Funciones:
Una función, es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio o imagen) de forma que a cada elemento x del dominio X le corresponde un único elemento del codominio f(x).
Para que una función exista, deben ser cumplidas las siguientes dos condiciones:
dijo:- Condición de existencia:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y / (x;y) ∈ f · Para todo valor x del dominio, debe existir un valor y en la imagen.
- Condición de unicidad:
(x;y) ∈ f ^ (x;z) ∈ f ⇒ y = z · Este elemento y de la imagen, debe ser único.
Clasificación de funciones:
Las funciones, pueden ser clasificadas por: Sobreyectivas, Inyectivas y Biyectivas
Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Inyectiva: Una función es inyectiva, cuando cada elemento x del dominio "X" tiene una imagen y del codominio "Y" que es siempre diferente para cada elemento x del dominio "X"
Biyectivas: Una función es biyectiva, cuando a la misma ves, es Sobreyectiva e Inyectiva.
Funciones pares, impares y monótonas:
- Función par: Si una función f tiene el mismo valor en el punto x y en su opuesto (-x), la función es par. Simetría con respecto al eje y.
dijo:f es par ⇔ ∀x: f(x) = f(-x)
- Función impar: En cambio, si los valores que alcanza f en números opuestos del dominio son números opuestos del recorrido, f es una función impar. Simetría con respecto al origen.
dijo:f es impar ⇔ ∀x: f(x) = -f(-x)
- Función monónota: Una función monótona, es aquella que conserva un orden, este orden, puede ser creciente o decreciente.
- Creciente:
- Decreciente:
- No monótona:
Restricción de una función:
Dado f: A → B
Cuando tenemos un subconjunto C de A C⊆A, la inclusión de C en A permite definir una función, si llamamos a esta "I" la composición f o I define una función de C en B que se define restricción de f a C.
Composición de funciones:
Sean f y g dos funciones. La función dada por (f o g)(x) = f(g(x)) se llama función compuesta de f con g. El dominio de f o g es el conjunto de todas las x del dominio de g tales que g(x) esté en el dominio de f.
Propiedades:
dijo:- Es asociativa:
h o (g o f) = (h o g) o f
- Generalmente no es conmutativa:
(g o f) ≠ (f o g)
- La inversa de una composición es:
(f o g)^-1 = f^-1 o g^-1
Definición:
dijo:
Continuidad: Se dice que una función f es continua en un número a si:
- f(a) está definida.
- Lim x->a f(x) existe.
- Lim x->a f(x) = f(a)
Propiedades:
dijo:Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguentes funciones también son continuas en c:
- Múltiplo escalar: bf
- Suma y diferencia f +- g
- Producto fg
- Cociente f/g si g(c) ≠ 0
Continuidad en un intervalo: Una función f es continua en un intervalo (a, b) si lo es en todo número del intervalo. Una funcion f es continua en un intervalo [a, b] si es continua en (a, b) y si el límite por derecha es igual a f(a) y el límite por izquierda es igual a f(b).
La derivada de una función f es otra función f' (léase "efe prima" cuyo valor para un número cualquiera c es:
dijo:
Aclaraciones:
- Las imágenes de la mayoría de las gráficas, llevan a una sección que profundiza su tema.
- Si desea agregar, modificar, copiar el contenido de este post, es libre de hacerlo.
Bibliografía:
dijo:
» Wikiedia - www.wikipedia.org/
» Introducción al análisis matemático (Cálculo 1) - Hebe T. Rabufetti
» Cálculo con geometría analítica - Dennis G. Zill
» Cálculo con geometría analítica (Sexta edición) - Edwin J. Purcell | Dale Varberg
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