CONTENIDO
',I pítulo 1. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIO
.pítulo
l. 2. Concepto de espacio vectorial
l. 3. Propiedades de los espacios vectoriales
1. 4. Espacio vectorial de funciones
1. 5. Espacio vectorial de n·uplas
1. 6. Espacio vectorial de matrices
1. 7. Espacio vectorial de sucesiones
1. 8. Subespacios
l. 9. Operaciones entre suhcspacios
Trabajo Práctico 1
2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y D1MENSION
2. 2. Combinaciones lineales
2. 3. Subespacio generado
2. 4. Dependencia e independencia lineal
2. 5. Sistema de generadores
2. 6. Base de un espacio vectorial
2. 7. Dimensión de un espacio vectorial
2. 8. Dimensión de la suma
Trabajo Práctico II
htulo 3. TRASFORMACIONES LINEALES
3. 2. Trasformación lineal entre dos espacios vectoriales
3. 3. Núcleo e imagen de una trasformación lineal
3. 4. Dimensiones del núcleo y de la imagen
3. 5. Teorema fundamental de las trasformaciones lineales
3. 6. Producto de matrices
3. 7. Matriz asociada a una trasformación lineal
3. 8. Composición de trasformaciones lineales
3. 9. Trasformación lineal no singular
3. lO. Composición de trasformaciones lineales y producto de matrices
3.11. Espacio vectorial de trasformaciones lineales
3.12. Espacio dual de un espacio vectorial
Trabajo Práctico JII
I
1
6
7
10
11
13
15
20
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30
30
34
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SI
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63
66
66
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85
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92
93
96
98
101
102
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x CONTENIDO
Capítulo 4. MATRICES
4. 2. Producto de matrices
4. 3. Anillo de matrices cuadradas
4. 4. Trasposición de matrices
4. 5. Matrices simétricas y antisimétricas
4. 6. Matrices triangulares
4. 7. Matrices diagonales
4. 8. Matrices idempotentes e involutivas
4. 9. Inversa de una matriz no singular
4.10. Matrices ortogonales
4.11. Matrices hermitianas
4.12. Matrices particionadas
4.13. Espacios fila y colunma de una matriz
4.14. Operaciones y matrices elementales
4.15. Equivalencia de matrices
4.16. Método de Gauss lardan para determinar el rango
4.17. Inversión de matrices por Gauss lordan
4.18. Inversión de matrices por partición
4.19. Cambio de base y semejanza de matrices
Trabajo práctico IV
Capítulo 5. DETERMINANTES
5. 2. Determinantes
5. 3. Propiedades de la función determinante
5. 4. Existencia de D
5. 5. Unicidad del determinante
5. 6. Determinante de la traspuesta
5. 7. Determinante del producto de dos matrices
5. 8. Adjunta de una matriz cuadrada
5. 9. Inversión de matrices no singulares
5.10. Regla de CIlio
Trabajo Práctico V
Capítulo 6. SISTEMAS LINEALES
6. 2. Sistemas lineales
6. 3. Teorema de Cramer
6. 4. Compatibilidad de sistemas lineales
6. 5. Resolución de sistemas lineales
6. 6. Sistemas homogéneos
6. 7. Conjunto solución de un sistema Jineal
6. 8. Resolución de sistemas simétricos
6. 9. Método del orlado
Trabajo Práctico VI
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205
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CONTENIDO
Capítulo 7. PRODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL
7. 2. Espacio vectorial euclidiano
7. 3. Ortogonalidad
7. 4. Desigualdad de Schwarz
7. 5. Desigualdad triangular
7. 6. Angula de dos vectores
7. 7. Conjunto ortogonal de vectores
7. 8. Base ortonormal
7.9. Complemento ortogonal
7.10. Proyección de un vector sobre otro
7.11. Espacio afín Rll
7.12. Ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta
7.13. Ecuación normal vectorial del plano
7.14. Curvas en el espacio
7.15. Superficie cilíndrica
7.16. Superficie cónica
7.17. Proyección de una curva sobre un plano
Trabajo Práctico VII
Capítulo 8. VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION
8. 2. Valores y vectores propios
8. 3. Polinomio característico de una matriz
8. 4. Diagonalización de matrices
8. 5. Triangulación de endomorfismos y de matrices
8. 6. Teorema de Hamilton·Cayley
Trabajo Práctico VIII
Capítulo 9. FORMAS BILlNEALES y CUADRATICAS
9. 2. Formas hilineales
9. 3. Formas hermitianas
9. 4. Formas cuadráticas
9. 5. Operadores adjuntos y traspuestos
9. 6. Operadores hermitianos y simétricos
9. 7. Operadores unitarios y ortogonales
9. 8. Teorema de Sylvester
9. 9. Diagonalización de operadores simétricos
9.10. Matrices simétricas reales y valores propios
9.11. Descomposición espectral de una matriz
9.12. Congruencia de formas cuadráticas
9.13. Signo de una forma cuadrática
Trabajo Práctico IX
XI
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219
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223
223
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225
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293
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XII CONTENDIO
Capítulo 10. CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL
10.2. Conjuntos de puntos en Rn
10.3, Segmentos, hiperplanos y semi espacios
10.4. Convexidad en Rn
10.5. Convexidad y trasformaciones lineales
10.6. Hiperplanos soportantes
10.7. Puntos extremos
10.8. Introducción a la Programación Lineal
Trabajo Práctico X
BIBLIOGRAFIA
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
INDICE
325
325
330
336
339
342
344
346
356
359
361
393
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Capítulo 1
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIOS
1.1. INTRODUCCION
La estructura de espaCio vectorial, que tratamos en este capítulo, es el concepto básico
del AIgebra Lineal. Confiere unidad y precisión a tcmas esenciales de la matemática que
tienen vastas aplicaciones en la ciencia y en la tecnología actuales. Después de introducir el
sistema axiomático y de dar las propiedades fundamentales, proponemos los espacios
vectoriales de funciones, de los que se derivan los modelos de los espacios de matrices,
n-uplas y sucesiones de elementos de un cuerpo. Se da, finalmente, el concepto de
subespacio.
1.2. CONCEPTO DE ESPACIO YECTORlAL
Sean: V un conjunto no vacío, K un cuerpo, + y . dos funciones, que llamaremos suma y
producto, respectivamente.
Definición
El objeto (V, +, K, . ) es un espacio vectorial si y sólo si se verifican los siguientes:
Al . La suma es una ley de composición interna en V.
+:Y'--,y
o sea
xeYAyeY=>x+yeY
Esto significa que la suma de dos elementos cualesquiera de V es un único elemento de
Y.
Al . La suma es asociativa en V.
(x + y) + z = x + (y + z)
cualesquiera que sean x, y, z en V. i
!!
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2 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
A3 . Existe un neutro para la suma en V.
El elemento neutro se- denota con O.
30eY/VxeY:x+O~O+x~x
A. . Todo elemento de Y admite inverso aditivo u opuesto en Y.
V x e Y, 3 Y e Y / x + y ~ y + x ~ O
Al opuesto de x lo denotamos con -x, o sea, y:;::;;: -x.
As . La suma es conmutativa en V.
x+y~y+x
cualesquiera que sean x, y en V.
A6 . El producto es una ley de composición externa en V con escalares u operadores
enK.
.:KXY"'Y
De acuerdo con 5.6, Algebra 1, del mismo autor, la imagen del par (a, x), donde a eK y
x e Y, se escribe a x y se llama producto del escalar a por x.
O sea
aeKlxeV=>CixeV
A7 . El producto satisface la asociatividad mixta.
Va e K, V ~ e K, V x e Y: a (~x) ~ (a m x
Observamos aquí que los dos productos que figuran en el primer miembro
corresponden a la ley de composición externa. Pero el producto a ~ del segundo
miembro se efectúa en K.
As . El producto es distributivo respecto de la suma en K.
VaeK, V~eK, VxeYa+{l)x~ax+~x
La suma a + (J se efectúa en K, pero la suma que figura en el segundo miembro
corresponde a la ley de composición interna en V.
A, . El producto es distributivo respecto de la suma en Y.
Va e K, V x € Y, V Y € Y: a.(x + y) ~ a x + a y
Las dos sumas se realizan en V.
AIO. La unidad del cuerpo es neutro para el producto.
V X eY: Ix ~x
donde 1 denota la identidad en K.
Los axiomas Al, 'Al, A3 , A4 Y As caracterizan a (V , +) como grupo abeliano. Los
últimos cinco axiomas son relativos a la ley de composición externa.
Los elementos de V se nama~ vectores; en particular, el elemento neutro para la suma
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ESPACIO VECTORIAL 3
recibe el nombre de vector nulo. A menudo hablaremos del espacio vectorial V,
sobrentendiendo que nos referimos a la cuaterna (V, + , K, .). La simplificación de las
notaciones hace conveniente el uso de los mismos símbolos para nombrar las leyes de
composición interna en K, la suma en V y el producto de escalares por vectores. O sea, al
decir K nos estamos refiriendo al cuerpo (K, +, .), donde los signos "+" y "," denotan las
dos leyes de composición interna en K, que no tienen el mismo significado que las que
figuran en (V, +, K, .). Distinguiendo adecuadamente los elementos de K y los de V, no hay
lugar a confusión.
Así
ex + {3 es una suma en K
a ~ es un producto en K
Ejemplo J -l.
x + y es una suma en V
O:: x es el producto de un escalar por un vector
Sean: V = R2 , K = R, la adición definida en R2 por
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (1)
y el producto de números reales por elementos de R 2 definido mediante
a(a,b)=(aa,ab) (2)
Resulta (R2
, +, R ,.) el espacio vectorial de los pares ordenados de números reales
sobre el cuerpo de los números reales.
En efecto, de acuerdo con los ejemplos 5-2 y 5-5 iv) del texto nombrado, es (R2 , +)
un grupo abeliano.
Por otra parte se verifican:
A6 . Por la definición (2).
A, . a ( ~ (a , b)) = e< (~a , ~ b) = ( ex ~ a), a (~b) ) = ( (a~) a , (a~) b ) =
=(a~)(a, b)
Hemos aplicado la definición (2), la asociatividad del producto en R y la definición
(2).
A, . (c< + ~)(a , b) = ( (e< + ~) a, (a+~) b) = (a a + ~ a , a b + ~ b) =
= (e< a, a b) + (~a , ~ b) = a (a, b) + ~ (a , b)
De acuerdo con (2), la distributividad del producto respecto de la suma en R, y las
definiciones (I) y (2).
A, .a (a, b)+(c,d)) = a(a+c, b+·d)= (a(a+e),a(b +d))
= (a a + a c , a b + a d) = (a a, a b) + (a c , a d) = a (a , b) + a (e , d)
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4 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Según (I), (2), distributividad de la multiplicación respecto de la adición en R, y las
definiciones (1) y (2).
AIO. I (a, b) = (la , lb) = (a , b)
El significado geométrico de las operaciones de este espacio vectorial es el siguiente:
la suma de dos vectores no colineales del plano queda representada por la diagonal del
paralelogramo que fannan. El producto de un número real a: por un vector no nulo
x = (a . b), es el vector fr x que tiene la misma dirección que x; el mismo sentido si
,,> 0, y sentido opuesto si ,,< O. Corresponde a una dilatación si 1" 1> ¡ y a u"a
contracción si 1 al < l. Si 0::::::: O, entonces se obtiene el vector nulo.
(a,b)+(c,d)
(e, d) __ ---<
-- ;'''' .......
/
Ejemplo ]·2.
En R2 se definen: la suma, como en el ejemplo anterior, y la ley de composición
externa mediante
,,(a,b)=(a,a) (2')
Se verifica, como antes, que (R2 ,+) es un grupo abeliano.
En cuanto a (2'), satisface A6' Su significado geométrico es el siguiente: todos los
pares ordenados que tienen la misma absisa, al ser multiplicados por cualquier número
real, se proyectan sobre la primera bisectriz paralelamente al eje de ordenadas.
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ESPACIO VECTORIAL
También se satisface A, ) pues
o: ((3(a, b)) ~o: (a, a)~(a, a) ~(o3)(a, b)
No se verifica As) ya que
(o: + (3)(a, b)~(a, a)
pero
.,(a, b) + (3 (a ,b)~(a, a) +(a, a)~(2a, 20)
Este hecho es suficiente para afirmar que no se trata de un espacio vectorial.
El lector puede comprobar que esta interpretación cumple A9 pero no A 10 .
Observarnos aquí que la estructura de espacio vectorial no es inherente exclusivamente
al conjunto V, sino que, además, depende de K y de las leyes de composición que se
definan. Aclaramos que toda vez que se mencione al espacio vectorial (R' , +, R, .) se
sobrentenderá que la suma y el producto son los definidos en (1) y en (2) del ejemplo
].l.
Ejemplo 1-3.
La estructura de espacio vectorial no es un sistema axiomático independiente, pues As
puede deducirse sobre la base de los restantes axiomas.
En efecto
5
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6 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
x +X +y +y~ Ix + Ix + Iy + Iy ~(1 + I)x +(1 + i)y~(l + I)(x +y)~
~ I (X + y) + I (X + y) ~ Ix + Iy + Ix + Iy ~ x + y + X + Y
en virtud de AlO , As, A9, As, A9 Y AlO.
O sea
x+ x + y +)1: ~.x+ y + x +)1:
Por ley cancelativa en el grupo (V , +) resulta
x+y~y+x
1.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
Sea (V, +, K, .) un espacio vectorial.
1.3.1. El producto del escalar O por cualquier vector es el vector lIulo.
En efecto, por neutro para la suma en K y As es
"X ~ (" + O)x ~ "X + Ox
Por A3 se tiene
~+ O ~..<>-X"+ O X
y por ley cancelatíva resulta
Ox~O
1.3.2. El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.
"X ~,,(x + O) ~"x +" O
Entonces
Por A3 .
y por regularidad en (V, +), resulta
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PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES 7
1.3.3. Si el producto de 1Ul escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es O o
el vector es nulo.
ax=O'*a=Ovx=O
Se presentan dos posibilidades: a = O, o bien, a"" O
En el primer caso es verdadera la primera proposición de la disyunción que figura en la
tesis, y por consiguiente ésta es verdadera.
En el segundo caso es necesario probar que x = O.
En efecto, siendo {'("* 0, existe el inverso multiplicativo en K, n-l. Partiendo de la
hipótesis, premultiplicando por a-1
, usando A7 , 1.3.2., el producto de inversos en K y AIO
se tiene
1.3.4. El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto.
(--a) x = - (a x)
Teniendo en cuenta A4 , 1.3.1., la suma de opuestos en K y As. es
- (a x) + ax = 0= O x = (-a + a) x = (-a) x + ax
De
( a) x +.<I!-J('= -- (a x) + -"-'"
después de cancelar, resulta
En particular se tiene
(-l)x=-(I x)=-x
1.4. ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES
El símbolo KX denota el conjunto de todas las funciones con dominio un conjunto X "" rJ>
y codo minio un cuerpo K, o sea
KX ={f/f: x->KI
En KX definimos la suma de funciones y el producto de escalares por funciones mediante
i) Si f Y g son dos elementos cualesquiera de KX
, entonces f + g: X -> K es tal que
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) t x E X
ii) Si a es cualquier elemento de K y f es cualquier elemento de KX , entonces
a f : X -> K es tal que
(af)(x)=af(x) tXEX
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8 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Tanto la suma de funciones con dominio X"" rp y codominio K, como el producto de
escalares por funciones, se llaman leyes de composición punto a punto.
Resulta (Kx , + , K ,.) un espacio vectorial. Para ello, veamos que se verifican los . I
axiomas.
Al . f eKX A g eKX =>f + g eKX por la definición i)
A2 . Sean f, g Y h en KX . Cualquiera que sea x € X se verifica, teniendo en cuenta la
definición i) y la asociatividad de la suma en K:
(f+g)+h) (x)=(f+g)(x)+h(x)= (f(x)+g(x») +h(x)=
=f(x)+( g(x)+h(x») =f(x)+(g+h)(x)= (f+(g+h)(x)
y por definición de funciones iguales resulta
(f + g) + h = f + (g + h)
A3 . El vector nulo es la función nula
e: X -+ K definida por e (x) = O cualquiera que seax e X.
Sea f e KX
. Teniendo en cuenta i), la definición de e y la suma en K, es
(f + e)(x) = f(x) + e (x) = f (x) + 0= f(x)
Luego
f+e=f
Análogamente se verifica que e + f= f.
A4 . Inverso aditivo de fe KX es la función -f: X -+ K definida por (-f) (x) = -f (x)
En efecto, para todo x e X se verifica
(-f + f) (x) = (-f) (x) + f (x) = -f (x) + f (x) = O = e (x)
o sea
(-f)+f=e
Análogamente se prueba que
f + (-f) = e
As . La suma en KX es conmutativa, ya que
(f + g) (x) =f(x) + g(x) =g(x) + f(x) =(g + f) (x)
Luego
f + g = g + f cualesquiera que sean f y g en K x
A6 . a e K A fe KX => a f e KX por la definición ii).
A? . SeanaeK,¡leKyfeKX
.1
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Entonces
Lucgo
As . Considerando
ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES
O< € K, (3 € K Y f € KX es
(o<+{3)f) (x)~(o<+{3)f(x)~o<f(x) +(3f(x)~
~ (o< f) (x) + ({3 f) (x) ~ (o< f + (3 f) (x)
9
lo que se justifica teniendo en cuenta ii), la distributividad y la asociatividad del producto
en K, ii) e i),
Entonces es
(o< + (3) f~o< f+ (3f
A, . Sean o< € K, f € KX y g € KX .
Por ii), i), distributividad del producto respecto de la suma en K y por las definiciones ii)
y i) se tiene
o sea
(o«f+ g») (x)~a (f+ g)(x)) ~a (f(x) + g(x)) ~
~ a f (x) + a g (x) ~ (a f) (x) + (a g) (x) ~ (a f + o< g)(x)
AIO . Cualquiera que sea f en KX se verifica
(lf) (x) ~ 1 f(x) ~ f(x)
Luego
La cuaterna (Kx , + , K, .) es el espacio vectorial de las funciones definidas en el conjunto
no vacío X y con valores en K, con las leyes de composición punto a punto. Los vectores de
este espacio son funciones.
La figura siguiente explica la situación en el caso particular en que K ~ R Y X ~ [0,1 J
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10 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
R
O
,
laf
,,
, f+g ,
f
,'g
, 1
I
I
-f
R
1.5. ESPACIO VECTORIAL DE JI-UPlAS DE ELEMENTOS DE K
Con relación al espacio vectorial de funciones (K x , +, K,.) consideremos el caso
particular eu que X es el intervalo natural inicial In' Toda función f: In ---+ K es una n-upIa de
elementos de K, y escribiendo K" ~ K" es (Kn
, +, K, .) el espacio vectorial de las n·uplas de
elementos de K.
Las definiciones i) y ii) dadas en lA. se traducen aquí de la siguiente manera:
i) Si f Y g denotan elementos de Kn
• entonces f + g es la función de In en K definida
por
(f + g) (i) ~ f (i) + g (i) cualquiera que sea i € 1"
Es decir
C¡ ~ (f + g) (i) ~ f (i) + g (i) = a¡ + bi
donde aj, /Ji y c¡ son las imágenes de i dadas por r, g y f + g, respectivamente.
En consecuencia, dos n-uplas de elementos de K se suman componente a componente.
ii) Si a € K Y f € Kn
, entonces a f es la función de 1" en K definida por
(a f) (i) ~ a f (i) cualquiera que sea i € 1".
Denotando mediante Ci la imagen de i dada por Q' f es
Ci = (" f) (i) = " f (i) ~ " ai
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ESPACIOS DE N-UPLAS y DE MATRICES 1!
Es decir, el producto de un elemento de K por una n-upla se realiza multiplicando en K a
dicho elemento por cada componente de la n'upla.
En particular (K, +, K, .) es el espacio vectorial donde los vectores se identifican con los
elementos del cuerpo K. En este caso, la ley de composición externa es interna.
En consecuencia, (R, +, R, .) es el espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo
de los reales. Este es un caso particular del espacio vectorial de las n-upIas de números reales
sobre el cuerpo de los reales, que denotamos mediante (Rn
, +, R, .).
(en, +, e, .) es el espacio vectorial de las n-uplas de números complejos sobre el cuerpo de
los complejos.
1.6. ESPAeIO VEeTORIALDE MATRleES n x m
Particularizando nuevamente con relación al espacio vectorial tratado en 1.4., consideremos
X = In X 1m , O sea, el producto cartesiano de los dos intervalos naturales iniciales: In e
1m'
Llamamos matriz n X m con elementos en K a toda función
f: In X 1m -+ K
La imagen del elemento (i • j) perteneciente al dominio se denota por aU'
In- X- -1m- -'-'"- _-------;"""=-. a 11 = a 1 m (1 , 1).
(I , 2)~
(1 , m) .~_-+~
(i. j) ._. --,~~
(n, m).···
La matriz f queda caracterizada por el conjunto de las imágenes
a11 a12 alm
a21 a22 a2m
K
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12 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
y suele escribirse como un cuadro de n.m elementos de K dispuestos en n filas y m columnas.
En cada fila o renglón se escriben las imágenes de todos los pares ordenados que tienen la
misma primera componente, y en cada columna se anotan las imágenes de todos los pares
ordenados que tienen la misma segunda componente. El elemento de la matriz que figura en
la fila i y en la columna j se denota por ajj, y es la imagen dada por f, del par (i, ¡). Llamando
A a la matriz cuyo elemento genérico es aij, escribiremos
(" a" a" a1m
a21 a22 a23 a2m
A= .
a n 1 a n2 a n3 anm
Tanto las filas como las columnas de A se llaman líneas de la matriz.
Abreviando, puede escribirse
A = (ao) donde i= 1, 2, ... , n y j= 1,2, ... , m
El conjunto de todas las matrices n x m con elementos en K es K1nX 1m y se denota
mediante Kn X m .
Las definiciones i) y ii) dadas en 1.4. se traducen aquí de la siguiente manera: si A y Il son
dos matrices de KnX m , su suma es e € KnX m. tal que
Cjj = (f + g) (i, j) = f (i,j) + g (i, j) = ao + bjj
Y el producto del escalar a € K por la matriz A es la matriz de Kn X In cuyo elemento genérico
cij es tal que
C O = (cd) (i , ¡) = Di f (i , j) = Di ajj
O sea, dos matrices del tipo nxm se suman elemento a elemento; y para multiplicar un
escalar por una matriz n X m se multiplica dicho escalar por todos los elementos de la matriz.
La cuaterna (KnX m, +. K,.) denota el espacio vectorial de las matrices nXm con
elementos en K. En este espacio, los vectores son matrices.
En particular (Kn x n, +, K , .) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas, es decir,
de n filas y n columnas:
El vector nulo del espacio Kn x m se llama matriz nula; la denotaremos mediante N, y está
definida por no = O V i V j.
La matriz inversa aditiva u opuesta de A = (aij) es B, cuyo elemento genérico satisface la
relación bij = ~aij. Escribiremos B = -A.
Por definición de funciones iguales resulta A = B si y sólo si ajj = bij Vi V j.
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ESPACIO DE SUCESIONES
Ejemplo 1·4.
En R2 X 3 se consideran las matrices A y B cuyos elementos genéricos son aij ::::: 2i - j y
bi¡ = 1 - i'. Obtenemos e = A - 2B.
La expresión de e es e = A + (-2)B, Y como
A= (1 0-1)
3 2 1 /
B= (0 ° 0)
-3 -3 -3
resulta
C=(I 0-1) + (0 00) (10-1)
321 666 987
/
1. 7. ESPACIO VECTORIAL DE SUCESIONES
13
Sean: X = N Y KN el conjunto de todas las funciones de N en K. Los elementos de KN
son todas las sucesiones de elementos de K, y retomando 10 expuesto en ).4. resulta
(KN
, +, K, .) un espacio vectorial.
Las definiciones i) y ii) de lA. se interpretan ahora de la siguiente manera:
o sea
ei =(f + g)(i) =f (i) + g (i) =a¡ + bi Vi € N
c¡=(cd)(i)="f(i)="a¡ W€N
(a" a" ... , an , ... ) + (b" b" ... , bn , ... ) = (a, + b" a, + b" ... , an + bn , ... )
a(al,a2, ... ,an , ... )= (aal, 0Yl2, ... ,aan , ... )
El vector nulo es la sucesión
0= (O, 0, ... , O, ... )
Ejemplo 1·5
Sea R [Xl el conjunto de los polinomios reales en la indeterminada X. La suma en
R [Xl se define como en 12.2.2., Algebra 1, del mismo autor. El producto de escalares
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14 ESTRUCTURA DE ESPAC!O VECTORIAL. SUBESPACIOS
reales por polinomios es el habitual, o sea si a E K Y PE R , entonces a P es la
función de No en R definida por (a P) (i) = a P (i), cualquiera que sea i E No.
Res<a (R , +, R, .) el espacio vectorial de los polinomios reales en la indeterminada
X sobre el cuerpo de los números reales.
El conjunto de los polinomios reales de grado 2 no es un espacio vectorial sobre el
cuerpo de los reales, porque la suma no es una ley de composición interna en dicho
conjunto. Pero el conjunto de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y el
polinomio nulo constituye un espacio vectorial sobre R.
P
R
--------------~------------~~S
o
Q
Ejemplo 1-6
Sea S el conjunto de las funciones reales definidas en [0,1] tales que f (O) = O, es decir
S = I f: [0,1]-+ R / f (O) = O ¡
Como todo elemento de S pertenece a Rlo,l J, es S e Rlo,ll.
Considerando las leyes de composición definidas en 1.4., se verifican
Al . fE SAg ES o> feO) = O A g(O) = O o> feO) + g(l}= j", (f + g)(O) = O o> f + gES
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I
SUBESPACIOS
A. . Como la suma de funciones es asociativa en R[O,l [ , también [o es en S.
A. . La función nula es el vector nulo de S.
A. . Todo elemento de S admite un opuesto en S.
Si f e S, entonces -f e S, pues (-f) (O) = -f (O) = O.
As . Cualesquiera que sean f y g en S, se tiene
Hg=g+f
rues S e R(O.l J
A, .CieR 1 feS'*CieR 1 f(O)=O'*Cif(O)=O'*(Cif)(O)=O'*afeS
Los restantes axiomas, lo mismo que Al y As, por ser identidades en R[O,l] se
cumplen en S ya que S e R[O,ll.
En consecuencia, (S, +, R, .) es un espacio vectorial.
1.8. SUBESPACIOS
1.8.1. Concepto
15
Dados el espacio vectorial (V, +, K, .) Y el conjunto no vacío S e V, si S es un espacio
vectorial sobre e[ mismo cuerpo K y con' las mismas leyes de composición que en V, diremos
que (S, +, K, .) es un subespacio de (Y, +, K, .), o simplemente, que S es ue subespacio de
V.
Definición
S es un subespaeio de (V, +, K, .) si y sólo si (S, +, K, .) es un espacio vectorial.
Cualquiera que sea (Y, +, K, .), tanto V como ¡ O l son subespacios de V, llamados
triviales.
Ejemplo ]·7
Consideremos el espacio vectorial (R', +, R, .) Y los subconjuntos
T=¡(x,y)eR' /y=x+ Il S=¡(x,y)eR' /y=2xl
T no es un subespacio, pues el vector nulo (0,0),f' T.
En cambio, S es un subespacio de R2 ,ya que
10 (S, +) es un subgrupo de (R2
, +). En efecto, de acuerdo con la condición suficiente
demostrada en 8.4.2.,Algebra 1, del mismo autor, se verifica
(x,y)eS 1 (x',y)eS'*y=2x 1 y'=2x''*y-y'=2(x-x'),*
'* (x - x', y - y) E S '* (x, y) + (-x', -y) € S
•
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16 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
2° Respecto de la ley de composición externa consideramos
A6 .aeR A (x. y) eS '* a eR Ay=2x'*ay=2 ax '*(ax. ay)eS '*a(x.y)eS
Los axiomas A" As, A9 Y AIO , por ser igualdades en R' , se cumplen en S ya que
seR'
T
(O, 1)
De la definición se deduce que (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .) si Y sólo si
(S, +) es un subgrupo de (V, +) Y S es cerrado para el producto por escalares.
1.8.2. Condición suficiente
Si el conjunto no vacío S e V es cerrado para la suma y para el producto por escalares,
entonces (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .).
Hipótesis) (V, +, K, .) es un espacio vectorial
</J*sev
l.xeS AyeS'*x+yeS
2. a e K i X e S '* '" X e S
Tesis) (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .)
Demostración)
10 Consideremos dos vectores cualesquiera x e y en S. De acuerdo con ]a condición 2. de
la hipótesis, por 1.3.4. y por la condición l. de la hipótesis. se tiene
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r SUBESPACIOS
17
xeSAyeS=> xeSA (-i)yeS=> xeS A-yeS => x + (-y)eS
En consecuencia,(S, +) es un subgmpo de (V, +).
2° S es cerrado para el producto por escalares, de acuerdo con la condición 2. de la
hipótesis.
La aplicación del teorema demostrado es esencial para determinar si un conjunto S es un
subespacio de (V, +, K, .). Para que lo sea, deben verificarse las condiciones que figuran en la
hipótesis del mismo, a saber:
1. S*<P
2. SCV
3. xeS AyeS=>x+yeS
4. O< e K A X e S => O< X e S
Estas condiciones son, además, necesarias. Es decir, sabiendo que S es un subespacio, son
proposiciones verdaderas.
Ejemplo 1-8
Sean: el espacio vectorial (R3
, +, R, .), Y el conjunto S de las ternas ordenadas de R
tales que la tercera componente es igual a la suma de las dos primeras.
O sea
S= !(x¡,xz,x3)eR3 IX3 =X¡ +x,!
Afinnamos que S es un subespacio de R3 ,pues
1. (I, 2, 3) e S => S * <P
2. S e R3 por la definición de S.
3. (x¡,x"x3)eS A(y¡,yz,Y,)€S=>X3=X¡ +x, AY,=y¡ +y,=>
=>X3 +y, =(x¡ +y¡)+(xz +y,)=>(x¡ +y¡,XZ +Y"X3 +Y3)eS=>
=> (x¡, Xz, X3) + (y¡, Yz, Y3) e S
Hemos aplicado sucesivamente: la definición de S, la adición en R, la definición de S y
la definición de suma de ternas.
4. o<eR A (x¡,x"x3)eS=>o<eR AX3 =X¡ +X2 =>
'*Cl:X3 ;:::XI +aX2 =>(aXI,O:X2,O:X3)eS:::}OXl,X2,X3)€S
Por definición de S, multiplicación en R, definición de S y la definición de producto
de escalares por ternas,
Al subespacio S pertenecen las ternas (x ¡, x z, x 3) e R3 que satisfacen la condición
Esta ecuación define un plano que pasa por el origen.
I
I
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18 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECl'ORIAL. SUBESPACIOS
Ejemplo 1-9
Considerando el espacio vectorial de las funciones reales definidas en [0,1 J, que
denotamos medíante (R1
, +, R, .), sean los subconjuntos
1. S=!f€R1/!(0)=0)
2. S = ¡ f € R1/f(0) = 1 )
En el caso l. se tiene un subespacio de R1
, como fue tratado en detalle en el ejemplo
1·6. Independientemente del análisis realizado en el ejemplo citado, se llega a la
misma conclusÍón aplicando el teorema demostrado, pero en forma más simple.
En cuanto al caso 2., S no es un subespacio, pues no es cerrado para la suma. En
efecto, las funciones f y g de I en R definidas por
f(x)=x+ 1
satisfacen las condiciones
feO) = 1 g(O) = 1
o sea, son elementos de S. Pero la suma f + g está definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =x' + x + 2
Y no pertenece a S, ya que
(f+ g)(O) = 2
Ejemplo 1-10
Dado el espacio vectorial (R4
, +, R, .) consideramos
S= ¡ (x¡,x"x"x4)€R4 /x¡ +x, +x, +x4=d
Se verifica que
1. S "" <1>, pues (J , O, O, O) € S
2. S e R4 por la definición de S
3. S no es cerrado para la suma ya que
(I,I,-I,O)€S 1 {l,I,--I,O)€Spero
(1, 1, -1, O) + (1, 1, -1, O) = (2,2, -2, O),t S
En consecuencia, S no es un sub espacio. Por otra parte, el vector nulo no pertenece a
S, y esto basta para que no sea un sub espacio.
Ejemplo 1-11.
Sea (Rnxn
, +, R,.) el espacio veqtorial de las matrices cuadradas reales de n mas y n
columnas.
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SUBESPACIOS
Si A e Rn xn escribimos
al1 a12 al n
021 a22 a2 n
A~
Por definición, traza ,de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su
diagonal. la notación es
El conjunto
n
tr A=au +a22 + ... +ann ::::: ,L all
1=1
S= IAeRnxn /trA~O l
es el conjunto de las matrices de traza nula de Rnxn , y cortstituye un subespacio, pues
se verifica:
1. S '* <p, pues la matriz nula N es de traza nula, y en consecuencia es u'n elemento
de S.
2. S e Rnxn por definición de S.
3. S es cerrado para la adición.
Sean A y B dos matrices cualesquiera de S. Entonces
n n
AeSABeS=>trA~OAtrB~O=>L a .. =OAL b··=O=>
j=l 11 i=l 11
n n n
=>L a"+L b .. ~O=>L (a .. +blil~O=>
i=l 11 i=l' u i=l 11
=> tr (A + Bl = O => A + B e S
4. S es cerrado para el producto por escalares. En efecto
n n
=>exL a .. ~O=>L exa .. =O=>tr(exAl=O=>exAeS
i=l 11 i=l 11
Ejemplo /-12.
Consideremos S = I (Xl. X2) € R2fxl ;::::X2 I e investiguemos si S es un subespacio de
(R2
, +, R, .l.
Se ve de inmediato que no se verifica A4 , pues no todo elemento de S admite
opuesto en S. Así
(O, -ll e S pero (O, I).e'S
19
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20 ESTRUCTURA DI' ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Analizando la situación en términos de la condición suficiente demostrada, se verifica:
1. S *'" 2. S e R2
3. S es cerrado para la suma.
(x"x2)eSA(y"Y2)eS=>x, ;'X2AY, ;'y, =>
=>x, +y, ;'x, +y, =>(x, +y"X2 +Yz)eS=>(x"x,)+(Y"Y2)eS
Pero S no es cerrado para el producto por escalares, como 10 demuestra el siguiente
ejemplo:
(2,1) e S A( -2) (2,1) = (-4, -2),e'S
En consecuencia, S no es un subespacio de R2 .
1.9. OPERACIONES CON SUBESPACIOS
1.9.1. Intersección de subespacios
Sea I Si lean ¡el una familia de subespacios de (V, +, K, .). Denotaremos con S la
intersección de dicha familia, o sea, S = n Si. Resulta S un subespacio de V.
j é 1
Teorema. La intersección de toda familia de subespacios de V, es un sub espacio de V.
Hipótesis) (V, +, K,.) es un espacio vectorial
{Si} con i E 1 es una familia de subespacios de V .
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Tesis)
INTERSECCION DE SUBESPACIOS
s = n Si es un subespacio de Y. ,,1
Demostración) De acuerdo con la condición suficiente 1.8.2. se verifica
1. S no es vacío, pues
o € Si , ti el => O € n Si =>
.EI
Por ser cada Si un subespacio y por definición de intersección.
2. S está incluido en Y, ya que
Si e Y , ti € 1 => n Si e Y => S e Y
" I
21
Por ser cada Si un subespacio de V y porque la intersección de toda familia de
subconjuntos de Y es una parte de éste.
3. S es cerrado para la suma. En efecto
X € S A Y € S => X € n Si A Y € n Si =>
¡el iEl
=> X € Si A Y € Si, ti € r => X + Y € Si, Vi el =>
=> X + Y € n S· => X + Y € S
¡El I
Por definición de intersección, y porque todo Si es un subespacio.
4. S es cerrado para el producto por escalares.
Consideremos" € K Y X € S. Ahora bien
Ejemplo 1-/3
,,€ KA X € S=>" € K A X € n Si =>
iEl
=>aEKA XES¡, VieI=>Q'x€S¡, VieI=>
=>" X € nSi =>" X € S
¡él
En (R3
, +, R,.) consideramos los subespacios
S¡ =!(x¡,x2,x,)€R'/x, =0) S2 =!Cx¡,x2,x,)€R'/x¡ =0)
La intersección de estos es
S=S¡ ro S2 =1 (x¡, X2, x,) €R'/x¡ =0 AX, =0)
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22 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
. Esto significa que un vector genérico de 5 es una terna del tipo (O,X"O) que puede
expresarse mediante (O, a, O) para algún a en R.
Entonces
5 = I (O, a, O) e R3¡a e R 1
o sea, 5 es el eje X2
52
X,4C ___ --____________ -'
5ubespacios de R' son: R', 101, todas las rectas que pasan por el origen y todos los
planos que pasan por dicho punto. Dos rectas distintas que pasan por el origen son
subespacios cuya intersección es el vector nulo, y se llam• an disjuntos.
1.9.2. Unión de subespacios
Si 81 Y S2 son dos subespacios de (V, +, K, .), entonces SI U 821 no es necesariamente un
subespacio de V, como lo prueba el siguiente ejemplo:
Consideremos en (R2, +, R,.) los subespacios S, y 52 de la figura
s,
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SUMA DE SUBESPACIOS 23
La unión de ambos es el par de rectas, y eligiendo x e S" y e S" distintos del vector nulo,
se tiene
pero
xeS, =>xeS, US,
yeS, =>yeS, US,
x+y/S, US,
1.9.3. Suma de subespacios
Sean S, Y S, dos subespacios de (Y, +, K, .). Definimos el conjunto
S = I x e Y / x = x, + x, A x, e S, A x, e S, I
o sea
s = I x e Y / 3 x, e S, A 3 x, e S, A X = x, + x,l
El conjunto S se llama suma de los sub espacios S, Y S, Y se indica
S = S, + S,
Teorema. La suma de dos subespacios de Y es un subespacio de Y.
Hipótesis) S, y S, son dos subespacios de (Y, +, K, .)
S = S, + S,
Tesis) (S, +, K, .) es un subespacio de (Y, +, K, .)
Demostración) Se verifican las condiciones expuestas en 1.8.2., a saber
1. S es no vacío, pues
OeS, AOeS, =>O+O=OeS, +S, =>OeS =>S*tfJ
2. S es una parte de Y, por la definición de S.
3. S es cerrado para la suma, ya que
xeSAyeS=>x=x, +X,AY=y, +y,Ax"y, eS,Ax"y, eS, =>
=>x +y =(x, +y,) + (x, +y,)AX, + y, eS,Ax, + y, eS, =>
=>x+yeS
4. S es cerrado para el producto por escalares, porque
fr€KAX€S=>a.€K!x=x¡ +X'2tX¡ eS¡Ax2 eS2 =>
=>ax=a:xI +ax2Aaxf eS1Aax2 eS2 =>axeS
Por consiguiente, la suma de subespacios es un subespacio.
Un caso particular importante se presenta cuando los subespacios SI y S2 son disjuntos,
es decir, si S, () S, = 101 . En esta situación, el subespacio S = S, + S, recibe el nombre de
suma directa de S, Y S, , Y se utiliza la notación
S=S,9lS,
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24 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Sintetizamos esto en la siguiente definición
Ejemplo l· I4
Consideremos primero los subespacios de R'
El subespacio suma S = S, + S2 está formado por todas las ternas del tipo
(ex, W + {3", 7) = (ex, {3, 7)
y es R'. Ambos subespacios son los planos indicados en la figura, y como su
intersección es el eje X2, la suma S = SI + S2 ::::; R3 no es directa.
S2
En cambio, si
S, =¡(ex,ü,ü)/exeRI y S2=!(ü,{3,ü)/{3eRI
se tiene
o sea, la suma es directa y se identifica con el plano horizontal
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OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS 25
S2
Extendemos la definición de suma de subespacios al caso en que n > 2.
Definición
Suma de los subespacios SI' S2, ... , Sn de (V, +, K, .) es el conjunto
n n
S =i~' Si = ¡ x e V/x =i~' X, A Xi e Si, Vi = 1,2, .. " n 1
n
Resulta S =:E Si un subespacio de (V, +, K, .).
i=1
Además, si tales subespacios son disjuntos dos a dos, o sea
entonces diremos que S es la suma directa de ellos, y escribiremos
Ejemplo 1-15
Sean S, T Y U subespacios de (V, +, K, .), tales que Tes. Entonces se verifica que
S n (T + U) = T + (S n U)
1°. xesn(T+U)=>xeSAxeT+U=>
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26
o sea
Luego
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
~X€SAX=:Xl +X2AXl €TAX2 fU=>
=>(Xl +X2 eSAXI eS)AX2 eVAXI eT=>
=>Xl eTAX2 eSAX2 eV=>
=>Xl ETAX2 e S (1 V =>Xl + X2 ET + (S (1 V) =>
=> x E T + (S (1 V)
S (1 (T + V) e T + (S (1 V) (1)
=>Xl eTAXz eSAX2 fU =>
::}Xt eTAxl eSAX2 eSAX2 fU=>
=>Xl +X2 eSAXI +X2 ET+V=>
=> Xl + X2 E S (1 (T + U) => X e S n (T + V)
T + (S n V) e S n (T + V) (2)
De (1) y (2) resulta la igualdad.
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TRABAJO PRACTICO I
1-16. Determinar si las cuaternas que se indican denotan espacios vectoriales con las
operaciones que se indican
i) (R,+,Q,.)
ii) (Q, X3)+0'¡,Y"y,)]=[(x¡ +y¡,X2
Multi
',I pítulo 1. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIO
.pítulo
l. 2. Concepto de espacio vectorial
l. 3. Propiedades de los espacios vectoriales
1. 4. Espacio vectorial de funciones
1. 5. Espacio vectorial de n·uplas
1. 6. Espacio vectorial de matrices
1. 7. Espacio vectorial de sucesiones
1. 8. Subespacios
l. 9. Operaciones entre suhcspacios
Trabajo Práctico 1
2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASE Y D1MENSION
2. 2. Combinaciones lineales
2. 3. Subespacio generado
2. 4. Dependencia e independencia lineal
2. 5. Sistema de generadores
2. 6. Base de un espacio vectorial
2. 7. Dimensión de un espacio vectorial
2. 8. Dimensión de la suma
Trabajo Práctico II
htulo 3. TRASFORMACIONES LINEALES
3. 2. Trasformación lineal entre dos espacios vectoriales
3. 3. Núcleo e imagen de una trasformación lineal
3. 4. Dimensiones del núcleo y de la imagen
3. 5. Teorema fundamental de las trasformaciones lineales
3. 6. Producto de matrices
3. 7. Matriz asociada a una trasformación lineal
3. 8. Composición de trasformaciones lineales
3. 9. Trasformación lineal no singular
3. lO. Composición de trasformaciones lineales y producto de matrices
3.11. Espacio vectorial de trasformaciones lineales
3.12. Espacio dual de un espacio vectorial
Trabajo Práctico JII
I
1
6
7
10
11
13
15
20
27
30
30
34
42
SI
53
57
60
63
66
66
72
80
83
85
86
92
93
96
98
101
102
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x CONTENIDO
Capítulo 4. MATRICES
4. 2. Producto de matrices
4. 3. Anillo de matrices cuadradas
4. 4. Trasposición de matrices
4. 5. Matrices simétricas y antisimétricas
4. 6. Matrices triangulares
4. 7. Matrices diagonales
4. 8. Matrices idempotentes e involutivas
4. 9. Inversa de una matriz no singular
4.10. Matrices ortogonales
4.11. Matrices hermitianas
4.12. Matrices particionadas
4.13. Espacios fila y colunma de una matriz
4.14. Operaciones y matrices elementales
4.15. Equivalencia de matrices
4.16. Método de Gauss lardan para determinar el rango
4.17. Inversión de matrices por Gauss lordan
4.18. Inversión de matrices por partición
4.19. Cambio de base y semejanza de matrices
Trabajo práctico IV
Capítulo 5. DETERMINANTES
5. 2. Determinantes
5. 3. Propiedades de la función determinante
5. 4. Existencia de D
5. 5. Unicidad del determinante
5. 6. Determinante de la traspuesta
5. 7. Determinante del producto de dos matrices
5. 8. Adjunta de una matriz cuadrada
5. 9. Inversión de matrices no singulares
5.10. Regla de CIlio
Trabajo Práctico V
Capítulo 6. SISTEMAS LINEALES
6. 2. Sistemas lineales
6. 3. Teorema de Cramer
6. 4. Compatibilidad de sistemas lineales
6. 5. Resolución de sistemas lineales
6. 6. Sistemas homogéneos
6. 7. Conjunto solución de un sistema Jineal
6. 8. Resolución de sistemas simétricos
6. 9. Método del orlado
Trabajo Práctico VI
106
106
109
110
112
114
114
115
116
117
118
121
123
130
133
135
138
141
144
149
155
155
157
161
163
166
169
170
172
174
177
181
181
187
188
190
196
198
202
205
210
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CONTENIDO
Capítulo 7. PRODUCTO INTERIOR. GEOMETRIA VECTORIAL
7. 2. Espacio vectorial euclidiano
7. 3. Ortogonalidad
7. 4. Desigualdad de Schwarz
7. 5. Desigualdad triangular
7. 6. Angula de dos vectores
7. 7. Conjunto ortogonal de vectores
7. 8. Base ortonormal
7.9. Complemento ortogonal
7.10. Proyección de un vector sobre otro
7.11. Espacio afín Rll
7.12. Ecuaciones vectorial y cartesianas de la recta
7.13. Ecuación normal vectorial del plano
7.14. Curvas en el espacio
7.15. Superficie cilíndrica
7.16. Superficie cónica
7.17. Proyección de una curva sobre un plano
Trabajo Práctico VII
Capítulo 8. VALORES Y VECTORES PROPIOS. DIAGONALIZACION
8. 2. Valores y vectores propios
8. 3. Polinomio característico de una matriz
8. 4. Diagonalización de matrices
8. 5. Triangulación de endomorfismos y de matrices
8. 6. Teorema de Hamilton·Cayley
Trabajo Práctico VIII
Capítulo 9. FORMAS BILlNEALES y CUADRATICAS
9. 2. Formas hilineales
9. 3. Formas hermitianas
9. 4. Formas cuadráticas
9. 5. Operadores adjuntos y traspuestos
9. 6. Operadores hermitianos y simétricos
9. 7. Operadores unitarios y ortogonales
9. 8. Teorema de Sylvester
9. 9. Diagonalización de operadores simétricos
9.10. Matrices simétricas reales y valores propios
9.11. Descomposición espectral de una matriz
9.12. Congruencia de formas cuadráticas
9.13. Signo de una forma cuadrática
Trabajo Práctico IX
XI
214
214
219
222
223
223
225
225
229
232
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294
296
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300
303
307
310
311
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318
321
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XII CONTENDIO
Capítulo 10. CONVEXIDAD. PROGRAMACION LINEAL
10.2. Conjuntos de puntos en Rn
10.3, Segmentos, hiperplanos y semi espacios
10.4. Convexidad en Rn
10.5. Convexidad y trasformaciones lineales
10.6. Hiperplanos soportantes
10.7. Puntos extremos
10.8. Introducción a la Programación Lineal
Trabajo Práctico X
BIBLIOGRAFIA
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
INDICE
325
325
330
336
339
342
344
346
356
359
361
393
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Capítulo 1
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIOS
1.1. INTRODUCCION
La estructura de espaCio vectorial, que tratamos en este capítulo, es el concepto básico
del AIgebra Lineal. Confiere unidad y precisión a tcmas esenciales de la matemática que
tienen vastas aplicaciones en la ciencia y en la tecnología actuales. Después de introducir el
sistema axiomático y de dar las propiedades fundamentales, proponemos los espacios
vectoriales de funciones, de los que se derivan los modelos de los espacios de matrices,
n-uplas y sucesiones de elementos de un cuerpo. Se da, finalmente, el concepto de
subespacio.
1.2. CONCEPTO DE ESPACIO YECTORlAL
Sean: V un conjunto no vacío, K un cuerpo, + y . dos funciones, que llamaremos suma y
producto, respectivamente.
Definición
El objeto (V, +, K, . ) es un espacio vectorial si y sólo si se verifican los siguientes:
Al . La suma es una ley de composición interna en V.
+:Y'--,y
o sea
xeYAyeY=>x+yeY
Esto significa que la suma de dos elementos cualesquiera de V es un único elemento de
Y.
Al . La suma es asociativa en V.
(x + y) + z = x + (y + z)
cualesquiera que sean x, y, z en V. i
!!
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2 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
A3 . Existe un neutro para la suma en V.
El elemento neutro se- denota con O.
30eY/VxeY:x+O~O+x~x
A. . Todo elemento de Y admite inverso aditivo u opuesto en Y.
V x e Y, 3 Y e Y / x + y ~ y + x ~ O
Al opuesto de x lo denotamos con -x, o sea, y:;::;;: -x.
As . La suma es conmutativa en V.
x+y~y+x
cualesquiera que sean x, y en V.
A6 . El producto es una ley de composición externa en V con escalares u operadores
enK.
.:KXY"'Y
De acuerdo con 5.6, Algebra 1, del mismo autor, la imagen del par (a, x), donde a eK y
x e Y, se escribe a x y se llama producto del escalar a por x.
O sea
aeKlxeV=>CixeV
A7 . El producto satisface la asociatividad mixta.
Va e K, V ~ e K, V x e Y: a (~x) ~ (a m x
Observamos aquí que los dos productos que figuran en el primer miembro
corresponden a la ley de composición externa. Pero el producto a ~ del segundo
miembro se efectúa en K.
As . El producto es distributivo respecto de la suma en K.
VaeK, V~eK, VxeYa+{l)x~ax+~x
La suma a + (J se efectúa en K, pero la suma que figura en el segundo miembro
corresponde a la ley de composición interna en V.
A, . El producto es distributivo respecto de la suma en Y.
Va e K, V x € Y, V Y € Y: a.(x + y) ~ a x + a y
Las dos sumas se realizan en V.
AIO. La unidad del cuerpo es neutro para el producto.
V X eY: Ix ~x
donde 1 denota la identidad en K.
Los axiomas Al, 'Al, A3 , A4 Y As caracterizan a (V , +) como grupo abeliano. Los
últimos cinco axiomas son relativos a la ley de composición externa.
Los elementos de V se nama~ vectores; en particular, el elemento neutro para la suma
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ESPACIO VECTORIAL 3
recibe el nombre de vector nulo. A menudo hablaremos del espacio vectorial V,
sobrentendiendo que nos referimos a la cuaterna (V, + , K, .). La simplificación de las
notaciones hace conveniente el uso de los mismos símbolos para nombrar las leyes de
composición interna en K, la suma en V y el producto de escalares por vectores. O sea, al
decir K nos estamos refiriendo al cuerpo (K, +, .), donde los signos "+" y "," denotan las
dos leyes de composición interna en K, que no tienen el mismo significado que las que
figuran en (V, +, K, .). Distinguiendo adecuadamente los elementos de K y los de V, no hay
lugar a confusión.
Así
ex + {3 es una suma en K
a ~ es un producto en K
Ejemplo J -l.
x + y es una suma en V
O:: x es el producto de un escalar por un vector
Sean: V = R2 , K = R, la adición definida en R2 por
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (1)
y el producto de números reales por elementos de R 2 definido mediante
a(a,b)=(aa,ab) (2)
Resulta (R2
, +, R ,.) el espacio vectorial de los pares ordenados de números reales
sobre el cuerpo de los números reales.
En efecto, de acuerdo con los ejemplos 5-2 y 5-5 iv) del texto nombrado, es (R2 , +)
un grupo abeliano.
Por otra parte se verifican:
A6 . Por la definición (2).
A, . a ( ~ (a , b)) = e< (~a , ~ b) = ( ex ~ a), a (~b) ) = ( (a~) a , (a~) b ) =
=(a~)(a, b)
Hemos aplicado la definición (2), la asociatividad del producto en R y la definición
(2).
A, . (c< + ~)(a , b) = ( (e< + ~) a, (a+~) b) = (a a + ~ a , a b + ~ b) =
= (e< a, a b) + (~a , ~ b) = a (a, b) + ~ (a , b)
De acuerdo con (2), la distributividad del producto respecto de la suma en R, y las
definiciones (I) y (2).
A, .a (a, b)+(c,d)) = a(a+c, b+·d)= (a(a+e),a(b +d))
= (a a + a c , a b + a d) = (a a, a b) + (a c , a d) = a (a , b) + a (e , d)
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4 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Según (I), (2), distributividad de la multiplicación respecto de la adición en R, y las
definiciones (1) y (2).
AIO. I (a, b) = (la , lb) = (a , b)
El significado geométrico de las operaciones de este espacio vectorial es el siguiente:
la suma de dos vectores no colineales del plano queda representada por la diagonal del
paralelogramo que fannan. El producto de un número real a: por un vector no nulo
x = (a . b), es el vector fr x que tiene la misma dirección que x; el mismo sentido si
,,> 0, y sentido opuesto si ,,< O. Corresponde a una dilatación si 1" 1> ¡ y a u"a
contracción si 1 al < l. Si 0::::::: O, entonces se obtiene el vector nulo.
(a,b)+(c,d)
(e, d) __ ---<
-- ;'''' .......
/
Ejemplo ]·2.
En R2 se definen: la suma, como en el ejemplo anterior, y la ley de composición
externa mediante
,,(a,b)=(a,a) (2')
Se verifica, como antes, que (R2 ,+) es un grupo abeliano.
En cuanto a (2'), satisface A6' Su significado geométrico es el siguiente: todos los
pares ordenados que tienen la misma absisa, al ser multiplicados por cualquier número
real, se proyectan sobre la primera bisectriz paralelamente al eje de ordenadas.
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ESPACIO VECTORIAL
También se satisface A, ) pues
o: ((3(a, b)) ~o: (a, a)~(a, a) ~(o3)(a, b)
No se verifica As) ya que
(o: + (3)(a, b)~(a, a)
pero
.,(a, b) + (3 (a ,b)~(a, a) +(a, a)~(2a, 20)
Este hecho es suficiente para afirmar que no se trata de un espacio vectorial.
El lector puede comprobar que esta interpretación cumple A9 pero no A 10 .
Observarnos aquí que la estructura de espacio vectorial no es inherente exclusivamente
al conjunto V, sino que, además, depende de K y de las leyes de composición que se
definan. Aclaramos que toda vez que se mencione al espacio vectorial (R' , +, R, .) se
sobrentenderá que la suma y el producto son los definidos en (1) y en (2) del ejemplo
].l.
Ejemplo 1-3.
La estructura de espacio vectorial no es un sistema axiomático independiente, pues As
puede deducirse sobre la base de los restantes axiomas.
En efecto
5
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6 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
x +X +y +y~ Ix + Ix + Iy + Iy ~(1 + I)x +(1 + i)y~(l + I)(x +y)~
~ I (X + y) + I (X + y) ~ Ix + Iy + Ix + Iy ~ x + y + X + Y
en virtud de AlO , As, A9, As, A9 Y AlO.
O sea
x+ x + y +)1: ~.x+ y + x +)1:
Por ley cancelativa en el grupo (V , +) resulta
x+y~y+x
1.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
Sea (V, +, K, .) un espacio vectorial.
1.3.1. El producto del escalar O por cualquier vector es el vector lIulo.
En efecto, por neutro para la suma en K y As es
"X ~ (" + O)x ~ "X + Ox
Por A3 se tiene
~+ O ~..<>-X"+ O X
y por ley cancelatíva resulta
Ox~O
1.3.2. El producto de cualquier escalar por el vector nulo es el vector nulo.
"X ~,,(x + O) ~"x +" O
Entonces
Por A3 .
y por regularidad en (V, +), resulta
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PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES 7
1.3.3. Si el producto de 1Ul escalar por un vector es el vector nulo, entonces el escalar es O o
el vector es nulo.
ax=O'*a=Ovx=O
Se presentan dos posibilidades: a = O, o bien, a"" O
En el primer caso es verdadera la primera proposición de la disyunción que figura en la
tesis, y por consiguiente ésta es verdadera.
En el segundo caso es necesario probar que x = O.
En efecto, siendo {'("* 0, existe el inverso multiplicativo en K, n-l. Partiendo de la
hipótesis, premultiplicando por a-1
, usando A7 , 1.3.2., el producto de inversos en K y AIO
se tiene
1.3.4. El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto.
(--a) x = - (a x)
Teniendo en cuenta A4 , 1.3.1., la suma de opuestos en K y As. es
- (a x) + ax = 0= O x = (-a + a) x = (-a) x + ax
De
( a) x +.<I!-J('= -- (a x) + -"-'"
después de cancelar, resulta
En particular se tiene
(-l)x=-(I x)=-x
1.4. ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES
El símbolo KX denota el conjunto de todas las funciones con dominio un conjunto X "" rJ>
y codo minio un cuerpo K, o sea
KX ={f/f: x->KI
En KX definimos la suma de funciones y el producto de escalares por funciones mediante
i) Si f Y g son dos elementos cualesquiera de KX
, entonces f + g: X -> K es tal que
(f+ g)(x) = f(x) + g(x) t x E X
ii) Si a es cualquier elemento de K y f es cualquier elemento de KX , entonces
a f : X -> K es tal que
(af)(x)=af(x) tXEX
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8 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Tanto la suma de funciones con dominio X"" rp y codominio K, como el producto de
escalares por funciones, se llaman leyes de composición punto a punto.
Resulta (Kx , + , K ,.) un espacio vectorial. Para ello, veamos que se verifican los . I
axiomas.
Al . f eKX A g eKX =>f + g eKX por la definición i)
A2 . Sean f, g Y h en KX . Cualquiera que sea x € X se verifica, teniendo en cuenta la
definición i) y la asociatividad de la suma en K:
(f+g)+h) (x)=(f+g)(x)+h(x)= (f(x)+g(x») +h(x)=
=f(x)+( g(x)+h(x») =f(x)+(g+h)(x)= (f+(g+h)(x)
y por definición de funciones iguales resulta
(f + g) + h = f + (g + h)
A3 . El vector nulo es la función nula
e: X -+ K definida por e (x) = O cualquiera que seax e X.
Sea f e KX
. Teniendo en cuenta i), la definición de e y la suma en K, es
(f + e)(x) = f(x) + e (x) = f (x) + 0= f(x)
Luego
f+e=f
Análogamente se verifica que e + f= f.
A4 . Inverso aditivo de fe KX es la función -f: X -+ K definida por (-f) (x) = -f (x)
En efecto, para todo x e X se verifica
(-f + f) (x) = (-f) (x) + f (x) = -f (x) + f (x) = O = e (x)
o sea
(-f)+f=e
Análogamente se prueba que
f + (-f) = e
As . La suma en KX es conmutativa, ya que
(f + g) (x) =f(x) + g(x) =g(x) + f(x) =(g + f) (x)
Luego
f + g = g + f cualesquiera que sean f y g en K x
A6 . a e K A fe KX => a f e KX por la definición ii).
A? . SeanaeK,¡leKyfeKX
.1
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Entonces
Lucgo
As . Considerando
ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES
O< € K, (3 € K Y f € KX es
(o<+{3)f) (x)~(o<+{3)f(x)~o<f(x) +(3f(x)~
~ (o< f) (x) + ({3 f) (x) ~ (o< f + (3 f) (x)
9
lo que se justifica teniendo en cuenta ii), la distributividad y la asociatividad del producto
en K, ii) e i),
Entonces es
(o< + (3) f~o< f+ (3f
A, . Sean o< € K, f € KX y g € KX .
Por ii), i), distributividad del producto respecto de la suma en K y por las definiciones ii)
y i) se tiene
o sea
(o«f+ g») (x)~a (f+ g)(x)) ~a (f(x) + g(x)) ~
~ a f (x) + a g (x) ~ (a f) (x) + (a g) (x) ~ (a f + o< g)(x)
AIO . Cualquiera que sea f en KX se verifica
(lf) (x) ~ 1 f(x) ~ f(x)
Luego
La cuaterna (Kx , + , K, .) es el espacio vectorial de las funciones definidas en el conjunto
no vacío X y con valores en K, con las leyes de composición punto a punto. Los vectores de
este espacio son funciones.
La figura siguiente explica la situación en el caso particular en que K ~ R Y X ~ [0,1 J
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10 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
R
O
,
laf
,,
, f+g ,
f
,'g
, 1
I
I
-f
R
1.5. ESPACIO VECTORIAL DE JI-UPlAS DE ELEMENTOS DE K
Con relación al espacio vectorial de funciones (K x , +, K,.) consideremos el caso
particular eu que X es el intervalo natural inicial In' Toda función f: In ---+ K es una n-upIa de
elementos de K, y escribiendo K" ~ K" es (Kn
, +, K, .) el espacio vectorial de las n·uplas de
elementos de K.
Las definiciones i) y ii) dadas en lA. se traducen aquí de la siguiente manera:
i) Si f Y g denotan elementos de Kn
• entonces f + g es la función de In en K definida
por
(f + g) (i) ~ f (i) + g (i) cualquiera que sea i € 1"
Es decir
C¡ ~ (f + g) (i) ~ f (i) + g (i) = a¡ + bi
donde aj, /Ji y c¡ son las imágenes de i dadas por r, g y f + g, respectivamente.
En consecuencia, dos n-uplas de elementos de K se suman componente a componente.
ii) Si a € K Y f € Kn
, entonces a f es la función de 1" en K definida por
(a f) (i) ~ a f (i) cualquiera que sea i € 1".
Denotando mediante Ci la imagen de i dada por Q' f es
Ci = (" f) (i) = " f (i) ~ " ai
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ESPACIOS DE N-UPLAS y DE MATRICES 1!
Es decir, el producto de un elemento de K por una n-upla se realiza multiplicando en K a
dicho elemento por cada componente de la n'upla.
En particular (K, +, K, .) es el espacio vectorial donde los vectores se identifican con los
elementos del cuerpo K. En este caso, la ley de composición externa es interna.
En consecuencia, (R, +, R, .) es el espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo
de los reales. Este es un caso particular del espacio vectorial de las n-upIas de números reales
sobre el cuerpo de los reales, que denotamos mediante (Rn
, +, R, .).
(en, +, e, .) es el espacio vectorial de las n-uplas de números complejos sobre el cuerpo de
los complejos.
1.6. ESPAeIO VEeTORIALDE MATRleES n x m
Particularizando nuevamente con relación al espacio vectorial tratado en 1.4., consideremos
X = In X 1m , O sea, el producto cartesiano de los dos intervalos naturales iniciales: In e
1m'
Llamamos matriz n X m con elementos en K a toda función
f: In X 1m -+ K
La imagen del elemento (i • j) perteneciente al dominio se denota por aU'
In- X- -1m- -'-'"- _-------;"""=-. a 11 = a 1 m (1 , 1).
(I , 2)~
(1 , m) .~_-+~
(i. j) ._. --,~~
(n, m).···
La matriz f queda caracterizada por el conjunto de las imágenes
a11 a12 alm
a21 a22 a2m
K
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12 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
y suele escribirse como un cuadro de n.m elementos de K dispuestos en n filas y m columnas.
En cada fila o renglón se escriben las imágenes de todos los pares ordenados que tienen la
misma primera componente, y en cada columna se anotan las imágenes de todos los pares
ordenados que tienen la misma segunda componente. El elemento de la matriz que figura en
la fila i y en la columna j se denota por ajj, y es la imagen dada por f, del par (i, ¡). Llamando
A a la matriz cuyo elemento genérico es aij, escribiremos
(" a" a" a1m
a21 a22 a23 a2m
A= .
a n 1 a n2 a n3 anm
Tanto las filas como las columnas de A se llaman líneas de la matriz.
Abreviando, puede escribirse
A = (ao) donde i= 1, 2, ... , n y j= 1,2, ... , m
El conjunto de todas las matrices n x m con elementos en K es K1nX 1m y se denota
mediante Kn X m .
Las definiciones i) y ii) dadas en 1.4. se traducen aquí de la siguiente manera: si A y Il son
dos matrices de KnX m , su suma es e € KnX m. tal que
Cjj = (f + g) (i, j) = f (i,j) + g (i, j) = ao + bjj
Y el producto del escalar a € K por la matriz A es la matriz de Kn X In cuyo elemento genérico
cij es tal que
C O = (cd) (i , ¡) = Di f (i , j) = Di ajj
O sea, dos matrices del tipo nxm se suman elemento a elemento; y para multiplicar un
escalar por una matriz n X m se multiplica dicho escalar por todos los elementos de la matriz.
La cuaterna (KnX m, +. K,.) denota el espacio vectorial de las matrices nXm con
elementos en K. En este espacio, los vectores son matrices.
En particular (Kn x n, +, K , .) es el espacio vectorial de las matrices cuadradas, es decir,
de n filas y n columnas:
El vector nulo del espacio Kn x m se llama matriz nula; la denotaremos mediante N, y está
definida por no = O V i V j.
La matriz inversa aditiva u opuesta de A = (aij) es B, cuyo elemento genérico satisface la
relación bij = ~aij. Escribiremos B = -A.
Por definición de funciones iguales resulta A = B si y sólo si ajj = bij Vi V j.
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ESPACIO DE SUCESIONES
Ejemplo 1·4.
En R2 X 3 se consideran las matrices A y B cuyos elementos genéricos son aij ::::: 2i - j y
bi¡ = 1 - i'. Obtenemos e = A - 2B.
La expresión de e es e = A + (-2)B, Y como
A= (1 0-1)
3 2 1 /
B= (0 ° 0)
-3 -3 -3
resulta
C=(I 0-1) + (0 00) (10-1)
321 666 987
/
1. 7. ESPACIO VECTORIAL DE SUCESIONES
13
Sean: X = N Y KN el conjunto de todas las funciones de N en K. Los elementos de KN
son todas las sucesiones de elementos de K, y retomando 10 expuesto en ).4. resulta
(KN
, +, K, .) un espacio vectorial.
Las definiciones i) y ii) de lA. se interpretan ahora de la siguiente manera:
o sea
ei =(f + g)(i) =f (i) + g (i) =a¡ + bi Vi € N
c¡=(cd)(i)="f(i)="a¡ W€N
(a" a" ... , an , ... ) + (b" b" ... , bn , ... ) = (a, + b" a, + b" ... , an + bn , ... )
a(al,a2, ... ,an , ... )= (aal, 0Yl2, ... ,aan , ... )
El vector nulo es la sucesión
0= (O, 0, ... , O, ... )
Ejemplo 1·5
Sea R [Xl el conjunto de los polinomios reales en la indeterminada X. La suma en
R [Xl se define como en 12.2.2., Algebra 1, del mismo autor. El producto de escalares
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14 ESTRUCTURA DE ESPAC!O VECTORIAL. SUBESPACIOS
reales por polinomios es el habitual, o sea si a E K Y PE R , entonces a P es la
función de No en R definida por (a P) (i) = a P (i), cualquiera que sea i E No.
Res<a (R , +, R, .) el espacio vectorial de los polinomios reales en la indeterminada
X sobre el cuerpo de los números reales.
El conjunto de los polinomios reales de grado 2 no es un espacio vectorial sobre el
cuerpo de los reales, porque la suma no es una ley de composición interna en dicho
conjunto. Pero el conjunto de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y el
polinomio nulo constituye un espacio vectorial sobre R.
P
R
--------------~------------~~S
o
Q
Ejemplo 1-6
Sea S el conjunto de las funciones reales definidas en [0,1] tales que f (O) = O, es decir
S = I f: [0,1]-+ R / f (O) = O ¡
Como todo elemento de S pertenece a Rlo,l J, es S e Rlo,ll.
Considerando las leyes de composición definidas en 1.4., se verifican
Al . fE SAg ES o> feO) = O A g(O) = O o> feO) + g(l}= j", (f + g)(O) = O o> f + gES
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I
SUBESPACIOS
A. . Como la suma de funciones es asociativa en R[O,l [ , también [o es en S.
A. . La función nula es el vector nulo de S.
A. . Todo elemento de S admite un opuesto en S.
Si f e S, entonces -f e S, pues (-f) (O) = -f (O) = O.
As . Cualesquiera que sean f y g en S, se tiene
Hg=g+f
rues S e R(O.l J
A, .CieR 1 feS'*CieR 1 f(O)=O'*Cif(O)=O'*(Cif)(O)=O'*afeS
Los restantes axiomas, lo mismo que Al y As, por ser identidades en R[O,l] se
cumplen en S ya que S e R[O,ll.
En consecuencia, (S, +, R, .) es un espacio vectorial.
1.8. SUBESPACIOS
1.8.1. Concepto
15
Dados el espacio vectorial (V, +, K, .) Y el conjunto no vacío S e V, si S es un espacio
vectorial sobre e[ mismo cuerpo K y con' las mismas leyes de composición que en V, diremos
que (S, +, K, .) es un subespacio de (Y, +, K, .), o simplemente, que S es ue subespacio de
V.
Definición
S es un subespaeio de (V, +, K, .) si y sólo si (S, +, K, .) es un espacio vectorial.
Cualquiera que sea (Y, +, K, .), tanto V como ¡ O l son subespacios de V, llamados
triviales.
Ejemplo ]·7
Consideremos el espacio vectorial (R', +, R, .) Y los subconjuntos
T=¡(x,y)eR' /y=x+ Il S=¡(x,y)eR' /y=2xl
T no es un subespacio, pues el vector nulo (0,0),f' T.
En cambio, S es un subespacio de R2 ,ya que
10 (S, +) es un subgrupo de (R2
, +). En efecto, de acuerdo con la condición suficiente
demostrada en 8.4.2.,Algebra 1, del mismo autor, se verifica
(x,y)eS 1 (x',y)eS'*y=2x 1 y'=2x''*y-y'=2(x-x'),*
'* (x - x', y - y) E S '* (x, y) + (-x', -y) € S
•
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16 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
2° Respecto de la ley de composición externa consideramos
A6 .aeR A (x. y) eS '* a eR Ay=2x'*ay=2 ax '*(ax. ay)eS '*a(x.y)eS
Los axiomas A" As, A9 Y AIO , por ser igualdades en R' , se cumplen en S ya que
seR'
T
(O, 1)
De la definición se deduce que (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .) si Y sólo si
(S, +) es un subgrupo de (V, +) Y S es cerrado para el producto por escalares.
1.8.2. Condición suficiente
Si el conjunto no vacío S e V es cerrado para la suma y para el producto por escalares,
entonces (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .).
Hipótesis) (V, +, K, .) es un espacio vectorial
</J*sev
l.xeS AyeS'*x+yeS
2. a e K i X e S '* '" X e S
Tesis) (S, +, K, .) es un subespacio de (V, +, K, .)
Demostración)
10 Consideremos dos vectores cualesquiera x e y en S. De acuerdo con ]a condición 2. de
la hipótesis, por 1.3.4. y por la condición l. de la hipótesis. se tiene
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r SUBESPACIOS
17
xeSAyeS=> xeSA (-i)yeS=> xeS A-yeS => x + (-y)eS
En consecuencia,(S, +) es un subgmpo de (V, +).
2° S es cerrado para el producto por escalares, de acuerdo con la condición 2. de la
hipótesis.
La aplicación del teorema demostrado es esencial para determinar si un conjunto S es un
subespacio de (V, +, K, .). Para que lo sea, deben verificarse las condiciones que figuran en la
hipótesis del mismo, a saber:
1. S*<P
2. SCV
3. xeS AyeS=>x+yeS
4. O< e K A X e S => O< X e S
Estas condiciones son, además, necesarias. Es decir, sabiendo que S es un subespacio, son
proposiciones verdaderas.
Ejemplo 1-8
Sean: el espacio vectorial (R3
, +, R, .), Y el conjunto S de las ternas ordenadas de R
tales que la tercera componente es igual a la suma de las dos primeras.
O sea
S= !(x¡,xz,x3)eR3 IX3 =X¡ +x,!
Afinnamos que S es un subespacio de R3 ,pues
1. (I, 2, 3) e S => S * <P
2. S e R3 por la definición de S.
3. (x¡,x"x3)eS A(y¡,yz,Y,)€S=>X3=X¡ +x, AY,=y¡ +y,=>
=>X3 +y, =(x¡ +y¡)+(xz +y,)=>(x¡ +y¡,XZ +Y"X3 +Y3)eS=>
=> (x¡, Xz, X3) + (y¡, Yz, Y3) e S
Hemos aplicado sucesivamente: la definición de S, la adición en R, la definición de S y
la definición de suma de ternas.
4. o<eR A (x¡,x"x3)eS=>o<eR AX3 =X¡ +X2 =>
'*Cl:X3 ;:::XI +aX2 =>(aXI,O:X2,O:X3)eS:::}OXl,X2,X3)€S
Por definición de S, multiplicación en R, definición de S y la definición de producto
de escalares por ternas,
Al subespacio S pertenecen las ternas (x ¡, x z, x 3) e R3 que satisfacen la condición
Esta ecuación define un plano que pasa por el origen.
I
I
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18 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECl'ORIAL. SUBESPACIOS
Ejemplo 1-9
Considerando el espacio vectorial de las funciones reales definidas en [0,1 J, que
denotamos medíante (R1
, +, R, .), sean los subconjuntos
1. S=!f€R1/!(0)=0)
2. S = ¡ f € R1/f(0) = 1 )
En el caso l. se tiene un subespacio de R1
, como fue tratado en detalle en el ejemplo
1·6. Independientemente del análisis realizado en el ejemplo citado, se llega a la
misma conclusÍón aplicando el teorema demostrado, pero en forma más simple.
En cuanto al caso 2., S no es un subespacio, pues no es cerrado para la suma. En
efecto, las funciones f y g de I en R definidas por
f(x)=x+ 1
satisfacen las condiciones
feO) = 1 g(O) = 1
o sea, son elementos de S. Pero la suma f + g está definida por
(f + g)(x) = f(x) + g(x) =x' + x + 2
Y no pertenece a S, ya que
(f+ g)(O) = 2
Ejemplo 1-10
Dado el espacio vectorial (R4
, +, R, .) consideramos
S= ¡ (x¡,x"x"x4)€R4 /x¡ +x, +x, +x4=d
Se verifica que
1. S "" <1>, pues (J , O, O, O) € S
2. S e R4 por la definición de S
3. S no es cerrado para la suma ya que
(I,I,-I,O)€S 1 {l,I,--I,O)€Spero
(1, 1, -1, O) + (1, 1, -1, O) = (2,2, -2, O),t S
En consecuencia, S no es un sub espacio. Por otra parte, el vector nulo no pertenece a
S, y esto basta para que no sea un sub espacio.
Ejemplo 1-11.
Sea (Rnxn
, +, R,.) el espacio veqtorial de las matrices cuadradas reales de n mas y n
columnas.
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SUBESPACIOS
Si A e Rn xn escribimos
al1 a12 al n
021 a22 a2 n
A~
Por definición, traza ,de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su
diagonal. la notación es
El conjunto
n
tr A=au +a22 + ... +ann ::::: ,L all
1=1
S= IAeRnxn /trA~O l
es el conjunto de las matrices de traza nula de Rnxn , y cortstituye un subespacio, pues
se verifica:
1. S '* <p, pues la matriz nula N es de traza nula, y en consecuencia es u'n elemento
de S.
2. S e Rnxn por definición de S.
3. S es cerrado para la adición.
Sean A y B dos matrices cualesquiera de S. Entonces
n n
AeSABeS=>trA~OAtrB~O=>L a .. =OAL b··=O=>
j=l 11 i=l 11
n n n
=>L a"+L b .. ~O=>L (a .. +blil~O=>
i=l 11 i=l' u i=l 11
=> tr (A + Bl = O => A + B e S
4. S es cerrado para el producto por escalares. En efecto
n n
=>exL a .. ~O=>L exa .. =O=>tr(exAl=O=>exAeS
i=l 11 i=l 11
Ejemplo /-12.
Consideremos S = I (Xl. X2) € R2fxl ;::::X2 I e investiguemos si S es un subespacio de
(R2
, +, R, .l.
Se ve de inmediato que no se verifica A4 , pues no todo elemento de S admite
opuesto en S. Así
(O, -ll e S pero (O, I).e'S
19
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20 ESTRUCTURA DI' ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Analizando la situación en términos de la condición suficiente demostrada, se verifica:
1. S *'" 2. S e R2
3. S es cerrado para la suma.
(x"x2)eSA(y"Y2)eS=>x, ;'X2AY, ;'y, =>
=>x, +y, ;'x, +y, =>(x, +y"X2 +Yz)eS=>(x"x,)+(Y"Y2)eS
Pero S no es cerrado para el producto por escalares, como 10 demuestra el siguiente
ejemplo:
(2,1) e S A( -2) (2,1) = (-4, -2),e'S
En consecuencia, S no es un subespacio de R2 .
1.9. OPERACIONES CON SUBESPACIOS
1.9.1. Intersección de subespacios
Sea I Si lean ¡el una familia de subespacios de (V, +, K, .). Denotaremos con S la
intersección de dicha familia, o sea, S = n Si. Resulta S un subespacio de V.
j é 1
Teorema. La intersección de toda familia de subespacios de V, es un sub espacio de V.
Hipótesis) (V, +, K,.) es un espacio vectorial
{Si} con i E 1 es una familia de subespacios de V .
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Tesis)
INTERSECCION DE SUBESPACIOS
s = n Si es un subespacio de Y. ,,1
Demostración) De acuerdo con la condición suficiente 1.8.2. se verifica
1. S no es vacío, pues
o € Si , ti el => O € n Si =>
.EI
Por ser cada Si un subespacio y por definición de intersección.
2. S está incluido en Y, ya que
Si e Y , ti € 1 => n Si e Y => S e Y
" I
21
Por ser cada Si un subespacio de V y porque la intersección de toda familia de
subconjuntos de Y es una parte de éste.
3. S es cerrado para la suma. En efecto
X € S A Y € S => X € n Si A Y € n Si =>
¡el iEl
=> X € Si A Y € Si, ti € r => X + Y € Si, Vi el =>
=> X + Y € n S· => X + Y € S
¡El I
Por definición de intersección, y porque todo Si es un subespacio.
4. S es cerrado para el producto por escalares.
Consideremos" € K Y X € S. Ahora bien
Ejemplo 1-/3
,,€ KA X € S=>" € K A X € n Si =>
iEl
=>aEKA XES¡, VieI=>Q'x€S¡, VieI=>
=>" X € nSi =>" X € S
¡él
En (R3
, +, R,.) consideramos los subespacios
S¡ =!(x¡,x2,x,)€R'/x, =0) S2 =!Cx¡,x2,x,)€R'/x¡ =0)
La intersección de estos es
S=S¡ ro S2 =1 (x¡, X2, x,) €R'/x¡ =0 AX, =0)
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22 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
. Esto significa que un vector genérico de 5 es una terna del tipo (O,X"O) que puede
expresarse mediante (O, a, O) para algún a en R.
Entonces
5 = I (O, a, O) e R3¡a e R 1
o sea, 5 es el eje X2
52
X,4C ___ --____________ -'
5ubespacios de R' son: R', 101, todas las rectas que pasan por el origen y todos los
planos que pasan por dicho punto. Dos rectas distintas que pasan por el origen son
subespacios cuya intersección es el vector nulo, y se llam• an disjuntos.
1.9.2. Unión de subespacios
Si 81 Y S2 son dos subespacios de (V, +, K, .), entonces SI U 821 no es necesariamente un
subespacio de V, como lo prueba el siguiente ejemplo:
Consideremos en (R2, +, R,.) los subespacios S, y 52 de la figura
s,
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SUMA DE SUBESPACIOS 23
La unión de ambos es el par de rectas, y eligiendo x e S" y e S" distintos del vector nulo,
se tiene
pero
xeS, =>xeS, US,
yeS, =>yeS, US,
x+y/S, US,
1.9.3. Suma de subespacios
Sean S, Y S, dos subespacios de (Y, +, K, .). Definimos el conjunto
S = I x e Y / x = x, + x, A x, e S, A x, e S, I
o sea
s = I x e Y / 3 x, e S, A 3 x, e S, A X = x, + x,l
El conjunto S se llama suma de los sub espacios S, Y S, Y se indica
S = S, + S,
Teorema. La suma de dos subespacios de Y es un subespacio de Y.
Hipótesis) S, y S, son dos subespacios de (Y, +, K, .)
S = S, + S,
Tesis) (S, +, K, .) es un subespacio de (Y, +, K, .)
Demostración) Se verifican las condiciones expuestas en 1.8.2., a saber
1. S es no vacío, pues
OeS, AOeS, =>O+O=OeS, +S, =>OeS =>S*tfJ
2. S es una parte de Y, por la definición de S.
3. S es cerrado para la suma, ya que
xeSAyeS=>x=x, +X,AY=y, +y,Ax"y, eS,Ax"y, eS, =>
=>x +y =(x, +y,) + (x, +y,)AX, + y, eS,Ax, + y, eS, =>
=>x+yeS
4. S es cerrado para el producto por escalares, porque
fr€KAX€S=>a.€K!x=x¡ +X'2tX¡ eS¡Ax2 eS2 =>
=>ax=a:xI +ax2Aaxf eS1Aax2 eS2 =>axeS
Por consiguiente, la suma de subespacios es un subespacio.
Un caso particular importante se presenta cuando los subespacios SI y S2 son disjuntos,
es decir, si S, () S, = 101 . En esta situación, el subespacio S = S, + S, recibe el nombre de
suma directa de S, Y S, , Y se utiliza la notación
S=S,9lS,
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24 ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
Sintetizamos esto en la siguiente definición
Ejemplo l· I4
Consideremos primero los subespacios de R'
El subespacio suma S = S, + S2 está formado por todas las ternas del tipo
(ex, W + {3", 7) = (ex, {3, 7)
y es R'. Ambos subespacios son los planos indicados en la figura, y como su
intersección es el eje X2, la suma S = SI + S2 ::::; R3 no es directa.
S2
En cambio, si
S, =¡(ex,ü,ü)/exeRI y S2=!(ü,{3,ü)/{3eRI
se tiene
o sea, la suma es directa y se identifica con el plano horizontal
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OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS 25
S2
Extendemos la definición de suma de subespacios al caso en que n > 2.
Definición
Suma de los subespacios SI' S2, ... , Sn de (V, +, K, .) es el conjunto
n n
S =i~' Si = ¡ x e V/x =i~' X, A Xi e Si, Vi = 1,2, .. " n 1
n
Resulta S =:E Si un subespacio de (V, +, K, .).
i=1
Además, si tales subespacios son disjuntos dos a dos, o sea
entonces diremos que S es la suma directa de ellos, y escribiremos
Ejemplo 1-15
Sean S, T Y U subespacios de (V, +, K, .), tales que Tes. Entonces se verifica que
S n (T + U) = T + (S n U)
1°. xesn(T+U)=>xeSAxeT+U=>
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26
o sea
Luego
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL. SUBESPACIOS
~X€SAX=:Xl +X2AXl €TAX2 fU=>
=>(Xl +X2 eSAXI eS)AX2 eVAXI eT=>
=>Xl eTAX2 eSAX2 eV=>
=>Xl ETAX2 e S (1 V =>Xl + X2 ET + (S (1 V) =>
=> x E T + (S (1 V)
S (1 (T + V) e T + (S (1 V) (1)
=>Xl eTAXz eSAX2 fU =>
::}Xt eTAxl eSAX2 eSAX2 fU=>
=>Xl +X2 eSAXI +X2 ET+V=>
=> Xl + X2 E S (1 (T + U) => X e S n (T + V)
T + (S n V) e S n (T + V) (2)
De (1) y (2) resulta la igualdad.
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TRABAJO PRACTICO I
1-16. Determinar si las cuaternas que se indican denotan espacios vectoriales con las
operaciones que se indican
i) (R,+,Q,.)
ii) (Q, X3)+0'¡,Y"y,)]=[(x¡ +y¡,X2
Multi