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Bueno gente este es mi primer Post en Taringa, sepan disculpar si no es el mas prolijo o si carece de imágenes, tratare de perfeccionarme con el tiempo. Hoy les voy a enseñar como averiguar los auto-vectores y auto-valores. Todos temas por cierto, que entran de cabeza en los finales o parciales. En fin, basta de parloteo, comencemos: La explicación va a ser con un ejemplo, ya que facilita las cosas,y la generalización se las dejo a ustedes Empecemos por definir que es un auto-vector: es aquel vector que luego de sufrir una transformación (en este caso lineal) se convierten en paralelos a si mismos: f(v) = av con a perteneciente a los reales (es un escalar!) En forma matricial: Matrices F . V = W siendo F, la matriz asociada a la transformación. Orden de las matrices (nxn) (nx1) (nx1) Y lo que nosotros buscamos sera que se cumpla: F . V = a V restando aV en ambos miembros quedara: F . V - a V = 0 sacando factor común V : (F - aI ) . V = 0 siendo I la matriz identidad Finalmente, aplicando la propiedad de determinantes, nuestra condición de auto-vector queda determinada como : det | ( F - aI ) | Ahora si, sabiendo este, procedemos al ejemplo: Se tiene la transformación lineal tal que a todos los vectores del espacio R3, los proyecta sobre el plano xy, en forma explicita: F(R3) / (x,y,z) = ( x,y,0) La matriz de la transformación asociada sera: F= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Aplicando la condición de auto-vector el sistema a resolver sera: F= 1-a 0 0 0 1-a 0 0 0 -a (se nota que en la diagonal principal lo único que hice fue restar el escalar) Aplicando Laplasse, el determinante de la matriz F sera: - (1-a) . (1 - a) . a = 0 a esto, se lo llama POLINOMIO CARACTERÍSTICO. Resolviendo la ecuación, se deducen los valores de a a = 0 a = 1 (es una raiz doble) ESTOS SON LOS AUTO-VALORES DE LA T.L. Ahora lo que tenemos que hacer es resolver el sistema, para cada valor de a (para los que no se acuerdan det | ( F - aI ) | ) Para a1 = 0 , el sistema sera: F= 1 0 0 | 0 Esta es la matriz ampliada 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0 De aca surgen las siguientes condiciones x=0 ; y=0 , z = w (siendo w cualquier números perteneciente a los reales ) El sub espacio generado sera entonces: S1 = (x,y,z) = (0 , 0 , w) Y una base del mismo B1 = ( 0, 0, 1) Ahora resolvemos el sistema para a = a2 = 1 F= 0 0 0 | 0 0 0 0 | 0 0 0 -1 | 0 Devuelta ahora las condiciones son x= q ; y= e y z= 0 (siendo q, e números reales) El sub espacio generado sera entonces: S2 = (x,y,z) = (q, e, 0) Y la base B2 = ( 1, 0 , 0); ( 0, 1, 0 ) Comentar es agradecer!