Este post vamos a ver cómo se suman y se multiplican las matrices.
Lo primero que diremos con la intención de que lo aprendamos cuanto antes es
Suma de matrices
La suma de matrices es fácil de calcular y exige que las matrices que se suman tengan la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas).
La suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.
Ejemplo:
Antes de ver el producto de dos matrices veamos el producto de un número por una matriz:
El producto de un número α por una matriz A es la matriz que resulta al multiplicar por α todos los números de A. Este producto sí es conmutativo.
Ejemplo: (producto por un número y suma)
Producto de matrices
El producto de matrices es un poco más complicado de calcular. Si se quiere multiplicar la matriz A por la matriz B, el número de columnas de A tiene que coincidir con el número de filas de B.
El resultado del producto A·B es una matriz que tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.
Observad que
Veamos cómo se calcula:
Supongamos que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Entonces, el elemento de la fila i y columna j de la matriz A·B es el producto de la fila i de A por la columna j de B.
Este producto de fila por columna se calcula igual que el producto escalar de los vectores. Por ejemplo, si la fila i de A es (1,2,3) y la columna j de B es (4,5,6), el producto de ambas es
(1,2,3)·(4,5,6) = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32
Ejemplo 1: producto de dos matrices cuadradas de dimensión 2
La matriz A·B tiene dimensión 2x2.
Ejemplo 2: producto de dos matrices rectangulares
La matriz A·B tiene dimensión 2x2.
Ejemplo 3: producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3
La matriz A·B tiene dimensión 3x3.
Más información:
Lo primero que diremos con la intención de que lo aprendamos cuanto antes es
- La suma de matrices es conmutativa: A+B = B+A
- El producto de matrices no es conmutativa: casi nunca se cumple A·B = B·A
Suma de matrices
La suma de matrices es fácil de calcular y exige que las matrices que se suman tengan la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas).
La suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.
Ejemplo:
Antes de ver el producto de dos matrices veamos el producto de un número por una matriz:
El producto de un número α por una matriz A es la matriz que resulta al multiplicar por α todos los números de A. Este producto sí es conmutativo.
Ejemplo: (producto por un número y suma)
Producto de matrices
El producto de matrices es un poco más complicado de calcular. Si se quiere multiplicar la matriz A por la matriz B, el número de columnas de A tiene que coincidir con el número de filas de B.
El resultado del producto A·B es una matriz que tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B.
Observad que
- Si A y B son cuadradas, se puede calcular el producto A·B y el producto B·A
- Si A y B no son cuadradas y se puede calcular el producto A·B, entonces no se puede calcular el producto B·A.
- Teniendo en cuenta el punto anterior, tiene sentido que casi nunca se dé la conmutatividad en el producto de matrices.
Veamos cómo se calcula:
Supongamos que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Entonces, el elemento de la fila i y columna j de la matriz A·B es el producto de la fila i de A por la columna j de B.
Este producto de fila por columna se calcula igual que el producto escalar de los vectores. Por ejemplo, si la fila i de A es (1,2,3) y la columna j de B es (4,5,6), el producto de ambas es
(1,2,3)·(4,5,6) = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32
Ejemplo 1: producto de dos matrices cuadradas de dimensión 2
La matriz A·B tiene dimensión 2x2.
Ejemplo 2: producto de dos matrices rectangulares
La matriz A·B tiene dimensión 2x2.
Ejemplo 3: producto de dos matrices cuadradas de dimensión 3
La matriz A·B tiene dimensión 3x3.
Más información:
- Suma de matrices (ejemplos)
- Producto de matrices (ejemplos)
- Potencias de matrices
- Determinantes de matrices
- Inversa de matrices
- Álgebra Matricial