En este post les explicare como despejar las ecuaciones de 2ºdo a 4ºto grado.
Sé que todos ya saben cómo resolver una ecuación cuadrática, pero lo explicare porque les ayudara a entiender la resolucion de las ecuaciones de cubica y bicuadratica. Sea la ecuacion cuadratica...
dividimos toda la ecuación por "a" y después sustituimos el "x" por otro termino que nos permita anular el termino lineal, el cual seria x=y-b/2a...
al sumar se elimina el termino lineal tal como queriamos
al desaparecer el termino lineal, la ecuacion se vuelve factorizable...
con esto ya podemos despejar "y" y revertir la sustitucion antes hecha...
Le toca ahora la ecuación cúbica...
repetimos todo lo que hicimos con la ecuación cuadrática...
...(1)
...(2)
debido a la complejidad de la ecuación no se puede deducir al ojo el valor de alfa y beta por lo que igualamos los coeficientes de (1) y la forma combinada de (2)...
...(3)
pero al intentar despejar alfa, volvemos a una ecuación de la forma de (1) con alfa como la incognita al que llamaremos (4); para resolverla, tomamos α=v+w y esta igualdad lo elevamos al cubo...
y lo gualamos con los coeficientes de (4)...
generando una relación raiz-coeficiente de una ecuación tricuadrada, por lo tanto v y w vienen a ser...
Ya se imaginarán como seria alfa entonces. ¿Y qué pasaría si los terminos bajo las raices cuadradas son menores que cero si se supone que alfa siempre es real dado el factor lineal de la ecuación (2)? pues asumimos que...
y usamos el teorema de Moivre para potencias de numeros complejos, para eso necesitamos el modulo y el ángulo de ambos términos...
y con esos datos utilizamos el teorema de Moivre, quedando de esta manera...
sumando, queda...
esto asegura que alfa siempre sea real aunque el discriminate sea menor que cero. Ahora ya podemos despejar beta de (3). Podemos depejar beta de la primera o la segunda ecuacion, sin embargo, es crucial que beta no tenga expresiones fraccionarias ya que habría posibilidad de indeterminaciones, por lo tanto, la mejor forma de hacerlo es despejarlo de la primera. Ya tenemos alfa y beta, ya podemos resolver (2), y devolvemos "x"...
pero aquel radical puede simplificarse; elevando alfa al cuadrado se anula A quedando otro tipo de cuadrado perfecto, y radicamos. Al hacer esto, las soluciones se vuelven de la forma compleja, por lo que solo puede considerarse para el caso de B^2 mayor e igual que A^3 y para el caso contrario usamos alfa en su segunda forma aprovechando el teorema fundamental del algebra aplicada al teorema de moivre...
aquí les muestro las formulas sin sustituciones...
Ahora la ecuación bicuadrática...
repetimos el proceso de reduccion...
...(5)
podriamos separalo en factores lineal y cubica o en dos cuadráticos pero mas comveniente es la segunda opción para resolver ecuaciones con raices complejas...
...(6)
igualamos (5) y (6)...
La mejor forma de resolver el sistema es depejar beta y gamma de la primera ecuacion. Hecho eso, con la primera y tercera ecuacion tendriamos una relacion raiz-coeficiente de una simple ecuacion cuadratica, y tenemos a beta y gamma en funcion de alfa. A beta y gamma lo introducimos en la segunda ecuacion creando una ecuacion bicubica con alfa como incognita, que se puede resolver. Hallando alfa podemos hallar tambien a beta y gamma, por lo tanto tambien ya podriamos resolver "y" de (6) y por ultimo devolvemos "x"
En donde...
Y para que se maravillen les dejare las formulas sin sustituciones xD...
En el caso de ecuaciones de grado mayor que 4 no es posible la solucion mediante una cantidad finita de operaciones y radicaciones con los coeficientes debido a que los grupos de Galois asociadas a esas ecuaciones son irresolubles; pero no significa que no tengan soluciones, simplemente no existe una expresion para ellas. Sin formulas de solucion que nos permitan hallar raices debemos encontrar otras formas para hallarlas, para eso existen los metodos de iteracion que consisten en elegir un valor x arbitrario e introducirla en una cierta expresion algebraica, el resultado de esta se vuelve a introducir en la expresion y asi sucecivamente hasta que converja, y ese numero converjente seria la raiz. El metodo de iteracion mas conocido y eficiente es el metodo de Newton-Raphson
Sé que todos ya saben cómo resolver una ecuación cuadrática, pero lo explicare porque les ayudara a entiender la resolucion de las ecuaciones de cubica y bicuadratica. Sea la ecuacion cuadratica...
dividimos toda la ecuación por "a" y después sustituimos el "x" por otro termino que nos permita anular el termino lineal, el cual seria x=y-b/2a...
al sumar se elimina el termino lineal tal como queriamos
al desaparecer el termino lineal, la ecuacion se vuelve factorizable...
con esto ya podemos despejar "y" y revertir la sustitucion antes hecha...
Le toca ahora la ecuación cúbica...
repetimos todo lo que hicimos con la ecuación cuadrática...
...(1)
...(2)
debido a la complejidad de la ecuación no se puede deducir al ojo el valor de alfa y beta por lo que igualamos los coeficientes de (1) y la forma combinada de (2)...
...(3)
pero al intentar despejar alfa, volvemos a una ecuación de la forma de (1) con alfa como la incognita al que llamaremos (4); para resolverla, tomamos α=v+w y esta igualdad lo elevamos al cubo...
y lo gualamos con los coeficientes de (4)...
generando una relación raiz-coeficiente de una ecuación tricuadrada, por lo tanto v y w vienen a ser...
Ya se imaginarán como seria alfa entonces. ¿Y qué pasaría si los terminos bajo las raices cuadradas son menores que cero si se supone que alfa siempre es real dado el factor lineal de la ecuación (2)? pues asumimos que...
y usamos el teorema de Moivre para potencias de numeros complejos, para eso necesitamos el modulo y el ángulo de ambos términos...
y con esos datos utilizamos el teorema de Moivre, quedando de esta manera...
sumando, queda...
esto asegura que alfa siempre sea real aunque el discriminate sea menor que cero. Ahora ya podemos despejar beta de (3). Podemos depejar beta de la primera o la segunda ecuacion, sin embargo, es crucial que beta no tenga expresiones fraccionarias ya que habría posibilidad de indeterminaciones, por lo tanto, la mejor forma de hacerlo es despejarlo de la primera. Ya tenemos alfa y beta, ya podemos resolver (2), y devolvemos "x"...
pero aquel radical puede simplificarse; elevando alfa al cuadrado se anula A quedando otro tipo de cuadrado perfecto, y radicamos. Al hacer esto, las soluciones se vuelven de la forma compleja, por lo que solo puede considerarse para el caso de B^2 mayor e igual que A^3 y para el caso contrario usamos alfa en su segunda forma aprovechando el teorema fundamental del algebra aplicada al teorema de moivre...
aquí les muestro las formulas sin sustituciones...
Ahora la ecuación bicuadrática...
repetimos el proceso de reduccion...
...(5)
podriamos separalo en factores lineal y cubica o en dos cuadráticos pero mas comveniente es la segunda opción para resolver ecuaciones con raices complejas...
...(6)
igualamos (5) y (6)...
La mejor forma de resolver el sistema es depejar beta y gamma de la primera ecuacion. Hecho eso, con la primera y tercera ecuacion tendriamos una relacion raiz-coeficiente de una simple ecuacion cuadratica, y tenemos a beta y gamma en funcion de alfa. A beta y gamma lo introducimos en la segunda ecuacion creando una ecuacion bicubica con alfa como incognita, que se puede resolver. Hallando alfa podemos hallar tambien a beta y gamma, por lo tanto tambien ya podriamos resolver "y" de (6) y por ultimo devolvemos "x"
En donde...
Y para que se maravillen les dejare las formulas sin sustituciones xD...
En el caso de ecuaciones de grado mayor que 4 no es posible la solucion mediante una cantidad finita de operaciones y radicaciones con los coeficientes debido a que los grupos de Galois asociadas a esas ecuaciones son irresolubles; pero no significa que no tengan soluciones, simplemente no existe una expresion para ellas. Sin formulas de solucion que nos permitan hallar raices debemos encontrar otras formas para hallarlas, para eso existen los metodos de iteracion que consisten en elegir un valor x arbitrario e introducirla en una cierta expresion algebraica, el resultado de esta se vuelve a introducir en la expresion y asi sucecivamente hasta que converja, y ese numero converjente seria la raiz. El metodo de iteracion mas conocido y eficiente es el metodo de Newton-Raphson