Elementos de un polinomio
Los elementos de los polinomios son:
* Los coeficientes, o valores constantes ai, con i = 0, 1, 2, ..., n. El que multiplica a la variable elevada al mayor grado se denomina coeficiente principal (denotado por an), mientras que el que no contiene variable se llama término independiente (a0).
* La variable x.
* Los exponentes a los que se eleva la variable.
Adiccion y sustraccion algebrica de Polinomios
Multiplicacion y Divicion Polinomica
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Propiedades que se aplican a las Operaciones con Polinomios
La propiedades que se utilizan en los Polinomios son las siguientes:
Propiedad Conmutativa
Propiedad Distrivutiva
Valor numerico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4
Los elementos de los polinomios son:
* Los coeficientes, o valores constantes ai, con i = 0, 1, 2, ..., n. El que multiplica a la variable elevada al mayor grado se denomina coeficiente principal (denotado por an), mientras que el que no contiene variable se llama término independiente (a0).
* La variable x.
* Los exponentes a los que se eleva la variable.
Adiccion y sustraccion algebrica de Polinomios
Suma o adición de polinomios
Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.
Ejemplo 1: Dados los polinomios
hallar S(x) = A(x) + B(x)
Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado
Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que
por lo tanto queda
Otra forma de resolver es
S(x) = A(x) + B(x) =
eliminando los paréntesis queda
operando con los coeficientes, se obtiene
Ejemplo 2 : Dados los polinomios
hallar S(x) = L(x) + M(x) + N(x)
Ordenando y encolumnando los polinomios por monomios semejantes
Sustracción de polinomios
La sustracción es la operación inversa de la suma. Si se tiene:
a __ b = a + __ b
Apliquemos este concepto al siguiente ejercicio en el cual hay una sustracción o resta.
p(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x
p(x) __ q(x) = p(x) + __ q(x)
q(x) = 6 x5 __ 8 x + 4 x2
El primer paso consiste en reemplazar los polinomios en la operación dada.
p(x) __ q(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
A continuación se aplica la propiedad de la operación inversa de la adición y, eliminando el paréntesis, se cambian los signos del polinomio que está a la derecha del signo menos.
3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ 6 x5 + 8 x __ 4 x2
El tercer paso consiste en ordenar los polinomios de acuerdo a su grado decreciente o creciente y reducir los términos semejantes. Si hay una resta se procede a utilizar la propiedad anteriormente citada (en este caso hay que cambiar el signo de resta que está delante del 4 x).
2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x
2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 + __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x
Podemos comprobar que: 2 + __ 6 = __ 4, que 3 + __ 4 = __ 1 y que __ 5 + 8 = 3, para quedar:
4 x5 + __ x2 + 3 x = __ 4 x5 __ x2 + 3 x
El resultado se puede expresar de cualquiera de las dos formas, pues ambas expresiones son equivalentes.
Dados dos polinomios A(x) y B(x), se llama suma o adición a otro polinomio S(x) cuyos términos son la suma de los términos de igual grado de los polinomios sumandos.
Ejemplo 1: Dados los polinomios
hallar S(x) = A(x) + B(x)
Una manera práctica de resolución es disponer los polinomios ordenados, encolumnando los monomios de igual grado
Como cada término de la suma S(x) se obtiene sumando los coeficientes de los monomios de igual grado, se puede escribir que
por lo tanto queda
Otra forma de resolver es
S(x) = A(x) + B(x) =
eliminando los paréntesis queda
operando con los coeficientes, se obtiene
Ejemplo 2 : Dados los polinomios
hallar S(x) = L(x) + M(x) + N(x)
Ordenando y encolumnando los polinomios por monomios semejantes
Sustracción de polinomios
La sustracción es la operación inversa de la suma. Si se tiene:
a __ b = a + __ b
Apliquemos este concepto al siguiente ejercicio en el cual hay una sustracción o resta.
p(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x
p(x) __ q(x) = p(x) + __ q(x)
q(x) = 6 x5 __ 8 x + 4 x2
El primer paso consiste en reemplazar los polinomios en la operación dada.
p(x) __ q(x) = 3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
A continuación se aplica la propiedad de la operación inversa de la adición y, eliminando el paréntesis, se cambian los signos del polinomio que está a la derecha del signo menos.
3 x2 + 2 x5 __ 5 x __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ [ 6 x5 __ 8 x + 4 x2 ]
3 x2 + 2 x5 __ 5 x + __ 6 x5 + 8 x __ 4 x2
El tercer paso consiste en ordenar los polinomios de acuerdo a su grado decreciente o creciente y reducir los términos semejantes. Si hay una resta se procede a utilizar la propiedad anteriormente citada (en este caso hay que cambiar el signo de resta que está delante del 4 x).
2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x
2 x5 + __ 6 x5 + 3 x2 + __ 4 x2 + __ 5 x + 8 x
Podemos comprobar que: 2 + __ 6 = __ 4, que 3 + __ 4 = __ 1 y que __ 5 + 8 = 3, para quedar:
4 x5 + __ x2 + 3 x = __ 4 x5 __ x2 + 3 x
El resultado se puede expresar de cualquiera de las dos formas, pues ambas expresiones son equivalentes.
Multiplicacion y Divicion Polinomica
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Propiedades que se aplican a las Operaciones con Polinomios
La propiedades que se utilizan en los Polinomios son las siguientes:
Propiedad Conmutativa
Propiedad Distrivutiva
Valor numerico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4