo número, que es la razón:



Por tanto, el término general es



Ejemplo 2

Encontrar el valor de n para que se cumpla la igualdad



Solución:

Consideremos la progresión geométrica



En realidad, lo que buscamos es n para que la suma de los n primeros términos de esta sucesión sea 4094. Es decir, la n de modo que



Sustituyendo,



Y aplicando logaritmos,