Clase de Matematica - Parte 6

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Potencia de un número natural

Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede indicar el producto factor a factor, si son pocos factores esto se puede hacer sin mucha dificultad. Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por si mismo 2 tres veces.
Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en forma de potencia.
Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos indica el número de veces que se multiplica el número.




Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, ponemos la misma base y sumamos los exponentes.

Ejemplo: 2 elevado a 3 x 2 elevado a 5 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 elevado a 8 = 2 elevado a 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 elevado a 3+5 = 256


División de potencias de igual base

Cuando queremos dividir potencias que poseen la misma base, debemos restar los exponentes.

Ejemplo: 2 elevado a 5 : 2 elevado a 2 = (2x2x2x2x2) : (2x2) =2 elevado a 5-2 = 2 elevado a 3= 8


Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) elevado a 3 observamos que (2x3) elevado a 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 elevado a 3 x 3 elevado a 3.

Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo: (2x3) elevado a 3 = 6 elevado a 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 elevado a 3 = 8 y 3 elevado a 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216.

Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.


Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor.

Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) elevado a 2 = 6 elevado a 2: 2 elavado a 2 = 9; Porque: (6:2) elevado a 2 = 3 elevado a 2 = 9


Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, debes poner la misma base y luego multiplicar los exponentes.

Ejemplo:

(2 elevado a 2) elevado a 3 = 64; porque: 2 elevado a 2 x 2 elevado a 2 x 2 elevado a 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 ; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado.

Mira el ejemplo: (2 elevado a 2x3) = 2 elevado a 6= 64


Potencia de enteros

En el apartado anterior se ha trabajado con potencias de base un número natural. Ahora vamos a ampliar el conjunto de números enteros.

(-2).(-2).(-2).(-2)= (-2) elevado a 4=2 elevado a 4

(-2).(-2).(-2).(-2).(-2)= (-2) elevado a 5= -2 elevado a 5

(+3).(+3).(+3).(+3).(+3).(+3).(+3)= (+3) elevado a 7= 3 elevado a 7

Si la base es positiva : (+4) elevado a 5= 4 elevado a 5

Si la base es negativa : (-2) elevado a 3= -2 elevado a 3 / (-2) elevado a 4= 2 elevado a 4

Un error que se comete cuando se trabaja con potencias con base entera es desconocer cuál es la base de la potencia. Así en la expresión (-2) elevado a 3 la base es (-2) , en cambio en la expresión -2 elevado a 3 la base es 2 Este error lleva a confusiones del tipo -2 elevado a 4= 2 elevado a 4 o a suponer que -2 elevado a 6 = (-2) elevado a 6


Potencia de base real y exponente entero

Al igual que se ha hecho con los naturales y enteros, podemos multiplicar por sí mismo varias veces un número real, ese producto se puede expresar en forma de potencia.

(1,2).(1,2).(1,2).(1,2)= (1,2) elevado a 4

3/7 x 3/7 x 3/7 x 3/7 x 3/7 x 3/7 = 3/7 elevado a 6

En el caso de potencias base racional hay que tener presente que

( a/b ) elevado a n = a elevado a n / b elevado a n

ejemplo:

( 2/3 ) elevado a 4 = 2 elevado a 4 / 3 elevado a 4

Relación entre potencias de exponente entero positivo y exponente entero negativo

a elevado a -n= (1/a) elevado a n .... 4 elevado a -3 = (1/4) elevado a 3

(a/b) elevado a -n = (b/a) elevado a n .... (3/5) elevado a -1 = (5/3)

RAÍZ CUADRADA

La raíz cuadrada de un número no negativo es el que, multiplicado con sí mismo, nos da el número. Por si no has entendido gran cosa:

1.- La raíz cuadra de 16 = 4 porque 4x4= 16

2.- No existen raíces cuadradas de números negativos.

RADICAL:
Se llama radical al signo que indica la operación para extraer raíces.

ÍNDICE:
Es el pequeño número que se coloca en el RADICAL:


En este caso hemos escrito un tres y se le llama raíz cúbica.

Si colocamos un 4 le llamaremos raíz cuarta:


En el caso de que no escribamos nada, se entiende que hay un 2 y su nombre es de raíz cuadrada:


RADICANDO:
La expresión que se encuentra debajo del signo radical se llama radicando:


El radicando es : 1234
La raíz cuadrada tiene por objeto calcular un número de modo que si lo multiplicamos por sí mismo nos da el radicando:
Significa que si multiplico 5 por sí mismo obtengo 25, es decir, la cantidad que está debajo del signo radical.

¿Cuáles son las raíces cuadradas de:






PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Multiplicación de raíces de igual índice



División de raíces de igual índice



Raíz de raíz



Raíz de una potencia de exponente igual al índice



Ingreso de un factor en una raíz

: con a > 0 si n es par


OPERATORIA CON RAÍCES

Adición y sustracción de raíces semejantes

Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por ejemplo son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes.

Ejemplo: Reducir la expresión

Solución: Se descomponen las cantidades subradicales para formar raíces semejantes.


Multiplicación y división de raíces de igual índice

En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.

Ejemplo


Solución:

Multiplicación y división de raíces de distinto índice

En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.
Ejemplo: ¿Cuál es el valor de = ?

Solución: El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:

Otra forma de resolver esta expresión es aplicar sólo las propiedades de potencias.


RACIONALIZACIÓN

La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Analizaremos a continuación los casos más importantes:

Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar:

Caso 2: Una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar la fracción

Solución: Amplificamos la fracción por el binomio conjugado del denominador para formar una suma por diferencia:

Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador.

Ejemplo: Dados los números ¿Cuál es el orden de menor a mayor?

Solución: Racionalizamos cada una de las fracciones y comparamos los resultados.




Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común



El ángulo ABC es adyacente al ángulo CBD

Porque:

* tienen un lado en común (la línea CB)
* tienen el vértice en común (el punto B)

Qué es y qué no es adyacente


Estos ángulos SON adyacentes-comparten el vértice, pero y un lado


NO SON adyacentes-sólo comparten el vértice, pero ningún lado


NO SON adyacentes-sólo comparten un lado, pero no el vértice

Espero que haya sido útil..

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dedicado a operaciones simples:

dedicado a fracciones:

dedicado a puntos y rectas,angulos,circunferencias y poligonos :

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el dedicado a ecuaciones diferenciales y calculo vectorial: