Seguramente habrás escuchado sobre fractales y visto además bellas imágenes como estas,
,
pero... ¿tenés una idea de lo que es realmente? (obviamente este post está dirigido para aquellos que no sepan matemáticas).
En este post vamos a ver qué es el "fractal de Mandelbrot". Primero tenemos que ver qué son los números complejos.
Un número real es, valga la redundancia, un número que pertenece a la famosa recta real (1, 3.5, raíz de 2, pi, 3/4, etc) (por supuesto que esta es una definición intuitiva, formalmente se los define utilizando el método de las cortaduras de Dedekind). Denotaremos a los números reales como R. Definimos el producto cartesiano, XxY, de dos conjuntos X e Y como el conjunto compuesto por todos los pares ordenados (x, y), donde x pertenece a X e y pertenece a Y. Es decir,
Ahora tomemos el conjunto R^2 = R x R=:{(a, b) / a y b sean números reales}.
Si tomamos dos elementos de R^2, (a, b) y (c, d), y definimos las operaciones suma, "+", y producto, ".", entre los mencionados elementos respectivamente como
y
(donde en los segundos miembros se utilizan la suma y producto de los reales) ,
entonces R^2 con estas operaciones adquiere la estructura de "campo" o "cuerpo" (los números reales con las operaciones de suma y producto usuales también forman un cuerpo) y se denota C, cada elemento de C se denomina "número complejo" y generalmente se denota a todo el par ordenado (a, b) por una letra Z simplemente, por ejemplo (es decir Z=(a, b)). Intuitivamente, si el conjunto C es un cuerpo bajo las operaciones +, "suma", y ".", producto, esto implica: en primer lugar, cualquiera de los dos números complejos se pueden sumar y multiplicar para obtener otro número complejo; en segundo lugar, para cualquier número complejo Z, su negativo -Z es también un número complejo, y tercero, todo número complejo distinto de cero tiene un número complejo de reciprocidad (el inverso en la división). Además, estas operaciones cumplen una serie de leyes, por ejemplo la ley de la conmutatividad de la adición y la multiplicación de dos números complejos Z1 y Z2:
y 
Como los complejos son un par ordenado de números reales, (x, y), entonces podemos representar gráficamente a un número complejo como un punto de coordenadas cartesianas x e y en un plano, el famoso "plano complejo":
Y es aquí donde la cosa se comienza a poner interesante. Antes que nada tenemos que definir "el módulo de un número complejo Z",|Z|, que básicamente es la longitud, r, de la recta que une al punto de coordenadas x e y del plano con el origen: usamos simplemente el teorema de Pitágoras...
Ahora tomemos cualquier punto del plano complejo K=(k1, k2) y calculemos los valores de la sucesión {Zn}, donde Zn=(Zn-1).(Zn-1) + K, para todo n, entero, mayor o igual que 1 y con Zn=o =(0, 0). Entonces la sucesión, infinita, desarrollada sería de la forma:
(Acordate que K.K+K=(k1^2 - k2^2 + k1, 2.k1.k2 + k2), imaginate la monstruosidad algebraica que van a ir quedando los demás términos si ese que puse era apenas el tercero...)
Si para el K inicial que elegimos, el módulo |Zn| no diverge cuando n se acerca a infinito, entonces marcamos al punto K del plano complejo como un punto negro. Si por el contrario |Zn| diverge, lo marcamos a K como un punto blanco. El subconjunto de números complejos para los cuales ocurre lo primero se denomina "conjunto de Mandelbrot" y la gráfica de este conjunto en el plano complejo se denomina "fractal de Mandelbrot"... y tiene esta forma:
El fractal de Mandelbrot fue descubierto por Benoît Mandelbrot a fines de la década de 1970. ¿Por qué tan tarde?, como habrás visto, para saber si un punto K está o no en el conjunto de Mandelbrot hay que realizar unos cálculos que representan un desafío algebraico formidable: fue recién cuando surgieron las computadoras que estos cálculos se pudieron hacer; claro, ellas, las computadoras, los hacen, jajaja. Básicamente comienzan a calcular los valores de la sucesión y cuando se van cumpliendo ciertos criterios que indican que la sucesión va a converger o no, entonces para y colorea el punto de acuerdo a si pertenece al conjunto de Mandelbrot o no.
¿Pero qué hace a los fractales tan "especiales"?, lo que pasa es que tienen una serie de propiedades muy características y extrañas que los hacen entidades geométricas únicas y totalmente fascinantes. La propiedades típicas son:
1-Tienen una estructura infinitamente compleja y rica. Es decir, podemos ampliar sucesivamente una parte de la frontera del fractal y continuamente aparecen nuevas estructuras:
(Loco, ¿no?)
2-Es demasiado irregular como para ser descrito con alguna fórmula de geometría analítica (el círculo de radio unitario, por ejemplo, consiste en los puntos x e y del plano R^2 tales que x^2+y^2=1, esta es una fórmula de geometría analítica)
3-Es autosimilar o autoreplicante. Es decir, a medida que vamos haciendo "zoom" en el fractal, algunas formas vuelven a aparecer de nuevo, aunque con ligeras variaciones:
Esto es todo, saludos.
Nueva entrada: como para dar por cerrado el tema de los números complejos, es conveniente ver una última propiedad. Consideremos el subconjunto C1 de C, donde sus elementos sean siempre de la forma Z=(x, 0). Con las propiedades de suma y producto de complejos, si Z1=(a, 0) y Z2=(b, 0), entonces Z1+Z2=(a+b, 0) y Z1.Z2=(a.b, 0). Es decir que C1 con estas operaciones también será un cuerpo, ya que Z1+Z2 y Z1.Z2 pertenecen a C1 (en realidad hay que demostrarlo, pero lo anterior muestra que es casi seguro). Si tomamos un mapa F de la forma F: C1 -> R, donde F(Z)=F((x, 0))=x (claramente F es biyectivo). Vemos cuánto es F(Z1+Z2):
F(Z1+Z2)=F((a+b, 0))=a+b=F((a, 0))+F((b, 0))=F(Z1)+F(Z2).
Vemos ahora cuánto es F(Z1.Z2):
F(Z1.Z2)=F((a.b, 0))=a.b=F((a, 0)).F((b, 0))=F(Z1).F(Z2).
Es decir que F establece un isomorfismo entre los cuerpos R y C1. Intuitivamente, cuando dos estructuras algebraicas son isomorfas, entonces son "equivalentes" desde el punto de vista algebraico. De esta forma, como C1 es un subconjunto de C, podemos decir que, en cierta forma, C "contiene" a R. Es por esto que a los números complejos de la forma (x, 0) se los denominan "complejos reales puros" y a los de la forma (0, y), que pertenece a C - C1, "complejos imaginarios puros).
Seguramente habrás escuchado que con los complejos se pueden resolver ecuaciones de la forma
x^2+1=0.
Obviamente que si nos restringimos a x únicamente real, entonces la ecuación anterior no tiene solución, ya que esta solución sería x=raíz (-1), que no es un número real que exista. Tomemos la ecuación anterior, definida en términos de la suma y producto real y apliquemos el isomorfismo inverso F^-1. Entonces resulta:
x^2+1=0 => F^-1(x^2+1)=F^-1(0) => (x, 0).(x, 0) + (1, 0) = (0, 0), que es un ecuación, pero ahora intervienen las operaciones de suma y producto de complejos. La forma genérica de esta ecuación sería
Z.Z + (1, 0) = (0, 0)
Claramente si restringimos Z como perteneciente a C1, entonces no habrá solución, porque esto implicaría que existe una solución real para la ecuación real asociada, x^2+1=0. Sin embargo, como en Z.Z + (1, 0) = (0, 0) intervienen las operaciones de complejos, está ecuación está perfectamente definida para todo C. Y chan, cha, cha, chan, sí tiene solución en C - C1 (los imaginarios puros). ¿Cuál es esta solución?. Muy simple, es Z=(0, 1). En efecto:
(0, 1).(0, 1) + (1, 0)=(0.0 - 1.1, 1.0 + 0.1) + (1, 0) = (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0) !!!
Entonces Z=(0, 1) es solución de Z.Z + (1, 0) = (0, 0), pero es un imaginario puro, es decir, no pertenece a C1 (que es isomórfico a los números reales R).
Fuentes:
-mis conocimientos de matemáticas
-http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
(redacción propia)
,pero... ¿tenés una idea de lo que es realmente? (obviamente este post está dirigido para aquellos que no sepan matemáticas).
En este post vamos a ver qué es el "fractal de Mandelbrot". Primero tenemos que ver qué son los números complejos.
Un número real es, valga la redundancia, un número que pertenece a la famosa recta real (1, 3.5, raíz de 2, pi, 3/4, etc) (por supuesto que esta es una definición intuitiva, formalmente se los define utilizando el método de las cortaduras de Dedekind). Denotaremos a los números reales como R. Definimos el producto cartesiano, XxY, de dos conjuntos X e Y como el conjunto compuesto por todos los pares ordenados (x, y), donde x pertenece a X e y pertenece a Y. Es decir,
Ahora tomemos el conjunto R^2 = R x R=:{(a, b) / a y b sean números reales}.
Si tomamos dos elementos de R^2, (a, b) y (c, d), y definimos las operaciones suma, "+", y producto, ".", entre los mencionados elementos respectivamente como
y
(donde en los segundos miembros se utilizan la suma y producto de los reales) ,
entonces R^2 con estas operaciones adquiere la estructura de "campo" o "cuerpo" (los números reales con las operaciones de suma y producto usuales también forman un cuerpo) y se denota C, cada elemento de C se denomina "número complejo" y generalmente se denota a todo el par ordenado (a, b) por una letra Z simplemente, por ejemplo (es decir Z=(a, b)). Intuitivamente, si el conjunto C es un cuerpo bajo las operaciones +, "suma", y ".", producto, esto implica: en primer lugar, cualquiera de los dos números complejos se pueden sumar y multiplicar para obtener otro número complejo; en segundo lugar, para cualquier número complejo Z, su negativo -Z es también un número complejo, y tercero, todo número complejo distinto de cero tiene un número complejo de reciprocidad (el inverso en la división). Además, estas operaciones cumplen una serie de leyes, por ejemplo la ley de la conmutatividad de la adición y la multiplicación de dos números complejos Z1 y Z2:
y Como los complejos son un par ordenado de números reales, (x, y), entonces podemos representar gráficamente a un número complejo como un punto de coordenadas cartesianas x e y en un plano, el famoso "plano complejo":
Y es aquí donde la cosa se comienza a poner interesante. Antes que nada tenemos que definir "el módulo de un número complejo Z",|Z|, que básicamente es la longitud, r, de la recta que une al punto de coordenadas x e y del plano con el origen: usamos simplemente el teorema de Pitágoras...
Ahora tomemos cualquier punto del plano complejo K=(k1, k2) y calculemos los valores de la sucesión {Zn}, donde Zn=(Zn-1).(Zn-1) + K, para todo n, entero, mayor o igual que 1 y con Zn=o =(0, 0). Entonces la sucesión, infinita, desarrollada sería de la forma:
{(0, 0), K, K.K+K, (K.K+K).(K.K+K)+K, ..., etc}
(Acordate que K.K+K=(k1^2 - k2^2 + k1, 2.k1.k2 + k2), imaginate la monstruosidad algebraica que van a ir quedando los demás términos si ese que puse era apenas el tercero...)
Si para el K inicial que elegimos, el módulo |Zn| no diverge cuando n se acerca a infinito, entonces marcamos al punto K del plano complejo como un punto negro. Si por el contrario |Zn| diverge, lo marcamos a K como un punto blanco. El subconjunto de números complejos para los cuales ocurre lo primero se denomina "conjunto de Mandelbrot" y la gráfica de este conjunto en el plano complejo se denomina "fractal de Mandelbrot"... y tiene esta forma:
El fractal de Mandelbrot fue descubierto por Benoît Mandelbrot a fines de la década de 1970. ¿Por qué tan tarde?, como habrás visto, para saber si un punto K está o no en el conjunto de Mandelbrot hay que realizar unos cálculos que representan un desafío algebraico formidable: fue recién cuando surgieron las computadoras que estos cálculos se pudieron hacer; claro, ellas, las computadoras, los hacen, jajaja. Básicamente comienzan a calcular los valores de la sucesión y cuando se van cumpliendo ciertos criterios que indican que la sucesión va a converger o no, entonces para y colorea el punto de acuerdo a si pertenece al conjunto de Mandelbrot o no.
¿Pero qué hace a los fractales tan "especiales"?, lo que pasa es que tienen una serie de propiedades muy características y extrañas que los hacen entidades geométricas únicas y totalmente fascinantes. La propiedades típicas son:
1-Tienen una estructura infinitamente compleja y rica. Es decir, podemos ampliar sucesivamente una parte de la frontera del fractal y continuamente aparecen nuevas estructuras:
(Loco, ¿no?)
2-Es demasiado irregular como para ser descrito con alguna fórmula de geometría analítica (el círculo de radio unitario, por ejemplo, consiste en los puntos x e y del plano R^2 tales que x^2+y^2=1, esta es una fórmula de geometría analítica)
3-Es autosimilar o autoreplicante. Es decir, a medida que vamos haciendo "zoom" en el fractal, algunas formas vuelven a aparecer de nuevo, aunque con ligeras variaciones:
Esto es todo, saludos.
Nueva entrada: como para dar por cerrado el tema de los números complejos, es conveniente ver una última propiedad. Consideremos el subconjunto C1 de C, donde sus elementos sean siempre de la forma Z=(x, 0). Con las propiedades de suma y producto de complejos, si Z1=(a, 0) y Z2=(b, 0), entonces Z1+Z2=(a+b, 0) y Z1.Z2=(a.b, 0). Es decir que C1 con estas operaciones también será un cuerpo, ya que Z1+Z2 y Z1.Z2 pertenecen a C1 (en realidad hay que demostrarlo, pero lo anterior muestra que es casi seguro). Si tomamos un mapa F de la forma F: C1 -> R, donde F(Z)=F((x, 0))=x (claramente F es biyectivo). Vemos cuánto es F(Z1+Z2):
F(Z1+Z2)=F((a+b, 0))=a+b=F((a, 0))+F((b, 0))=F(Z1)+F(Z2).
Vemos ahora cuánto es F(Z1.Z2):
F(Z1.Z2)=F((a.b, 0))=a.b=F((a, 0)).F((b, 0))=F(Z1).F(Z2).
Es decir que F establece un isomorfismo entre los cuerpos R y C1. Intuitivamente, cuando dos estructuras algebraicas son isomorfas, entonces son "equivalentes" desde el punto de vista algebraico. De esta forma, como C1 es un subconjunto de C, podemos decir que, en cierta forma, C "contiene" a R. Es por esto que a los números complejos de la forma (x, 0) se los denominan "complejos reales puros" y a los de la forma (0, y), que pertenece a C - C1, "complejos imaginarios puros).
Seguramente habrás escuchado que con los complejos se pueden resolver ecuaciones de la forma
x^2+1=0.
Obviamente que si nos restringimos a x únicamente real, entonces la ecuación anterior no tiene solución, ya que esta solución sería x=raíz (-1), que no es un número real que exista. Tomemos la ecuación anterior, definida en términos de la suma y producto real y apliquemos el isomorfismo inverso F^-1. Entonces resulta:
x^2+1=0 => F^-1(x^2+1)=F^-1(0) => (x, 0).(x, 0) + (1, 0) = (0, 0), que es un ecuación, pero ahora intervienen las operaciones de suma y producto de complejos. La forma genérica de esta ecuación sería
Z.Z + (1, 0) = (0, 0)
Claramente si restringimos Z como perteneciente a C1, entonces no habrá solución, porque esto implicaría que existe una solución real para la ecuación real asociada, x^2+1=0. Sin embargo, como en Z.Z + (1, 0) = (0, 0) intervienen las operaciones de complejos, está ecuación está perfectamente definida para todo C. Y chan, cha, cha, chan, sí tiene solución en C - C1 (los imaginarios puros). ¿Cuál es esta solución?. Muy simple, es Z=(0, 1). En efecto:
(0, 1).(0, 1) + (1, 0)=(0.0 - 1.1, 1.0 + 0.1) + (1, 0) = (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0) !!!
Entonces Z=(0, 1) es solución de Z.Z + (1, 0) = (0, 0), pero es un imaginario puro, es decir, no pertenece a C1 (que es isomórfico a los números reales R).
Fuentes:
-mis conocimientos de matemáticas
-http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
(redacción propia)