Gauss no es lo que era...

Vamos con una pequeña introducción a CARL FRIEDRICH GAUSS .



Junto a Arquímedes y Newton , Gauss es sin duda uno de los tres genios de la historia de las Matemáticas. Sus aportaciones en todos los campos matemáticos fueron increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser valorados debidamente.

Las aportaciones de Gauss en todos los campos de la Matemática son inestimables: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis... Cualquier gran descubrimiento matemático a lo largo de este siglo encuentra detrás la alargada sombra de Gauss. Sólo en Francia otra figura es capaz de hacerle sombra, Cauchy , dando paso, o mejor obstaculizando, a dos jóvenes genios: Abel y Galois.



El príncipe de las matemáticas....cuando el famoso viajero y aficionado a las ciencias barón Alexander von Humboldt preguntó a Laplace quién era el más grande matemático de Alemania, Laplace replicó Plaff. "Y entonces Gauss, ¿qué?", preguntó el asombrado von Humboldt. "Oh, - dijo Laplace-, Gauss es el mayor matemático del mundo."

SU VIDA

Nacido en Brunswic , el 30 de abril de 1777, de familia humilde. Su padre se opuso siempre a que su hijo tuviera una educación adecuada a sus posibilidades. Sin embargo, cuando su padre murió en 1806, Gauss ya había realizado una obra inmortal. En el lado opuesto, su madre Dorothea Benz y el hermano de ésta, Friedrich, fueron fundamentales en la educación y posterior carrera del genio. El apoyo de su madre y tío pudieron con la intención de su padre de mantener a Gauss en la gnorancia. Tan grande fue el cariño que Gauss sintió por su madre que se ocupó de ella los últimos 20 años de la vida de ésta despreocupándose de su fama y carrera.

Son muchas las anécdotas que muestran la precocidad intelectual del pequeño Gauss. Con tres años se permitió corregir los cálculos que realizaba su padre cuando éste laboraba la nómina de sus empleados.. Con anterioridad ya había aprendido a leer. Destacaba también su capacidad para el cálculo mental

A los siete años ingresó en su primera escuela, dirigida por un tal Büttner, personaje que no destacaba precisamente por sus dotes pedagógicos. De esta época se cuenta que a los 10 años , cuando fue admitido en la clase de aritmética, sorprendió a todos por la rapidez y procedimiento seguido en la resolución de un problema del tipo "Halla la suma de los 100 primeros números enteros". Gauss agrupó los números en 50 parejas de números que sumaban 101 La sorpresa de Büttner fue tal, que de su propio bolsillo, regaló al joven el mejor texto asequible de Matemáticas
La casualidad hizo que el joven ayudante de su maestro, Johann Martín Bartel, fuera también un apasionado de las matemáticas. Ambos pasaron muchas horas juntos estudiando, ayudándose en las dificultades y ampliando demostraciones. En esta época se producen sus primeros trabajos sobre el teorema del binomio.

El propio Batels, por medio de algunos de sus influyentes amigos, consiguió presentar a Gauss al Duque de Brunswic, Carl Wilhelm Ferdinand en 1791. A partir de entonces el duque se encargó de pagar la educación de Gauss.

En Febrero de 1792 Gauss ingresó en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conociendo la obra de Euler , Lagrange y, sobre todo, los Principia de Newton. Cuando dejó el colegio, en Octubre de 1795, aún no había decidido si se dedicaría a las matemáticas o a la filología.

En 1796, un mes antes de cumplir los 19 años, Gauss consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás , como se exigía en la Geometría desde Grecia. Algunos autores consideran este hecho fundamental para que Gauss se decidiera por las matemáticas y no por la filología.

A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la Teoría de los Números , La Ley de la Reciprocidad Cuadrática. Después de su regreso a Brunswic en 1799, el duque tuvo que ser convencido para seguir con su ayuda económica a Gauss. Como contrapartida debió presentar su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt. En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra..

Quizás la obra más importante publicada por Gauss sean las Disquisitiones Arithmeticae de 1801. A partir de aquí las matemáticas puras dejan de ser el único objetivo para Gauss y comienza a interesarse por la astronomía, dedicándole la mayor parte de su tiempo durante 20 años. y no faltándole los detractores que le ridiculizaron por "malgastar"su tiempo en el cálculo de órbitas de planetas menores.

En 1809 publicó sus segunda obra maestra, Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol en secciones cónicas.

El 9 de octubre de 1805, un aumento de su pensión permitió que se casara con Johanna Ostoff. De este feliz matrimonio (Gauss lo considera así en una carta dirigida a su amigo Wolfgang Bolyai), nacieron tres hijos, José , Minna y Luis, el primero de los cuales heredó la capacidad de su padre para los cálculos mentales. Sin embargo 4 años después, con el nacimiento de Luis, su esposa murió. Al año se volvió a casar con Minna Waldeck, amiga íntima de su primera mujer, con la que tuvo dos hijos y una hija.

Su benefactor, el duque Fernando, quedó mortalmente herido tras enfrentarse a las tropas napoleónicas al frente de las fuerzas prusianas. Después de regresar a Brunswic y tras ser humillado por el propio Napoleón, el duque debió huir, muriendo en la casa de su padre en Altona, el 10 de Noviembre de 1806. La pérdida de su patrón obligó a Gauss a buscar algún medio de vida. La solución no tardó en llegar y en 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen con la única obligación, si fuera necesario, de dar cursos de matemáticas a los estudiantes de la universidad. La enseñanza no fue una tarea que agradara a Gauss, solamente con buenos matemáticos se sentía cómodo impartiendo sus lecciones. En esta época debió soportar la presión de los invasores franceses y pagar una contribución involuntaria de 2000 francos a la caja de guerra de Napoleón (su orgullo no le permitió aceptar algunas donaciones para poder pagar esta multa).

A pesar de su capacidad en materias como estadística, seguros y aritmética política, Gauss no ocupó nunca un cargo político. Además de su dedicación a la Ciencia tenía sus hobbies en la lectura de la literatura europea y clásica, en su interés crítico por la política mundial, en su dominio de lenguas extranjeras y de nuevas ciencias como la botánica y la mineralogía.

Desde 1821 hasta 1848 Gauss trabajó en Geodesia. Entre 1830 y 1840 se dedicó a la física matemática, concretamente electromagnetismo, magnetismo terrestre la teoría de la atracción según la ley de Newton. Los últimos años de su vida, entre 1841 y 1855, los dedicó al "análisis situs" y a la geometría asociada a funciones de variable compleja.

Después de 20 años en los que a penas había salido de Göttingen, en junio de 1854 salió para visitar la construcción del ferrocarril entre su ciudad y Cassel. Los caballos se desbocaron y fue despedido fuera del carruaje, aunque no tuvo ningún daño, si sufrió un fuerte "shock". Después de recuperarse llegó a presenciar la inauguración del ferrocarril a Göttingen.

A principios de 1855 comenzaron a aparecer los síntomas de su última enfermedad. Con dificultades, siguió trabajando hasta que murió pacíficamente el 23 de febrero de 1855.

SU OBRA

Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección.

El polígono
Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.

Las Disquisiciones
En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae" , obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría. Además de organizar lo ya existente sobre los números enteros, Gauss aportó ideas propias. Fundamentó su teoría a partir de una aritmética de números congruentes que utilizó en la demostración de importantes teoremas, quizás el mas famoso de todos y el favorito de Gauss sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. En esta obra se muestra claramente una tendencia en todo el trabajo de Gauss, en sus demostraciones se elimina toda traza que pueda hacer ver el proceso que las ha hecho posibles. Esto ha sido un elemento negativo para las generaciones siguientes que han tenido muchos problemas para comprender los métodos empleados por Gauss.

No se puede dejar sin señalar la aportación de Gauss a la teoría de números complejos. Después de que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los represento geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. En 1811 Gauss demostró el hoy llamado teorema de Cauchy (él no llegó nunca a publicarlo). También elaboró un método para descomponer los números primos en producto de números complejos.

Un nuevo planeta
El descubrimiento del "nuevo planeta", llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al joven matemático. Era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss acepto este reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que el había predicho con sus detallados cálculos. Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían representarse mediante una curva acampanada (hoy conocida como campana de Gauss). También utilizó el método de mínimos cuadrados. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar.

Gauss y la Geodesia

Hacia 1820 Gauss comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma teórica como e forma práctica. En 1821 se le encargo, por parte de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, el estudio geodésico de Hannover. A tal fin Gauss ideó el heliotropo, instrumento que refleja la luz del Sol en la dirección especificada, pudiendo alcanzar una distancia de 100 Km y haciendo posible la alineación de los instrumentos topográficos. Trabajando con los datos obtenidos en sus observaciones elaboró una teoría sobre superficies curvas, según la cual, las características de una superficie se pueden conocer midiendo la longitud de las curvas contenidas en ella. A partir de los problemas para determinar una porción de superficie terrestre surgieron problemas más profundos, relativos a todas las superficies alabeadas, terminándose por desarrollar el primer gran periodo de la geometría diferencial.

En el mundo del magnetismo
A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.

Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas. En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes.

La característica principal de la obra de Gauss, especialmente en matemática pura es haber razonado con lo particular como si fuera general.

SU ÉPOCA
LA REVOLUCIÓN INDUSTRIAL.

La primera gran revolución industrial tuvo lugar en Inglaterra, a finales del siglo XVIII. Supuso el paso de una economía agrícola a otra caracterizada por procesos de producción más mecanizados El trabajo se trasladó de la fabricación de productos primarios a la de bienes manufacturados y servicios. Se crearon grandes fábricas para sustituir a los pequeños talleres familiares. Estas fábricas se concentraron en áreas geográficas reducidas, iniciándose las migraciones desde las zonas rurales a las nuevas áreas industriales. Esta nueva estructura económica tuvo como consecuencia la aparición de nuevas clases sociales.

La Revolución Industrial supuso, al principio, una reducción del poder adquisitivo de los trabajadores y una pérdida de calidad en su nivel de vida. Más tarde, se tradujo en un aumento de la calidad de vida de toda la población del país industrializado.

LA REVOLUCIÓN FRANCESA.

Entre los años 1789 y 1799 se desarrolló en Francia una revolución que términó con el derrocamiento de Luis XVI y la proclamación de la I República, con lo que se pudo poner fin al Antiguo Régimen en este país. Entre las causas que tuvieron como consecuencia este cambio social podemos destacar los excesivos impuestos y el empobrecimiento de los trabajadores, la incapacidad de las clases gobernantes (nobleza y clero) para hacer frente a los problemas de Estado y la agitación intelectual alentada por el Siglo de las Luces. Actualmente se tienden a minimizar las razones sociales y se consideran las razones políticas como principales causantes de la revolución.
Toma de la Bastilla, 12 de julio de 1789 Se considera la toma de la Bastilla, el 12 de julio de 1789 como punto de arranque de la revolución. La creada Asamblea nacional constituyente aprobó una legislación por la que quedaba abolido el régimen feudal y señorial y se suprimía el diezmo. En otras leyes se prohibía la venta de cargos públicos y la exención tributaria de los estamentos privilegiados. La Asmblea pasó después a elaborar una constitución fundada en los principios de Libertad, Igualda y Fraternidad.
El primer borrador fue aprobado por el propio monarca el 14 de julio de 1790. En octubre de 1793 Luis XVI fue guillotinado.






”J. B. Büttner, maestro de un colegio alemán, castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Carl Friedrich Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050.” Una historia mil veces contada. Todos los profesores de primaria y secundaria se la cuentan a sus alumnos. ¿Ocurrió de verdad? ¿Hay alguna evidencia histórica? Sigue la historia contando que “Gauss, el niño prodigio, se dio cuenta de que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., todos suman 101, y que hay 50 de estos pares, resultando 50 × 101 = 5050. La fórmula más general para la suma aritmética de 1 al n es n(n+1)/2.” ¿Cómo verificó el profesor la respuesta de Gauss? ¿Conocía el maestro de escuela la fórmula para sumar una serie aritmética? ¿El maestro sumó uno a uno los números del 1 al 100 alguna vez en su vida? ¿Esta historia pertenece al mismo género que la historia de Newton y la manzana, o de Arquímedes y la bañera? Nos cuenta todo lo que se sabe de verdad (históricamente) sobre esta historia Brian Hayes, “Gauss’s Day of Reckoning. A famous story about the boy wonder of mathematics has taken on a life of its own,” American Scientitst, 94: 200, May-June 2006 (web y pdf).

Antes de nada quisiera recordar que hoy, Día del Niño, es el ideal para esta entrada. Además, muchos ya sabéis que el blog Gaussianos arrancó el 26 de julio de 2006 con esta historia. Una de las muchas anécdotas asociadas a la infancia del Príncipe de las Matemáticas (ya meneada). Esta entrada también viene a las mil maravillas para la III Edición del Carnaval de Matemáticas organizado en esta ocasión por Rafael Miranda Molina en su blog GeometriaDinamica.cl. Vayamos pues al grano.

Brian ha recopilado 109 versiones de la anécdota de Gauss publicadas en libros, desde historias y biografías académicas a libros de texto y enciclopedias, literatura infantil, sitios web, trabajos de estudiantes, grupos de noticias Usenet, e incluso una novela. Todas las narraciones describen el mismo incidente y todas derivan de la misma fuente, aunque unas lo describen de una forma y otras de otra forma completamente distinta (resumen en forma de tabla). Un libro conmemorativo sobre la vida de Gauss (“Gauss zum Gedächtnis“) que se publicó en 1856, justo un año después de la muerte de Gauss, cuyo autor fue Wolfgang Sartorius, el barón von Waltershausen, profesor de mineralogía y geología en la Universidad de Göttingen, donde Gauss desarrolló su carrera académica.

La elegía a Gauss de Sartorius rebosa cariño y admiración. De la infancia de Gauss, Sartorius nos relata que aprendió a leer él solo (autodidacta) y que a los tres años le corrigió un error aritmético a su padre. Gauss fue escolarizado de forma temprana en la ciudad de Braunschweig, cerca de Hanover. Sartorius nos cuenta la historia de la famosa anécdota como sigue (mi traducción al español de una traducción al inglés que utiliza Hayes del original en alemán).



En 1784, tras su séptimo cumpleaños, el pequeño entró en una escuela pública de educación primaria donde las clases las impartía un profesor llamado Büttner. La escuela estaba ubicada en una habitación sombría, de techo bajo, suelo desigual, … donde cerca de un centenar de pupilos de Büttner iban y venían. El profesor imponía una disciplina rígida y nadie podía llevarle la contraria. En esta escuela, que seguía el patrón de la Edad Media, Gauss llevaba dos años como alumno sin provocar ningún incidente reseñable.

El primer día que Gauss asistió a la clase de Aritmética, en la que había niños de hasta 15 años, ocurrió un incidente que Gauss solía contar ya anciano para el deleite de sus contertulios. Cuando el profesor proponía un problema, el alumno que acababa el primero tenía que llevar su pizarrita hasta la mesa del profesor. El segundo que lo lograra colocaba la suya encima, y así sucesivamente. El primer día que el joven Gauss entró en clase, el profesor Büttner, a viva voz, estaba dictando un problema de aritmética para sus alumnos. Justo al acabar de dictar el problema, Gauss colocó su pizarrita sobre la mesa del profesor, quien con absoluta seguridad afirmó: “Debe estar mal.” Mientras, el resto de los alumnos continuaron con su tarea (contando, multiplicando, y sumando). Büttner recorría la clase observando a sus alumnos con una mirada irónica, casi compasiva, hacia sus alumnos. Sólo un niño estaba sentado, callado, con su tarea ya finalizada, consciente de que la había resuelto correctamente y que su resultado era el único posible.

Al final de la clase, el profesor dio por acabado el examen y volvió las pizarras hacia arriba. La primera, la del joven Gauss, sólo contenía un número. Cuando Büttner lo leyó, para su sorpresa y la de todos los presentes, resultó que la respuesta del joven Gauss era correcta. Muchos de sus compañeros, sin embargo, habían obtenido una respuesta errónea.



Sartorius no nos dice que problema de aritmética era, ni hace mención a la suma aritmética de los números 1 al 100, ni al truco/fórmula que empleó Gauss para resolver el problema. Sin embargo, hay una traducción al inglés del libro de Sartorius escrita por la bisnieta de Gauss, Helen Worthington Gauss, que incluye un inciso entre corchetes que aclara el problema artimético en cuestión: “una serie de números del 1 al 100″. ¿Recordaba la nieta de Gauss el problema exacto que le relatara su bisabuelo? Obviamente, no, no le conoció personalmente. En opinión de Brian Hayes, la bisnieta de Gauss se dejó llevar por la descripción del problema por parte de escritores posteriores a Sartorius, que adornaron la anécdota con un problema concreto, como para destacar la genialidad del Príncipe de los Matemáticos.

¿Cuándo apareció por primera vez una mención a que el problema resuelto por Gauss fue la suma de 1 a 100? Sorprendentemente, la intensa búsqueda de Brian Hayes concluye que la primera aparición de ese detalle “aritmético” en la anécdota es de 1938, unos 80 años después de que Sartorius escribiera sus memorias. Aparece en una biografía de Gauss escrita por Ludwig Bieberbach (un matemático conocido como el instrumento principal de antisemitismo nazi en la comunidad matemática alemana). Bieberbach adorna su relato indicando el método de sumas de pares que suman 101 como método utilizado por Gauss. ¿Bieberbach es la fuente de esta anécdota?

En las descripciones de esta anécdota de la infancia de Gauss, cada versión aporta su propia “poesía” y “métrica.” Hay variaciones que presentan la suma de 0 a 100, o de 1 a 99, incluso de 1 a 1000. De hecho, Eric Temple Bell autor de “Men of Mathematics,” publicado por primera vez en 1937, describe la anécdota de Sartorius indicando que el problema era sumar 81297 + 81495 + 81693 + 100899 + …, donde cada número se obtiene sumando 198 al anterior, y la suma contiene 100 de estos números.

¿Qué afirman las biografías “serias” y modernas de Gauss? El historiador W.K. Bühler (1981) ni siquiera menciona la anécdota. Algo que sí hacen otros historiadores como G. Waldo Dunnington (1955), Tord Hall (1970), Karin Reich (1977) y M.B.W. Carpa (2006). Todos ellos describen la anécdota mencionando la suma de los enteros de 1 a 100, y todos describen el método de Gauss en términos de formar parejas que suman 101. Ninguno de estos autores expresa escepticismo acerca de la anécdota (a menos que el silencio de Bühler se pueda interpretar como señal de duda).

En resumen, ¿cuál es la moraleja de esta historia? Pues muy fácil, no hay evidencia histórica de que la anécdota ocurriera, salvo que Gauss afirmaba que sorprendió a su profesor de Aritmética el primer día de clase.

¡Qué bonita anécdota para iniciar un blog como Gaussianos!

Ah, por cierto, la fórmula de la suma aritmética de números enteros (1+2+3+…+n = n(n+1)/2) se conoce, como mínimo, desde el s. VIII.