1. Concepto
La función f es derivable en el punto a de su dominio si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor le llamaremos derivada de f en a, f '(a):
Ejemplo: derivada de la función constante f(x) = c:
Por tanto, la derivada de una constante es 0.
2. Propiedades teóricas y Reglas de derivación
Tabla de derivadas elementales (en PDF)
Regla de la Cadena
Esta regla se utiliza para derivar composiciones de funciones:
Ejemplos: Cálculo de derivadas aplicando la Regla de la Cadena
3. Extremos de Funciones (máximos y mínimos)
Criterio de la primera derivada
Demostración: Demostración del criterio de la primera derivada
Ejmplo:
Vamos a calcular los extremos de la función
La derivada de la función es
Buscamos los puntos que anulan la derivada
Este punto crítico nos proporciona la partición siguiente del dominio de la función
Puesto que el signo de la derivada se mantiene constante en estos intervalos, escogemos cualquier punto de cada uno de los intervalos y calculamos su imagen para ver el signo:
Gráfica:
Más Ejemplos: Ejemplos de la búsqueda de extremos de funciones de una variable real .
Criterio de la segunda derivada:
Si a es un punto con f ' (a) = 0 (es decir, a es un punto crítico) y f admite segunda derivada en a :
Referencias y temas relacionados:
La función f es derivable en el punto a de su dominio si existe el siguiente límite y, en tal caso, a su valor le llamaremos derivada de f en a, f '(a):
Ejemplo: derivada de la función constante f(x) = c:
Por tanto, la derivada de una constante es 0.
2. Propiedades teóricas y Reglas de derivación
- Si f es derivable en el punto a, entonces f es continua en dicho punto.
- Derivada de la suma: la derivada de f+g es la suma de las derivadas f' +g'
- Sean f derivable en a y k una constante, entonces
- Derivada del producto
- Derivada del cociente
Tabla de derivadas elementales (en PDF)
Regla de la Cadena
Esta regla se utiliza para derivar composiciones de funciones:
Ejemplos: Cálculo de derivadas aplicando la Regla de la Cadena
3. Extremos de Funciones (máximos y mínimos)
Criterio de la primera derivada
- Si f ' (a) > 0, entonces f es creciente en a. Esto significa que existe un entorno de a para cuyos valores f es creciente.
- Si f ' (a) < 0, f es decreciente en a.
- Si f ' (a) = 0, decimos que a es un punto crítico, esto es, a es un posible extremo (local o relativo).
Demostración: Demostración del criterio de la primera derivada
Ejmplo:
Vamos a calcular los extremos de la función
La derivada de la función es
Buscamos los puntos que anulan la derivada
Este punto crítico nos proporciona la partición siguiente del dominio de la función
Puesto que el signo de la derivada se mantiene constante en estos intervalos, escogemos cualquier punto de cada uno de los intervalos y calculamos su imagen para ver el signo:
Gráfica:
Más Ejemplos: Ejemplos de la búsqueda de extremos de funciones de una variable real .
Criterio de la segunda derivada:
Si a es un punto con f ' (a) = 0 (es decir, a es un punto crítico) y f admite segunda derivada en a :
- Si f '' (a) > 0, el punto a es un máximo (local).
- Si f '' (a) < 0, el punto a es un mínimo (local)
- Si f '' (a) = 0, el punto a es un punto de inflexión (punto donde cambia la monotonía).
Referencias y temas relacionados: