1. Introducción
En las ecuaciones exponenciales, la incógnita se encuentra en los exponentes de potencias. Por ejemplo, la siguiente expresión es una ecuación exponencial:
Esta ecuación tiene la única solución x = 2.
2. Resolución
2.1. Método directo
La forma más directa para resolver una ecuación exponencial es obtener una igualdad entre dos potencias. Por ejemplo, en la ecuación
podemos escribir 27 como la potencia
de este modo, la ecuación queda como
de donde obtenemos directamente que x = 3.
2.2. Aplicación de logaritmos
Recordamos que los logaritmos son la inversa de las potencias, dicho matemáticamente,
Esta propiedad (junto con las otras) nos permiten transformar la ecuación exponencial en una no exponencial. Este método se utiliza, sobre todo, cuando las bases de las exponenciales son distintas.
Por ejemplo, en la ecuación
podemos aplicar logaritmos y obtenemos
ahora aislamos la incógnita aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo del producto, suma y resta de logaritmos...)
Finalmente, obtenemos el valor de x:
2.3. Cambio de variable
En ocasiones, podemos realizar un cambio de variable para transformar la ecuación exponencial.
Por ejemplo, podemos escribir la ecuación
como
y podemos aplicar el cambio de variable
obteniendo la ecuación de segundo grado
cuya solución es
de donde obtenemos, al deshacer el cambio de variable, que
Notemos que la segunda exponencial no puede ser solución ya que las potencias de 3 no pueden ser negativas.
Luego, de la primera de ellas obtenemos que
3. Ejemplos
Enlace: ejemplos y ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales sin aplicar logaritmos .
En las ecuaciones exponenciales, la incógnita se encuentra en los exponentes de potencias. Por ejemplo, la siguiente expresión es una ecuación exponencial:
Esta ecuación tiene la única solución x = 2.
2. Resolución
2.1. Método directo
La forma más directa para resolver una ecuación exponencial es obtener una igualdad entre dos potencias. Por ejemplo, en la ecuación
podemos escribir 27 como la potencia
de este modo, la ecuación queda como
de donde obtenemos directamente que x = 3.
2.2. Aplicación de logaritmos
Recordamos que los logaritmos son la inversa de las potencias, dicho matemáticamente,
Esta propiedad (junto con las otras) nos permiten transformar la ecuación exponencial en una no exponencial. Este método se utiliza, sobre todo, cuando las bases de las exponenciales son distintas.
Por ejemplo, en la ecuación
podemos aplicar logaritmos y obtenemos
ahora aislamos la incógnita aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo del producto, suma y resta de logaritmos...)
Finalmente, obtenemos el valor de x:
2.3. Cambio de variable
En ocasiones, podemos realizar un cambio de variable para transformar la ecuación exponencial.
Por ejemplo, podemos escribir la ecuación
como
y podemos aplicar el cambio de variable
obteniendo la ecuación de segundo grado
cuya solución es
de donde obtenemos, al deshacer el cambio de variable, que
Notemos que la segunda exponencial no puede ser solución ya que las potencias de 3 no pueden ser negativas.
Luego, de la primera de ellas obtenemos que
3. Ejemplos
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