Número π
π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemática, física e ingeniería. El valor numérico de π truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de una circunferencia.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).
El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y amateur.
Definicion
Es Euclides el primero en demostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia es constante. Existen, no obstante, diversas definiciones más del número π; entre las más famosas se encuentran:
* Es una proporción constante entre el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
* Es el área de un círculo de radio unidad del plano euclídeo.
* Es el menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.
Irracionalidad y trascendencia
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendental. Es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[4] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).
Valor numérico de Pi
Al ser un numero irracional su valor no puede calcularse numéricamente con total precisión, siempre habrá otro decimal después del ultimo calculado. como curiosidad aquí tienes los primeros 1000 decimales de Pi.
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
Fórmulas que contienen a π
* En Geometría:
o Circunferencia de radio r: C = 2 π r
o Área del círculo de radio r: A = π r²
o Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
o Área del cilindro: 2 πr (r+h)
o Área de la esfera: 4 π r²
o Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
o Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes
* En Probabilidad:
o La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es: 6/π²
o Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
o El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
o Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D
* En Análisis matemático:
Fórmula de Leibniz:
Producto de Wallis:
Euler:
Identidad de Euler
Fórmula de la campana de Gauss:
Fórmula de Stirling:
Euler:
Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:
Formas de representación aproximada a π
* Método de Monte Carlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.
Extrapolando esto podemos inferir que, generando N número aleatorios dentro del área del cuadrado, aproximadamente Nπ/4 de estos puntos estarán dentro del círculo.
Si de N puntos generados, M están dentro del círculo, podemos determinar el valor de π.
Aquí se puede ver programa que nos demuestra la teoría:
Datos interesantes
* El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
* El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones. Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
* 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡"cuasi-perfecta"!.
* Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
* John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
* El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
* La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
* Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
* Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
* En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
* En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
* El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
* Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
* En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
http://www.portalplanetasedna.com.ar/archivos_varios
π (pi) es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemática, física e ingeniería. El valor numérico de π truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro) de una circunferencia.[1] Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones[2] y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).
El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y amateur.
Definicion
Es Euclides el primero en demostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia es constante. Existen, no obstante, diversas definiciones más del número π; entre las más famosas se encuentran:
* Es una proporción constante entre el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
* Es el área de un círculo de radio unidad del plano euclídeo.
* Es el menor número real x positivo tal que sen(x) = 0.
Irracionalidad y trascendencia
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendental. Es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,[4] 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales "rápidamente convergente" (Stoneham 1970[cita requerida]).
Valor numérico de Pi
Al ser un numero irracional su valor no puede calcularse numéricamente con total precisión, siempre habrá otro decimal después del ultimo calculado. como curiosidad aquí tienes los primeros 1000 decimales de Pi.
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
Fórmulas que contienen a π
* En Geometría:
o Circunferencia de radio r: C = 2 π r
o Área del círculo de radio r: A = π r²
o Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab
o Área del cilindro: 2 πr (r+h)
o Área de la esfera: 4 π r²
o Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
o Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes
* En Probabilidad:
o La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es: 6/π²
o Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
o El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
o Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Lπ/2D
* En Análisis matemático:
Fórmula de Leibniz:
Producto de Wallis:
Euler:
Identidad de Euler
Fórmula de la campana de Gauss:
Fórmula de Stirling:
Euler:
Además, π tiene varias representaciones como fracciones continuas:
Formas de representación aproximada a π
* Método de Monte Carlo
En un círculo de radio r inscrito en un cuadrado de lado 2R (2 veces el radio), el área del círculo es πr² y la del cuadrado (2r)². De esto se deduce que la relación de área entre el cuadrado y el círculo de π/4.
Extrapolando esto podemos inferir que, generando N número aleatorios dentro del área del cuadrado, aproximadamente Nπ/4 de estos puntos estarán dentro del círculo.
Si de N puntos generados, M están dentro del círculo, podemos determinar el valor de π.
Aquí se puede ver programa que nos demuestra la teoría:
Datos interesantes
* El día 22 de julio (22/7) es el día dedicado a la aproximación de π.
* El 14 de marzo (3/14 en formato de fecha de Estados Unidos) se marca también como el día pi en el que los fans de este número lo celebran con diferentes actuaciones.
Curiosamente es el cumpleaños de Einstein.
* 355/113 (~3.1415929) se menciona a veces como una simulación ¡"cuasi-perfecta"!.
* Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2)% en sus compras.
* John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!".
* El primer millón de cifras de π y su inversa 1/π se puede consultar en el Proyecto Gutenberg o en este enlace.
* La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592
* Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre.
* La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2
* Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π
* En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».
* En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire.
* El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872.
* Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número.
* En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es el número Pi: 3,1416
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
http://www.portalplanetasedna.com.ar/archivos_varios