A pensar un poco [Parte 2]

---- SI NO TENES GANAS DE LEER ANDA A OPTIMIZACION DIRECTAMENTE ----



Buenas taringueros!, despues de haber visto la cantidad de puntos que recibí en el último post, me decidí a hacer el segundo, y esta vez, voy a explicar algunos conceptos de matemática que seguramente a más de uno le complicó la vida durante el secundario y/o universidad. En este post voy a explicar las famosas derivadas y sus aplicaciones. Obviamente, voy a saltear algunos teoremas, primero porque no sirven para los que les voy a explicar y segundo porque el post se haria tremendamente extenso y además arduo de explicar.

Recomiendo que si no te llevas muy buen con la matemática, que vayas despacio, son conceptos que hay que entender y lleva un poco de tiempo

¿Que és una función?

Antes que nada, voy a explicar esta idea, que aunque es muy básico, para algunos es difícil de entender.

En una función tenemos dos conjuntos de elementos, uno de salida y otro de llegada, que se relacionan por medio de una fórmula.



Bien, ese concepto es fácil, pero lo que muchos no entienden es a que le llamamos dominio.
El dominio de una función es el conjunto de elementos del conjunto de salida, donde aca elemento le corresponde una solucíon. ¿Eh?¿Que dijo?, para hacertelo mas fácil veamos un ejemplo.
Supongamos que mi conjunto de salida es el conjunto de todos los números reales, y la fórmula con la cual se relacionan el conjunto de salida y el de llegada es F(x)=1/x . Bien, en esta fórmula, la "x" puede ser reemplazada por cualquier número, excepto el 0, ya que 1/0 no existe. Entonces el dominio de esta funcion serian todos los reales excepto el 0 (R-{0}). En resumen, el dominio de una funcion, es el conjunto donde la funcón existe.



El codominio, la verdad no tiene mucho sentido explicarlo, y de todas formas, sus propiedades no nos sirven demasiado para explicar las derivadas.




En fin, vamos a lo que nos importa. Antes que nada, vamos a decir que una función es derivable en "a" (o "x", como les guste llamarlo) si existe este limite:





Representacion gráfica:





De este límite se puede calcular la "tabla de derivadas" que no es mas que una lista de las derivadas de las funciones elementales (x^2, log(x), 1/x, etc...). No voy a demostrar cada una, simplemente les voy a dar la tabla (confien, esta hecha hace muchisimos años y todavía nadie se quejó jajajaj)





Bien, terminamos con los conceptos mas dificiles, ahora se pone mucho más simple el tema.
Todavía te estaras preguntando, "¿Y al final que es una derivada?", bueno, la derivada en un punto se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a ese punto. En castellano, es la inclinacion de la recta que toca en 1 solo punto a la funcion que estemos derivando. Les pongo una imagen asi se entiende mejor.



Una de las caracterisitas de las derivadas es que conociendolas (y conociendo la derivada 2da) podemos graficar la funcíon completa, sin necesidad de calcular punto por punto. La derivada 1ra nos dice los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcion, y además donde hay maximos o minimos(puntos mas "altos" o mas "bajos" de la funcion) relativos (para que sean absolutos hay que demostrarlos). La derivada segunda nos dice si la funcion es concava o convexa, y nos dice los puntos de inflexion(donde cambia la concavidad) relativos(al igual que los maximos y minimos hay que demostrarlos).







Si la derivada primera es menor a 0 entonces la funcion es decreciente, si es igual a 0 hay un maximo o minimo relativo, y si es mayor a 0, la funcion es creciente. Para demostrar que hay un maximo o minimo, basta con calcular un valor cualquera a ambos lados del punto donde la derivada es cero. De esta manera si a la izquierda es menor a cero, y a la derecha mayor a 0, hay un minimo (decrece y luego crece), en cambio si a derecha es mayor a 0 y a izquierda es menor a 0 hay un maximo (crece y luego decrece). En caso de que ambos lados sean iguales, la funcion no tiene ni maximo ni minimo.




(Miren como cambia la concavidad cuando la derivada 2da es = 0 )



Con la derivada segunda es exactamente lo mismo, si la derivada es menor a 0, entonces es concava, si es mayor a 0 es convexa y si es igual a cero entonces hay un posible punto de inflexión que debe ser demostrado, de la misma manera que demostramos los maximos y minimos.



Optimización

Este es el tipo de problema donde a mi criterio, las derivadas son más utiles. ¿Que es un problema de optimizacion?, la palabra lo dice, se busca optimizar alguna medida, volumen, tiempo, etc. Por ejemplo, si tenemos un cilindrio con una base con radio "x", calcular cuando debe valer el radio para que el volumen del cilindro sea maximo.

Vamos con un ejemplo bien fácil

"En un recángulo con 36 cm de perímetro, se busca encontrar el rectángulo con la diagonal de menor longitud"







Primero y principal, tenemos que identificar que es lo que sabemos. Por ejemplo, sabemos que
D=[(x^2)+(y^2)]^(1/2) (por pitágoras). y ademas sabemos que 2x+2y=36. Recordemos que si tenemos 2 variables, para poder despejar las 2, necesito al menos 2 ecuaciones. Como ya las tengo, comienzo a trabajar con la del perimetro

2x+2y=36

2(x+y)=36

x+y=18

x=18-y (sabemos que x es mayor a 0 por ser una longitud y porque si es igual a 0, no tendriamos rectangulo alguno, entonces "y" va a ser menor a 18)

ya tenemos "x", asi que la reemplazamos en la funcion de la diagonal, que es la que nos interesa.





Una vez que tenemos la funcion con una sola variable, pasamos a derivarla para buscar el mínimo (recordemos que tenemos que buscar la menor longitud de la diagonal) (perdonen que derive tan de repente, solo hay que usar la regla de la cadena, si algun dia necesitan aplicarla seguro se la habran explicado antes, asi que no se preocupen, es un detalle menor y para darle velocidad al post (? jaja).





Luego de igualar a 0 para buscar un minimo, tenemos que y=9, entonces buscamos "x"



Finalmente tenemos que el rectangulo de perimetro 36 con la diagonal de menor longitud es el cuadrado de 9x9

Este es un tipico ejercicio de optimización, pero como dije antes, en realidad sirve más para calcular volumenes, tiempos, distancias, etc.

Bueno gente, espero que les haya gustado el post, espero que esto les sirva en algún momento de su vida, o por lo menos, que les sirva a ustedes mismos para aprender un poco mas.


Si te gusto el post, no te podes perder la primer parte

Saludos a todos! comenten y recomienden!