Hola linces, quería aprovechar el espacio para compartir algo que he estudiado en la escuela y que me ha parecido muy interesante. En general las ideas son lo suficientemente básicas para mostrarlas al público en general y es un excelente ejemplo de como el orden y la complejidad pueden surgir de sistemas simples y aleatorios.
El juego
Bueno, este " juego " en realidad tiene muchas variantes, pero vamos a comenzar con una de las más sencillas. Seguimos los siguientes pasos:
- Dibujamos un tríangulo equilátero y numeramos los vértices.
- Colocamos un punto ( puede ser en cualquier lado, no importa si dentro o fuera del triángulo).
- Arrojamos un dado con tres caras, o una pirinola con tres caras, ... el punto es que necesitamos generar un evento al azar con tres resultados diferentes, cada uno corresponderá a los vertices del triángulo.
- Supongamos que en el paso anterior resulto ganador el vértice 2. Entonces trazamos una línea entre el punto y dicho vértice y colocamos un nuevo punto en la mitad del segmento.
El juego continúa repitiendo estos pasos una y otra vez para generar nuevos puntos. La pregunta es, ¿que se obtendrá al hacer este proceso un gran número de veces? ¿un patrón completamente aleatorio? ¿el triángulo se llena?. A continuación muestro los resultados de repetir el algoritmo 100, 1000 y 500,000 veces:
La trifuerza?!!!, es lo que nos podría venir a la mente a muchos de nosotros, o como a los matemáticos les gusta llamarlo, El triángulo de Sierpinski. Este es sin duda un resultado muy sorpresivo, en primer lugar porque el algoritmo, que en principio era aleatorio termina construyendo algo perfectamente ordenado y estructurado, pero lo es aún más por la complejidad de este objeto. Podemos notar que la figura esta compuesta por tres partes, las cuales lucen idénticas a la figura original, que a su vez se puede descomponer de nuevo en tres partes, y estas en otras tres ... En lenguaje formal decimos que es autosimilar.
Fractales
La figura anterior entra en la categoría de los fractales, entre los cuales también están el Copo de nieve de Koch y El conjunto de Mandelbrot:
Fractales y el Caos
Ahora bien, puede que algunos de ustedes se estén preguntando porque se llama el juego del "caos". Resulta que este juego sencillo permite introducir un concepto de mucha utilidad en la Teoría del Caos, el de los Atractores Extraños.
Primeramente y sin querer abundar mucho en detalles, el Caos surge en los sistemas dinámicos, donde se describen variables físicas (posición, velocidad, presión, temperatura, voltaje, ...) y su cambio a lo largo del tiempo. El Caos suele aparecer en los sistemas dinámicos de cierta complejidad (aunque algunos increíblemente simples como el péndulo). La caracteristica que define a un sistema caótico es su alta sensibilidad a las condiciones iniciales, lo que se conoce popularmente como El efecto Mariposa, un cambio diminuto en las condiciones iniciales crea cambios enormes en el comportamiento a largo plazo de las variables. Esto es un gran problema, ya que aunque los modelos matemáticos son completamente deterministas y exactos, en la realidad cuando se quiere hacer una predicción de fenoóenos naturales se deben hacer mediciones, las cuales nunca pueden ser totalmente exactas, y aunque el error sea pequeño, la presencia del caos puede ocasionar que la predicción sea completamente diferente a lo que realmente ocurre.
Pero no todo es malo... Regresemos al
juego
del caos, solo que ahora en vez de pensar que se generan muchos puntos diferentes, consideremos que cada iteración nos indica como se mueve el punto a lo largo del tiempo (no hace falta decir que intentar predecir donde estará el punto digamos en el paso 500 es completamente imposible). Es buen momento para decir que hay un pequeño truco en la segunda imagen del post:
En la imagen de la izquierda se alcanzar a ver unos puntos que estan fuera del triangulo y por lo tanto no forman parte del triangulo de Sierpinski. Sin embargo para los otras imágenes hice un "filtrado" eliminando los primeros puntos y esa es la clave, los primeros puntos pueden no estar dentro de la figura final, esto dependerá del punto inicial que se haya escogido, no obstante, se puede asegurar que a largo plazo (después de unos 50 pasos aproximadamente) todos los puntos caen dentro del triangulo de Sierpinski independientemente del punto inicial. Se dice que el punto que se mueve se ve atraído por el triángulo de Sierpinski, o bien, que este es un atractor. Esto es fantástico, ya que de una situación donde se podia decir poco o nada debido a la libertdad de elegir el punto de inicio y la aleatoriedad, pasamos a una donde hay patrones independientemente de lo anterior.
Lo descrito en el párrafo anterior también ocurre en los sistemas caóticos físicos. La presencia del caos nos puede llevar a pensar que nuestra capacidad de predicción es pobre, sin embargo aqui también aparecen atractores. El ejemplo más clásico es el llamado Atractor de Lorenz. Este fue encontrado al estudiar un modelo para describir las propiedades de la atmósfera, que aunque era caótico, se encontró que bajo ciertas condiciones, a largo plazo las variables quedaban atrapadas en ciertos valores:
Esta figura en principio es una curva, pero esta tan densamente "enrollada" en algunas regiones que parece rellenar el espacio como una superficie, se trata también de un fractal y es a estos objetos a los que se les llama atractores extraños y surgen al tratar de modelar muchos otros fenómenos físicos, químicos y biológicos.
Más del juego del caos
Ya para terminar, y como se mencionó antes, existen muchas variantes del juego del caos. Por ejemplo, se puede cambiar la figura inicial, usar un triángulo no equilátero u otra figura (usar un cuadrado no resulta muy llamativo pues este si se llena) o también se pueden generar los nuevos puntos no a la mitad del segmento sino a un 1/4, 3/8, etc. Todos estos terminan generando patrones fractales similares al triángulo de Sierpinski. Si tienes conocimientos básicos de programación en cualquier lenguaje te invito a explorarlo por ti mismo. Existe una variante un tanto diferente, en la que para generar los puntos ya no se usa el método anterior sino que se escogen al azar una serie de rotaciones y deformaciones lineales. El resultado de aplicar este algortimo un gran número de veces es el siguiente:
Podemos notar que esta figura también es autosimilar (cada rama reproduce por sí sola a la figura completa). El parecido con algunas especies de helechos es impresionante y les ha hecho cuestionarse a los cientificos si entonces este será uno de los mecanismos por los cuales se generan las estructuras de los seres vivos.
Bueno eso es todo, el post me ha salido algo más largo de lo que pensé inicialmente, así que aprecio si han llegado hasta este punto. Gracias por su atención.