Qué es un politopo + mi arte geométrico

Voy a compartir con ustedes una serie de obras de arte y estructuras a modo de exploración sobre los poliedros y sus simetrías.


Primero veamos un par de conceptos matemáticos.
¿Qué es un poliedro?
Es una figura geométrica tridimensional, que une puntos o vértices con segmentos rectos o aristas, de tal forma que se forman varias caras planas poligonales unidas por las aristas y los vértices.
Etimológicamente proviene del griego y quiere decir "muchos asientos"


Que sean figuras de la tercera dimensión significa que la posición de los vértices de un poliedro es descrita por 3 números, las coordenadas del espacio tridimensional.
Si cambiamos la cantidad de coordenadas nos estaremos refiriendo a objetos análogos de otras dimensiones. Un polígono por ejemplo se genera por vértices de 2 coordenadas, o sea que es plano o de 2 dimensiones. En cambio si para describir los vértices de una figura se necesitan 4 o más números, esas figuras son hiperdimensionales. Aunque estos objetos hiperespaciales sean difíciles de imaginar, conservan muchas propiedades de los polígonos y poliedros. Este concepto generalizado, para cualquier dimensión, de una figura resultante de unir una serie de puntos con líneas rectas se conoce como politopo, que quiere decir "muchos espacios".



Ya dijimos que un Poliedro se forma con: vértices, aristas y caras planas. Un politopo de la cuarta dimensión en cambio está formado por: vértices, aristas, caras planas y poliedros unidos por sus caras.
Un politopo de cualquier dimensión está formado por elementos de la dimensión anterior.
Así un politopo de 2 dimensiones se llama polígono (muchos ángulos); uno de 3 Poliedro (muchos asientos) hecho de polígonos; uno de 4 policoro (muchas celdas) hecho de poliedros.

Veamos unos ejemplos de figuras análogas de varias dimensiones.

Empecemos por el cuadrado, un polígono regular de 4 lados. Sus aristas son ortogonales, repitiendo muchos cuadrados se tesela o rellena el plano como baldosas.


La siguiente figura al sumar una dimensión es el cubo, un poliedro regular formado por 6 cuadrados. Al igual que el cuadrado, al unir muchos cubos se tesela el espacio tridimensional.



Si queremos sumar una dimensión más se pone más difícil de visualizar, porque no tenemos integrado biológicamente el concepto de 4 direcciones ortogonales entre si. El siguiente en la secuencia es el teseracto o 4-cubo, formado por 8 cubos unidos por todas sus caras. Al igual que sus contrapartes de menor dimensión, rellena el hiperespacio de la cuarta dimensión ortogonalmente. Este conjunto de politopos se llama politopos de medida.


Una dimensión mas nos encontramos con el penteracto o 5-cubo. Formado por 10 teseractos.




Ahora veamos la secuencia de politopos que empieza con el triángulo regular.
Sigue el tetraedro regular formado por 4 triángulos
Luego el símplex de la 4 dimension, un policoro formado por 5 tetraedros



Empezando con el pentágono regular, pasamos al dodecaedro regular con 12 pentágonos, luego el hecatonicosacorón con 120 dodecaedros.



Los restantes sólidos platónicos con sus contrapartes de una dimensión mayor:




A diferencia de la tercera dimensión, que tiene 5 poliedros regulares convexos. En la cuarta hay 6 policoros regulares convexos. Se suma el icositetracorón, hecho de 24 celdas con forma de octaedro. Tiene los vértices del 4-cubo y los del 16-cell, lo que lo hace analogo del dodecaedro rómbico (aunque este no regular)


También se pueden formar estas secuencias con politopos no regulares pero sí uniformes, o sea que no todos sus elementos son simétricos.
Los teselados arquimedeanos se forman con 2 o más polígonos regulares.



Al subir una dimensión se encuentran los
sólidos de arquímedes. No son regulares ya que tienen mas de un tipo de cara, aunque sus lados y puntas son intercambiables.




Los policoros que ocuparían el lugar de los sólidos de Arquímedes son los policoros regulares truncados.



Si marcamos el centro de las caras y lo tomamos como nuevo vértice obtenemos la figura dual.



Los duales de los sólidos de arquimedes son los sólidos de catalán. A pesar de tener todas sus caras iguales no son regulares, ya que sus puntas y lados no son intercambiables.



Hasta ahora vimos politopos convexos. También los hay regulares no convexos, como el pentagrama regular o los sólidos de Kepler-Poinsot


Mis esculturas y domos
Es momento de mostrar el arte que vengo creando desde hace 2 o 3 años.