¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial? En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir: Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema: ¿Cuánto vale ? Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?. Muchos dirían: es indeterminado. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación , sino que queremos saber cuál es el valor del número (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número). ¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para darle un valor?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación , pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: "X" elevado a "x". Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución: Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos "x" como 1/x al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital en el paso *: Tenemos entonces que log A = 0. Por tanto A = 1 Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es: Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n . (n - 1) . (n - 2). Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento: Por tanto: