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Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 1Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3 Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3 Multiplicación de polinomios Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: División de polinomios Resolver la división de polinomios: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2 Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8 10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente. División por Ruffini Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. Resolver por la regla de Ruffini la división: (x4 −3x2 +2) : (x −3) 1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 6Sumamos los dos coeficientes. 7Repetimos el proceso anterior. Volvemos a repetir el proceso. Volvemos a repetir. 8El último número obtenido, 56 , es el resto. 9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18 Ejercicios y problemas resueltos de polinomios 1Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: 1P(x) + Q (x) = = (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 = = x3 + x2+ 6x − 3 2P(x) − U (x) = = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = = 4x2 − 1 − x2 − 2 = = 3x2 − 3 3P(x) + R (x) = = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = = 10x2 + x 42P(x) − R (x) = = 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) = = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = = 2x2 − x − 3 5S(x) + T(x) + U(x) = = (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = = 3x2 + 11 6S(x) − T (x) + U(x) = = (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = = 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = = 1 2Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 −2 x − 2 Calcular: P(x) + Q(x) − R(x) = = (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) = = x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 = = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5 P(x) + 2 Q(x) − R(x) = =(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)= = x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 = = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9 Q(x)+ R(x) − P(x)= = (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) = = x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1= = 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1= = x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3 1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = = x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6= = x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 = = x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) = = 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x 3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) = = 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 − − 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x + +18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 = = 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 + +8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 = = 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18 3Dividir los polinomios: 1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2) 2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3) 3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1 4 Dividir por Ruffini: 1 (x3 + 2x +70) : (x+4) 2(x5 − 32) : (x − 2) C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0 3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3) C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56