Introducción
En un post anterior vimos cómo resolver . En este post veremos inecuaciones racionales, que son expresiones como la siguiente:
Vimos que al multiplicar la inecuación por un número negativo (por ejemplo, para aislar la incógnita, x) tenemos que cambiar el signo de desigualdad (de menor a mayor ó de mayor a menor).
En las ecuaciones (no inecuaciones) racionales, podemos pasar el denominador multiplicando al otro lado de la igualdad. Sin embargo, en las inecuaciones no podemos proceder de este modo ya que no sabemos si el denominador es positivo o negativo.
Método de resolución
Lo que haremos es tener en cuenta la regla de los signos:
Es decir, si los signos son iguales, el producto es positivo. Si son distintos, es negativo. La regla es la misma para la división.
Atendiendo esta regla, buscaremos los intervalos para los cuales el cociente de la inecuación es positivo o negativo.
Ejemplo
Tenemos el numerador y el denominador expresados como productos, lo cual facilita los cálculos.
Numerador
Tenemos el producto de x+1 y x-1. Es fácil comprobar que el primer factor es positivo siempre que x > -1 y el segundo lo es cuando x > 1. Por tanto,
Denominador
En este caso, el denominador es positivo cuando x > 0.
Signo del cociente
Para facilitar los cálculos podemos representar los intervalos anteriores en dos rectas reales:
En las rectas hemos escrito el signo del numerador y del denominador según el intervalo al que pertenece x.
Puesto que la inecuación es un cociente que debe ser negativo (menor o igual que cero), tenemos que buscar los intervalos para el numerador y denominador de modo que al dividirlos (aplicando la regla de los signos) se obtiene un negativo. Esto ocurre en los intervalos:
El signo que hay entre ambos intervalos (U) representa la unión de los intervalos. Los extremos de los intervalos donde hay un infinito siempre han de ser abiertos (no se incluye).
Puesto que la desigualdad puede ser una igualdad, tenemos que incluir los extremos de los intervalos. Pero no podemos incluir el extremo 0 ya que en él se anula el denominador.
Otros ejemplos
Enlace: ejercicios resueltos paso a paso de inecuaciones (primer y segundo grado y racionales) .
Próximamente veremos inecuaciones de segundo grado.
En un post anterior vimos cómo resolver . En este post veremos inecuaciones racionales, que son expresiones como la siguiente:
Vimos que al multiplicar la inecuación por un número negativo (por ejemplo, para aislar la incógnita, x) tenemos que cambiar el signo de desigualdad (de menor a mayor ó de mayor a menor).
En las ecuaciones (no inecuaciones) racionales, podemos pasar el denominador multiplicando al otro lado de la igualdad. Sin embargo, en las inecuaciones no podemos proceder de este modo ya que no sabemos si el denominador es positivo o negativo.
Método de resolución
Lo que haremos es tener en cuenta la regla de los signos:
- (signo +) por (signo -) = (signo -)
- (signo -) por (signo -) = (signo +)
- (signo +) por (signo +) = (signo +)
Es decir, si los signos son iguales, el producto es positivo. Si son distintos, es negativo. La regla es la misma para la división.
Atendiendo esta regla, buscaremos los intervalos para los cuales el cociente de la inecuación es positivo o negativo.
Ejemplo
Tenemos el numerador y el denominador expresados como productos, lo cual facilita los cálculos.
Numerador
Tenemos el producto de x+1 y x-1. Es fácil comprobar que el primer factor es positivo siempre que x > -1 y el segundo lo es cuando x > 1. Por tanto,
- cuando x > 1, ambos factores son positivos y, por tanto, su producto también.
- cuando x < -1, ambos son negativos y, por tanto, su producto es positivo.
- cuando -1 <x < 1, el primer factor es positivo y el segundo negativo. Su producto es negativo.
Denominador
En este caso, el denominador es positivo cuando x > 0.
Signo del cociente
Para facilitar los cálculos podemos representar los intervalos anteriores en dos rectas reales:
En las rectas hemos escrito el signo del numerador y del denominador según el intervalo al que pertenece x.
Puesto que la inecuación es un cociente que debe ser negativo (menor o igual que cero), tenemos que buscar los intervalos para el numerador y denominador de modo que al dividirlos (aplicando la regla de los signos) se obtiene un negativo. Esto ocurre en los intervalos:
El signo que hay entre ambos intervalos (U) representa la unión de los intervalos. Los extremos de los intervalos donde hay un infinito siempre han de ser abiertos (no se incluye).
Puesto que la desigualdad puede ser una igualdad, tenemos que incluir los extremos de los intervalos. Pero no podemos incluir el extremo 0 ya que en él se anula el denominador.
Otros ejemplos
Enlace: ejercicios resueltos paso a paso de inecuaciones (primer y segundo grado y racionales) .
Próximamente veremos inecuaciones de segundo grado.