Integrales definidas: calculando áreas

La integral definida 1. Introducción Dada una función de una variable, f, definida, al menos, sobre el intervalo [a, b] de los reales, llamamos integral definida de f entre a y b a donde F es una primitiva de f, es decir, la derivada de F es f. 2. Función positiva Supongamos que f está definida sobre el intervalo [a, b] y que es positiva, es decir, f(x) > 0 (en realidad, no importa si es igual a 0 en algunos puntos). Esto quiere decir que la gráfica de la función f en dicho intervalo está sobre el eje de las abscisas (el eje OX). En este caso, la integral definida de f entre a y b representa el área encerrada entre la gráfica de f y el eje de las abscisas. Veamos un ejemplo: Sea f(x) = x^2 (x al cuadrado). Esta función es positiva en el intervalo [0, 1] y su gráfica es el área coloreada de amarillo es 3. Función negativa Si la función es negativa, f(x) < 0 (puede valer 0 en algunos puntos), la integral definida proporciona un valor negativo. Sin embargo, si le cambiamos el signo al resultado, tenemos el área de la región entre la gráfica f y el eje de las abscisas (esta región está ahora bajo el eje OX). Por ejemplo, calculamos el área de f(x) = -x^2 (menos x al cuadrado) en el intervalo [0, 1] puesto que la función es negativa, tenemos que calcular el valor absoluto (cambiar el signo al resultado). El área es: Obviamente, obtenemos el mismo resultado que en el ejemplo anterior ya que se trata de la misma región al aplicarle una simetría respecto del eje OX. 4. Función de signo variable Probablemente, lo más habitual es que el signo de la función no sea constante, sino que en algunos intervalos sea positivo y en otros negativo. Cuando esto ocurre, lo que hacemos es calcular el área de la región en cada intervalo donde el signo se mantiene constante. En aquellos en los que la función es negativa, cambiamos el signo del resultado. Veamos un ejemplo: calculamos el área que determina la gráfica de la función en el intervalo [-1, 1]: Esta función es positiva en el intervalo [-1, 0] y negativa en [0, 1]. Para calcular el área total, sumamos las áreas de ambos intervalos: La integral definida en cada intervalo es: El área total será Directamente hemos sumado los resultados con valor absoluto. 5. Área entre las gráficas de dos funciones Supongamos ahora que tenemos dos funciones positivas, f y g, en un intervalo [a, b]. Para que sea más fácil de comprender, podemos suponer también que f(x) > g(x) (puede ser signo mayor o igual) en dicho intervalo, es decir, la gráfica de f está por encima de la de g en dicho intervalo. Un ejemplo de esta situación lo tenemos con las funciones f(x) = x y g(x) = x^2 en el intervalo [0, 1] Si nos fijamos, el área comprendida entre ambas gráficas es exactamente la misma región que la que hay entre la gráfica de f y el eje de abscisas menos la que hay entre la gráfica de g y el eje de abscisas. Esta forma de ver la región ya nos proporciona una forma de calcular su área: restar sus integrales definidas, esto es, obteniendo como resultado 1/2 - 1/3 = 1/6. En realidad, en este caso podemos calcular el área directamente si aplicamos la propiedad de la suma de integrales definidas: 6. Área entre las gráficas de dos funciones: caso general El caso anterior es muy restrictivo. Generalmente, las dos funciones pueden ser positivas o negativas en intervalos distintos, o bien, estar o no una gráfica por encima de la otra en determinados intervalos. En estos casos, al igual que en hacemos en las funciones con signo variable, dividimos el problema en problemas más pequeños: vamos calculando las áreas en cada intervalo y finalmente, sumamos todos los resultados. Por ejemplo, en el ejercicio 13 de esta página de ejercicios, tenemos las funciones y queremos calcular el área comprendida entre ambas gráficas. La región es la azul: Notemos que en toda la región la gráfica de g está por encima que la de f, pero cuando x < a, ambas funciones son positivas; entre a y b, f es negativa y g es positiva; en el último intervalo, ambas son negativas. En este ejercicio tenemos que calcular a y b para poder calcular las distintas integrales definidas. 7. Más ejemplos o ejercicios resueltos En este enlace podemos encontrar ejemplos de cálculo de áreas mediante integrales definidas. 8. Un caso especial: la integral impropia de Riemann: intervalos no acotados Consideremos la función Cuya gráfica es la región azul corresponde al área bajo la gráfica de f en el intervalo [1, +infinito]. Esto es, la integral impropia Lo que hacemos para calcular esta integral es cambiar el extremo infinito por un parámetro, en nuestro caso lo hemos llamado u. Luego, si es posible, calculamos el límite del resultado haciendo tender a u al infinito No siempre es posible hacer esto (la función ha de ser integrable impropia Riemann) ya que no todas las regiones encierran un área finita y, por tanto, su área es infinita. En nuestro ejemplo, si ampliamos el intervalo al intervalo [0, +infinito] ya no podemos calcular el área porque ésta es infinita.