Introducción
Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, es decir, de dimensión n x n. Si A es una matriz regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz A* llamada inversa de A que cumple:
La matriz I es la matriz identidad de dimensión n.
Normalmente, la matriz inversa de A suele denotarse
pero nosotros usaremos A* ya que es más cómodo de escribir en el post.
Obtención de la matriz inversa A*
Existen numerosas formas de obtener la inversa de una matriz (regular). Una de ellas es obtener la forma escalonada de la matriz (A|I) (mediante eliminación de Gauss - Jordan).
Otra forma de calcularla es mediante la matriz adjunta de A y su determinante, que es el método que vamos a ver. Sólo tenemos que aplicar la fórmula
Adj(A) denota la matriz adjunta de A. El elemento de la fila i y la columna j de Adj(A) es
La matriz A elevado a ( i , j ) es la matriz que resulta al quitar a A la fila i y la columna j.
Elevado a T denota transposición, es decir, la matriz que resulta al escribir las columnas como filas. Por ejemplo,
Ejemplos de matriz inversa
Ejemplo 1
Calculamos los elementos (los adjuntos) de la matriz adjunta de A:
La matriz adjunta es:
Notemos que la traspuesta de esta matriz es ella misma.
El determinante de A es
Por tanto, la inversa de A es
Ejemplo 2
Calculamos los adjuntos de A:
La adjunta de A es
El determinante de A es
Por tanto, su inversa es
Notemos que la adjunta la hemos transpuesto.
Otros ejemplos
Enlace: ejemplos del cálculo de la inversa de una matriz regular mediante adjunción .
Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, es decir, de dimensión n x n. Si A es una matriz regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz A* llamada inversa de A que cumple:
- A · A*= I = A* · A
- la matriz A* es única (no hay más de una matriz inversa).
La matriz I es la matriz identidad de dimensión n.
Normalmente, la matriz inversa de A suele denotarse
pero nosotros usaremos A* ya que es más cómodo de escribir en el post.
Obtención de la matriz inversa A*
Existen numerosas formas de obtener la inversa de una matriz (regular). Una de ellas es obtener la forma escalonada de la matriz (A|I) (mediante eliminación de Gauss - Jordan).
Otra forma de calcularla es mediante la matriz adjunta de A y su determinante, que es el método que vamos a ver. Sólo tenemos que aplicar la fórmula
Adj(A) denota la matriz adjunta de A. El elemento de la fila i y la columna j de Adj(A) es
La matriz A elevado a ( i , j ) es la matriz que resulta al quitar a A la fila i y la columna j.
Elevado a T denota transposición, es decir, la matriz que resulta al escribir las columnas como filas. Por ejemplo,
Ejemplos de matriz inversa
Ejemplo 1
Calculamos los elementos (los adjuntos) de la matriz adjunta de A:
La matriz adjunta es:
Notemos que la traspuesta de esta matriz es ella misma.
El determinante de A es
Por tanto, la inversa de A es
Ejemplo 2
Calculamos los adjuntos de A:
La adjunta de A es
El determinante de A es
Por tanto, su inversa es
Notemos que la adjunta la hemos transpuesto.
Otros ejemplos
Enlace: ejemplos del cálculo de la inversa de una matriz regular mediante adjunción .