Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2+ 6x − 3
2P(x) − U (x) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
42P(x) − R (x) =
= 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x2 + 11
6S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =
= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) =
= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)=
= x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) =
= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=
= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =
= x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=
= x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =
= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +
+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
3Dividir los polinomios:
1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
4 Dividir por Ruffini:
1 (x3 + 2x +70) : (x+4)
2(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0
3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2+ 6x − 3
2P(x) − U (x) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
42P(x) − R (x) =
= 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x2 + 11
6S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =
= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 =
= 1
2Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) =
= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)=
= x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) =
= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=
= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =
= x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=
= x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =
= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +
+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
3Dividir los polinomios:
1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
4 Dividir por Ruffini:
1 (x3 + 2x +70) : (x+4)
2(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0
3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56