1. Introducción
En este post vamos a ver cómo calcular determinantes de matrices (cuadradas) según la dimensión que tengan.
Recordamos al lector el concepto de matriz:
Una matriz es un conjunto de números ordenados (una tabla de números) como las siguientes:
Los números (entradas) de las matrices están ordenados en filas y en columnas. La posición de cada una de las entradas la indicamos como (a,b), siendo a el número de la fila y b el número de la columna.
La dimensión de la matriz se expresa mediante m x n siendo m el número total de filas y n el número total de columnas.
Las matrices anteriores son de dimensiones 2x2, 3x3 y 4x4, respectivamente.
Cuando el número de filas es el mismo que el de columnas (como en las matrices anteriores), decimos que las matrices son cuadradas.
La matriz de dimensión 1x1 es de la forma A=(a) siendo a la única entrada de ésta.
Ahora vamos a ver cómo calcular determinantes de matrices cuadradas.
2. Dimensión 1
La matriz de dimensión 1 es de la forma
y su determinante se define como
3. Dimensión 2
Una matriz de dimensión 2 es de la forma
y su determinante es
Puede ayudar la siguiente regla mnemotécnica (el producto que indica la flecha roja menos el producto que indica la azul):
Ejemplo:
Su determinante es
4. Dimensión 3
Una matriz de dimensión 3 es de la forma
y su determinante es
Esta fórmula se conoce como la Regla de Sarrus.
Ejemplo:
Su determinante es
4. Dimensión mayor que 3
No existe una fórmula que nos permita calcular el determinante si la dimensión es mayor que 3, pero existe un teorema que nos permite descomponer el determinante de una matriz como la suma de determinantes de submatrices de ésta: Desarrollo de Laplace.
No es necesario que la dimensión de la matriz sea mayor que 3 para aplicar el desarrollo.
La definición formal del desarrollo es demasiado técnica:
Así que vamos a ver cómo aplicarla con un par de ejemplos:
Ejemplo: Desarrollo de Laplace por la fila 1 de una matriz de dimensión 3
Como la dimensión es 3, tendremos una suma de tres determinantes.
Como el desarrollo es por la fila 1, cada uno de estos determinantes estará multiplicado por uno de los elementos de la fila 1 y por -1 elevado a la suma de la posición de dicho elemento (número de fila más número de columna).
En este caso, los elementos de la fila 1 son las posiciones (1,1), (1,2) y (1,3). Estos elementos son los coeficientes que aparecen en cada sumando.
En cuanto a los determinantes, el que aparece junto al elemento (1,1) es el determinante de la matriz que resulta al quitar la fila 1 y la columna 1 a la matriz.
El determinante aparece junto al elemento (1,2) es el determinante de la matriz resultante al quitar la fila 1 y la columna 2.
El determinante aparece junto al elemento (1,3) es el determinante de la matriz resultante al quitar la fila 1 y la columna 3.
Ejemplo 2
Vamos a aplicar el desarrollo por la columna 4. Tomamos esta elección porque hay dos 0's en dicha columna y, por tanto, tendremos dos determinantes menos que calcular (porque luego habría que multiplicar por 0).
El procedimiento es el mismo, pero con los elementos de la columna 4:
5. Enlaces
En este post vamos a ver cómo calcular determinantes de matrices (cuadradas) según la dimensión que tengan.
Recordamos al lector el concepto de matriz:
Una matriz es un conjunto de números ordenados (una tabla de números) como las siguientes:
Los números (entradas) de las matrices están ordenados en filas y en columnas. La posición de cada una de las entradas la indicamos como (a,b), siendo a el número de la fila y b el número de la columna.
La dimensión de la matriz se expresa mediante m x n siendo m el número total de filas y n el número total de columnas.
Las matrices anteriores son de dimensiones 2x2, 3x3 y 4x4, respectivamente.
Cuando el número de filas es el mismo que el de columnas (como en las matrices anteriores), decimos que las matrices son cuadradas.
La matriz de dimensión 1x1 es de la forma A=(a) siendo a la única entrada de ésta.
Ahora vamos a ver cómo calcular determinantes de matrices cuadradas.
2. Dimensión 1
La matriz de dimensión 1 es de la forma
y su determinante se define como
3. Dimensión 2
Una matriz de dimensión 2 es de la forma
y su determinante es
Puede ayudar la siguiente regla mnemotécnica (el producto que indica la flecha roja menos el producto que indica la azul):
Ejemplo:
Su determinante es
4. Dimensión 3
Una matriz de dimensión 3 es de la forma
y su determinante es
Esta fórmula se conoce como la Regla de Sarrus.
Ejemplo:
Su determinante es
4. Dimensión mayor que 3
No existe una fórmula que nos permita calcular el determinante si la dimensión es mayor que 3, pero existe un teorema que nos permite descomponer el determinante de una matriz como la suma de determinantes de submatrices de ésta: Desarrollo de Laplace.
No es necesario que la dimensión de la matriz sea mayor que 3 para aplicar el desarrollo.
La definición formal del desarrollo es demasiado técnica:
Así que vamos a ver cómo aplicarla con un par de ejemplos:
Ejemplo: Desarrollo de Laplace por la fila 1 de una matriz de dimensión 3
Como la dimensión es 3, tendremos una suma de tres determinantes.
Como el desarrollo es por la fila 1, cada uno de estos determinantes estará multiplicado por uno de los elementos de la fila 1 y por -1 elevado a la suma de la posición de dicho elemento (número de fila más número de columna).
En este caso, los elementos de la fila 1 son las posiciones (1,1), (1,2) y (1,3). Estos elementos son los coeficientes que aparecen en cada sumando.
En cuanto a los determinantes, el que aparece junto al elemento (1,1) es el determinante de la matriz que resulta al quitar la fila 1 y la columna 1 a la matriz.
El determinante aparece junto al elemento (1,2) es el determinante de la matriz resultante al quitar la fila 1 y la columna 2.
El determinante aparece junto al elemento (1,3) es el determinante de la matriz resultante al quitar la fila 1 y la columna 3.
Ejemplo 2
Vamos a aplicar el desarrollo por la columna 4. Tomamos esta elección porque hay dos 0's en dicha columna y, por tanto, tendremos dos determinantes menos que calcular (porque luego habría que multiplicar por 0).
El procedimiento es el mismo, pero con los elementos de la columna 4:
5. Enlaces
- Ejemplos de determinantes
- Teoría de determinantes
- Otros temas de Álgebra Matricial
- Foro de Ayuda en Matemáticas