Clase de Matematica - Parte 5

..Bienvenidos.. Hola!...A pedido del usuario: hellfuryfire666, la clase de hoy empieza con: Ecuaciones diferenciales ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial . La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es: Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a y como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma (1.4) para algún entero positivo n. Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n de la forma Ejemplo La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos. Definición : Orden de una ecuación diferencial El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse. Definición : Ecuación Diferencial lineal Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si se puede escribir de la forma (1.5) donde los coeficientes para son funciones reales, con Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones son constantes para toda k, en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función g(x) es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle. Ejemplo La ecuación diferencial es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable y representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo t. Las constantes p y n dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo. Ejemplo La ecuación es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor L, un resistor R y un capacitor C, al cual se aplica una fuerza electromotriz E(t). Ejemplo La ecuación es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea. La ecuación es de primer orden, no lineal y no homogénea. La ecuación es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea. El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo La ecuación se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en t y de segundo orden en x. La ecuación se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en x e y. La ecuación se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en x, y y t. Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas. Y por último : Cálculo vectorial El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Se llama magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, etc. Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su dirección y sus sentido. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la velocidad, la aceleración, o la fuerza. DEFINICIÓN DE VECTOR: Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro elementos diferenciadores, que son: --Punto de aplicación u origen. --Dirección o línea de acción, que es la recta que contiene al vector. --Sentido del vector. --Módulo del vector, que es su longitud. Clasificaremos los vectores en libres, deslizantes, fijos y axiales. *Vectores libres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k, perpendiculares entre sí y unitarios. Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio manteniendo el módulo y el sentido constantes y su dirección paralela. Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie. *Vectores deslizantes. Pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido. *Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos característicos; vienen dados pues por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Como ejemplo se puede citar la velocidad de una partícula móvil o la fuerza aplicada en un punto. *Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de rotación, y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través de un convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector. La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de vector axial. Otras definiciones de vectores son las siguientes: 1.-Vectores equipolentes son aquellos vectores libres que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. 2.- Los vectores de cualquier clase que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios se llaman vectores opuestos. Operaciones con vectores. La suma o resultante de dos vectores v1 y v2 es el vector que se obtiene de unir el origen de v1 con el extremo de v2, cuando éste se aplica en el extremo del primero. La definición vista para suma de vectores se llama regla de paralelogramo. La diferencia de dos vectores se define como el vector que resulta de sumar el primero con el opuesto del segundo. El producto de un número real k por un vector v es otro vector kv que tiene la misma dirección que v, el mismo sentido que v o el contrario, según que k sea positivo o negativo, y un módulo que resulta de multiplicar k por el módulo de v. Todo vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y el mismo sentido que él. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí. El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector. --El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él. --El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección a y b tienen el mismo sentido. --Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son perpendiculares. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características: --El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman. --La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b. --El producto vectorial no es conmutativo. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL *Momento de un vector respecto de un punto. El momento se define como el producto vectorial del vector de posición del origen del vector respecto de O por el propio vector. *Momento de un par de vectores respecto de un punto. Se llama par de vectores al conjunto formado por dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios. La suma o resultante de ambos es el vector nulo. *Momento de un vector con respecto a un eje. Se define como la proyección sobre dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. El momento es independiente del punto elegido sobre el eje. DERIVACIÓN VECTORIAL. Cuando a cada punto (x, y, z) del espacio se le puede asociar un escalar que depende de sus coordenadas, F(x, y, z), se dice que hemos definido un campo escalar F. Un ejemplo de campo escalar sería el definido por las temperaturas en cada punto de la tierra en un instante determinado. Cuando un campo escalar es independiente del tiempo se llama campo escalar permanente o estacionario. Cuando un campo vectorial es independiente del tiempo se llama campo vectorial permanente o estacionario. VARIOS --Cuando decimos de una función que es derivable se quiere indicar que esa función tiene las primeras derivadas parciales continuas. Y de yapa un problema resuelto sobre cálculos vectoriales: Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales. Respuesta El enunciado del teorema del coseno dice que en todo triángulo se verifica que la longitud de uno de sus lados es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (o menos) dos veces el producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. Matemáticamente este enunciado se expresa: por lo que la razón del problema es demostrar la anterior expresión.Considerando el triángulo de la figura adjunta, podemos orientar sus lados de tal manera que se cumpla: de acuerdo con la definición de suma de vectores. Si desarrollamos el producto escalar del vector ejercicios resueltos por si mismo considerando los dos miembros, tenemos : Igualando ambas expresiones nos queda : Observando la figura vemos que el ángulo formado por los lados b y c es el denotado por A. Además, el signo positivo o negativo se refiere a un ángulo agudo u obtuso. Por todo ello: Y sacando raices cuadradas : como queríamos demostrar. Pasate por mis otros posts: dedicado a operaciones simples: http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9048479/Clase-de-Matematica---Parte-1.html dedicado a fracciones: http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9055105/Clase-de-Matematica---Parte-2.html dedicado a puntos y rectas,angulos,circunferencias y poligonos : http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9063466/Clase-de-Matematica---Parte-3.html dedicado a Geometria pura: http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9159061/Clase-de-Matematica---Parte-4.html el dedicado a potencias, raices y angulos adyacenteshttp://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/9462764/Clase-de-Matematica---Parte-6.html