Murió a los 20 años, revolucionó las mates y te lo cuento:

Évariste Galois nació un 25 de Octubre de 1811 y murió el 31 de mayo de 1832. Aun no cumplía los 21 años y ya había revolucionado para siempre el mundo de las matemáticas. En la actualidad, las bases de las teorías matemáticas están tan profundamente desarrolladas y estudiadas que no es fácil encontrar cosas nuevas y realmente rompedoras: se necesitan muchos años de estudio y trabajo para poder aspirar a descubrir algo nuevo. Por ello, es muy complicado que alguien joven pueda realizar descubrimientos matemáticos realmente punteros. Pero eso, evidentemente, no ha sido siempre así. En la historia de las matemáticas podemos encontrar personajes que realizaron interesantes aportaciones o descubrieron y desarrollaron nuevas teorías a pesar de su corta edad. Y, posiblemente, uno de los casos más sorprendentes y trascendentes sea el del protagonista del artículo de hoy.

Galois además de ser un revolucionario en la ciencia, lo fue también en el ámbito político, siempre tuvo problemas para seguir el cauce marcado. Ser anti monárquico en la Francia del siglo XIX era algo que podía complicarte mucho la vida, en el caso de nuestro personaje, se dice que se complicó su entrada a los más prestigiosos centros de estudio gracias a su carácter de repudio a la autoridad.

Su vida siempre estuvo marcada por los rasgos mencionados anteriormente hasta el momento de su muerte. Muchos detalles de la misma no están claros; se dice que murió en un duelo a manos de un miembro del ejército francés. Unos dicen que el duelo fue con espadas, otros con pistolas. Las causas están igual de opacas; unos mencionan que fue por una mujerzuela, otros que fue por cuestiones políticas. Lo cierto es que en la noche del 30 de mayo de 1832 Galois se encontraba herido de muerte en el abdomen.

Una noche antes del duelo, Galois previendo su muerte, escribió tres cartas. Una de ellas fue para dos de sus amigos, para anunciarles el duelo y su más que probable muerte; otra fue para los republicanos; y la tercera, la que más nos interesa a nosotros en este texto, la usó para recopilar sus descubrimientos matemáticos, que a la postre resultaron claves para el avance del álgebra moderna. “No tengo tiempo”, anotó en un manuscrito. El 31 de mayo expiraba en brazos de su hermano: “¡No llores, Alfred! Necesito todo mi valor para morir a los veinte años”. Galois fue enterrado en una fosa común del Cementerio de Montparnasse.

Respuesta simple: cerró el círculo en lo que se refiere a resolución de ecuaciones polinómicas; respuesta más compleja: desarrollo una teoría que revolucionó el estudio del álgebra. Ahondemos más en esto último en los siguientes párrafos.

Vamos poco a poco. Desde el siglo XVII, se sabía que hay fórmulas para calcular las soluciones de toda ecuación polinómica hasta grado 4 con el simple conocimiento de sus coeficientes. Es decir, conociendo la ecuación tenemos una fórmula que nos da las soluciones de la misma, y dicha fórmula solamente involucra a los coeficientes de tal ecuación. Además, esta fórmula solamente utiliza (como mucho) sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y radicales (raíces), por lo que a este proceso se le llama expresar las soluciones de la ecuación en radicales. Pero esto sólo se tenía hasta grado 4 (para cada grado hay una fórmula distinta), y los intentos para encontrar algo parecido en grados superiores habían sido infructuosos.

Esto último era extraño. ¿Por qué no se había encontrado una fórmula para grado 5 o superior? Pues la respuesta es sencilla: porque no existe fórmula general para resolver una ecuación polinómica cualquiera de grado 5 o superior. Eso lo demostró el genial matemático noruego Niels Henrik Abel en 1824. Ya está, tema resuelto…

…bueno, a medias. No tenemos fórmula general, pero eso no significa que no se pueda resolver ninguna de esta forma. Galois demostró eso mismo, que no hay fórmula general, de manera independiente a Abel, pero fue un paso (un gran paso) más allá. Desarrolló una manera de asociar una estructura, que denominó grupo (se le considera el primero que utilizó esta denominación), a cada ecuación (fuera del grado que fuera) y estudió cómo debía ser este grupo, denominado ahora grupo de Galois de la ecuación, para que pudiera resolverse en radicales. Lo que encontró Galois es que si ese grupo era resoluble, entonces la ecuación podía resolverse en radicales, y que esto no podía hacerse si el grupo no era resoluble.

Las definiciones formales de grupo y de grupo resoluble escapan al propósito de este post, pero podemos continuar sin ellas para entender los logros de Galois. Para grado mayor o igual que 5, se tiene que el grupo asociado a la ecuación polinómica genérica de cualquiera de esos grados no es resoluble, lo que nos lleva a no tener a nuestra disposición una fórmula que nos dé las soluciones de una ecuación cualquiera de este tipo. Esto resolvía el problema que ya había resuelto Abel, pero con métodos distintos.

Ahora, el trabajo de Galois va más allá. Como podemos asociar a cada ecuación concreta su grupo de Galois, estudiando cómo es ese grupo podemos saber si tendremos fórmula para ella o no, y además podremos construirla. Es decir, el trabajo de Galois nos proporcionar una procedimiento para saber si tendremos una fórmula en radicales para resolver cualquier ecuación (¡¡de cualquier grado!!) concreta, de la que conocemos sus coeficientes: ver si el grupo de Galois asociado a ella es o no resoluble, y en el caso de que se lo sea nos dice cómo construir la fórmula para resolverla. Maravilloso, ¿verdad?

Todo esto se conoce actualmente como teoría de Galois, y es un campo enormemente importante dentro de las matemáticas. Tanto que, casi 200 años después, se sigue estudiando en todas las universidades que ofertan estudios de matemáticas. Todos los matemáticos del mundo han estudiado teoría de Galois en algún momento de su vida universitaria (en mi caso, estudio física y la llevo como optativa). Él solito cambió radicalmente (sí, la palabra viene muy al caso) el estudio del álgebra, que pasó del simple estudio de la resolución de ecuaciones al estudio de estructuras algebraicas, algunas de ellas asociadas a ecuaciones, como estos grupos de Galois. Y todo eso con apenas 20 años.