Bueno gente este es mi primer Post en Taringa, sepan disculpar si no es el mas prolijo o si carece de imágenes, tratare de perfeccionarme con el tiempo.
Hoy les voy a enseñar como averiguar los auto-vectores y auto-valores. Todos temas por cierto, que entran de cabeza en los finales o parciales. En fin, basta de parloteo, comencemos:
La explicación va a ser con un ejemplo, ya que facilita las cosas,y la generalización se las dejo a ustedes
Empecemos por definir que es un auto-vector: es aquel vector que luego de sufrir una transformación (en este caso lineal) se convierten en paralelos a si mismos:
f(v) = av con a perteneciente a los reales (es un escalar!)
En forma matricial:
Matrices F . V = W siendo F, la matriz asociada a la transformación.
Orden de las matrices (nxn) (nx1) (nx1)
Y lo que nosotros buscamos sera que se cumpla:
F . V = a V
restando aV en ambos miembros quedara:
F . V - a V = 0
sacando factor común V : (F - aI ) . V = 0
siendo I la matriz identidad
Finalmente, aplicando la propiedad de determinantes, nuestra condición de auto-vector queda determinada como :
det | ( F - aI ) |
Ahora si, sabiendo este, procedemos al ejemplo:
Se tiene la transformación lineal tal que a todos los vectores del espacio R3, los proyecta sobre el plano xy, en forma explicita:
F(R3) / (x,y,z) = ( x,y,0)
La matriz de la transformación asociada sera:
F=
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Aplicando la condición de auto-vector el sistema a resolver sera:
F=
1-a 0 0
0 1-a 0
0 0 -a
(se nota que en la diagonal principal lo único que hice fue restar el escalar)
Aplicando Laplasse, el determinante de la matriz F sera:
- (1-a) . (1 - a) . a = 0 a esto, se lo llama POLINOMIO CARACTERÍSTICO.
Resolviendo la ecuación, se deducen los valores de a
a = 0
a = 1 (es una raiz doble) ESTOS SON LOS AUTO-VALORES DE LA T.L.
Ahora lo que tenemos que hacer es resolver el sistema, para cada valor de a (para los que no se acuerdan det | ( F - aI ) | )
Para a1 = 0 , el sistema sera:
F=
1 0 0 | 0 Esta es la matriz ampliada
0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
De aca surgen las siguientes condiciones x=0 ; y=0 , z = w (siendo w cualquier números perteneciente a los reales )
El sub espacio generado sera entonces: S1 = (x,y,z) = (0 , 0 , w)
Y una base del mismo B1 = ( 0, 0, 1)
Ahora resolvemos el sistema para a = a2 = 1
F=
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 -1 | 0
Devuelta ahora las condiciones son x= q ; y= e y z= 0 (siendo q, e números reales)
El sub espacio generado sera entonces: S2 = (x,y,z) = (q, e, 0)
Y la base B2 = ( 1, 0 , 0); ( 0, 1, 0 )
Comentar es agradecer!
Hoy les voy a enseñar como averiguar los auto-vectores y auto-valores. Todos temas por cierto, que entran de cabeza en los finales o parciales. En fin, basta de parloteo, comencemos:
La explicación va a ser con un ejemplo, ya que facilita las cosas,y la generalización se las dejo a ustedes
Empecemos por definir que es un auto-vector: es aquel vector que luego de sufrir una transformación (en este caso lineal) se convierten en paralelos a si mismos:
f(v) = av con a perteneciente a los reales (es un escalar!)
En forma matricial:
Matrices F . V = W siendo F, la matriz asociada a la transformación.
Orden de las matrices (nxn) (nx1) (nx1)
Y lo que nosotros buscamos sera que se cumpla:
F . V = a V
restando aV en ambos miembros quedara:
F . V - a V = 0
sacando factor común V : (F - aI ) . V = 0
siendo I la matriz identidad
Finalmente, aplicando la propiedad de determinantes, nuestra condición de auto-vector queda determinada como :
det | ( F - aI ) |
Ahora si, sabiendo este, procedemos al ejemplo:
Se tiene la transformación lineal tal que a todos los vectores del espacio R3, los proyecta sobre el plano xy, en forma explicita:
F(R3) / (x,y,z) = ( x,y,0)
La matriz de la transformación asociada sera:
F=
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Aplicando la condición de auto-vector el sistema a resolver sera:
F=
1-a 0 0
0 1-a 0
0 0 -a
(se nota que en la diagonal principal lo único que hice fue restar el escalar)
Aplicando Laplasse, el determinante de la matriz F sera:
- (1-a) . (1 - a) . a = 0 a esto, se lo llama POLINOMIO CARACTERÍSTICO.
Resolviendo la ecuación, se deducen los valores de a
a = 0
a = 1 (es una raiz doble) ESTOS SON LOS AUTO-VALORES DE LA T.L.
Ahora lo que tenemos que hacer es resolver el sistema, para cada valor de a (para los que no se acuerdan det | ( F - aI ) | )
Para a1 = 0 , el sistema sera:
F=
1 0 0 | 0 Esta es la matriz ampliada
0 1 0 | 0
0 0 0 | 0
De aca surgen las siguientes condiciones x=0 ; y=0 , z = w (siendo w cualquier números perteneciente a los reales )
El sub espacio generado sera entonces: S1 = (x,y,z) = (0 , 0 , w)
Y una base del mismo B1 = ( 0, 0, 1)
Ahora resolvemos el sistema para a = a2 = 1
F=
0 0 0 | 0
0 0 0 | 0
0 0 -1 | 0
Devuelta ahora las condiciones son x= q ; y= e y z= 0 (siendo q, e números reales)
El sub espacio generado sera entonces: S2 = (x,y,z) = (q, e, 0)
Y la base B2 = ( 1, 0 , 0); ( 0, 1, 0 )
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