Hola amigos, ahora les traigo unos de los teoremas mas curiosos que existen en las matematicas, el teorema de las curvas de Jordan , el problema es el siguiente, como saber si la hormiga esta dentro o fuera de la tercera curva (la curva sin color de fondo)
Como le hariamos?
El teorema de la curva de Jordan
Motivación: pregunta
¿Dónde está el punto A, en el interior o en el exterior de la curva?
Posiblemente no te sea demasiado difícil acertar con un simple vistazo al dibujo. Pero imaginadahora que la curva cubre la extensión de un campo de fútbol. ¿Sería la cosa tan sencilla? Creo que no. Entonces:
¿Qué procedimiento general utilizarías para determinar la situación del punto?
Seguro que muchos ya sabén la respuesta. Para quien no la sepa responderemos a lo largo de este texto.
Notas históricas
El teorema de la curva de Jordan fue enunciado por Camille Jordan, matemático frances, a finales del siglo XIX en una serie de libros denomiada Cours d’Analyse. El mismo Jordan publicó en dicha serie una demostración del resultado que más tarde resultó ser incorrecta. La primera demostración correcta del resultado apareció en 1905 y se debe a Oswald Veblen.
Más adelante Brouwer propuso una generalización n-dimensional que fue probada por Alexander en 1992 y que se conoce en la actualidad como teorema de separación de Jordan-Brouwer.
El teorema de la curva de Jordan
El teorema de la curva de Jordan es un resultadode lo mas curioso, ya que su enunciado es muy sencillo tiene una complicada demostración contando además con una enorme aceptación mediante intuición por parte de cualquiera que lo lea. Hay resultado con un enunciado simple pero con complicada demostración, pero generalmente ello no va acompañado del último punto, es decir, generalmente no somos capaces de visualizar tan bien el resultado por muy sencilla que sea su formulación.
Teorema: (de la curva de Jordan)
Para aclarar todo esto vamos a presentar el enunciado del problema, ya que ya estamos preparados para ello:
La demostración esta fuera de lugar para los fines de este Post.
Motivación: respuesta
Vamos a responder a las preguntas iniciales. Evidentemente, el punto A está fuera de la curva, en el exterior de la misma. Lo vemos fácilmente coloreando el interior de la curva:
Pero además de esto pedíamos un procedimiento para determinar si el punto está dentro o fuera de la curva para cualquier curva. El procedimiento ha seguir es para fines practicos el Teorema de las Curvas de Jordan:
Trazamos una semirrecta desde nuestro punto hasta que estemos seguros de que ya estamos en el exterior de la curva. Esta semirrecta cortará a la curva en varios puntos. Contamos el número de puntos donde la semirrecta corta transversalmente a la curva (los puntos de corte donde la semirrecta sea tangente a la curva no se cuenta). Entonces:
-Si ese número de puntos de corte es par, el punto está en el exterior de la curva.
-Si ese número de puntos de corte es impar; el punto está en el interior de la curva.
Da igual qué semirrecta dibujemos. Lo vemos con la imagen del comienzo del post:
Como se puede ver no importa la semirrecta, siempre hay un número par de puntos de corte transversales (los marcados con cuadros negros son los cortes tangentes, los que hemos dicho que no se cuentan).
Ahora si, la hormiga esta dentro o fuera?
fuente
El Teorema de la Curva de Jordan
Jordan's Curve Theorem
Francisco Garca Arenas
Como le hariamos?
El teorema de la curva de Jordan
Motivación: pregunta
¿Dónde está el punto A, en el interior o en el exterior de la curva?
Posiblemente no te sea demasiado difícil acertar con un simple vistazo al dibujo. Pero imaginadahora que la curva cubre la extensión de un campo de fútbol. ¿Sería la cosa tan sencilla? Creo que no. Entonces:
¿Qué procedimiento general utilizarías para determinar la situación del punto?
Seguro que muchos ya sabén la respuesta. Para quien no la sepa responderemos a lo largo de este texto.
Notas históricas
El teorema de la curva de Jordan fue enunciado por Camille Jordan, matemático frances, a finales del siglo XIX en una serie de libros denomiada Cours d’Analyse. El mismo Jordan publicó en dicha serie una demostración del resultado que más tarde resultó ser incorrecta. La primera demostración correcta del resultado apareció en 1905 y se debe a Oswald Veblen.
Más adelante Brouwer propuso una generalización n-dimensional que fue probada por Alexander en 1992 y que se conoce en la actualidad como teorema de separación de Jordan-Brouwer.
El teorema de la curva de Jordan
El teorema de la curva de Jordan es un resultadode lo mas curioso, ya que su enunciado es muy sencillo tiene una complicada demostración contando además con una enorme aceptación mediante intuición por parte de cualquiera que lo lea. Hay resultado con un enunciado simple pero con complicada demostración, pero generalmente ello no va acompañado del último punto, es decir, generalmente no somos capaces de visualizar tan bien el resultado por muy sencilla que sea su formulación.
Teorema: (de la curva de Jordan)
Para aclarar todo esto vamos a presentar el enunciado del problema, ya que ya estamos preparados para ello:
La demostración esta fuera de lugar para los fines de este Post.
Motivación: respuesta
Vamos a responder a las preguntas iniciales. Evidentemente, el punto A está fuera de la curva, en el exterior de la misma. Lo vemos fácilmente coloreando el interior de la curva:
Pero además de esto pedíamos un procedimiento para determinar si el punto está dentro o fuera de la curva para cualquier curva. El procedimiento ha seguir es para fines practicos el Teorema de las Curvas de Jordan:
Trazamos una semirrecta desde nuestro punto hasta que estemos seguros de que ya estamos en el exterior de la curva. Esta semirrecta cortará a la curva en varios puntos. Contamos el número de puntos donde la semirrecta corta transversalmente a la curva (los puntos de corte donde la semirrecta sea tangente a la curva no se cuenta). Entonces:
-Si ese número de puntos de corte es par, el punto está en el exterior de la curva.
-Si ese número de puntos de corte es impar; el punto está en el interior de la curva.
Da igual qué semirrecta dibujemos. Lo vemos con la imagen del comienzo del post:
Como se puede ver no importa la semirrecta, siempre hay un número par de puntos de corte transversales (los marcados con cuadros negros son los cortes tangentes, los que hemos dicho que no se cuentan).
Ahora si, la hormiga esta dentro o fuera?
fuente
El Teorema de la Curva de Jordan
Jordan's Curve Theorem
Francisco Garca Arenas