Paradojas y Curiosidades Matemáticas

Paradojas y Curiosidades Matemáticas

¿Qué es una paradoja?

Una paradoja es una idea extraña, opuesta a lo que se considera verdadero o a la opinión general. En otras palabras, es una proposición en apariencia verdadera que conlleva a una contradicción lógica o a una situación que infringe el sentido común. En retórica, es una figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción.



Paradoja Matemática:

Se llaman paradojas matemáticas ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o, aún, una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.





Paradoja del cuadrado perdido

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas. Está compuesta de dos figuras en forma de triángulo de base 13 y altura 5, formadas por las mismas piezas, donde uno aparenta tener un "agujero" de 1×1 en él.



La clave de la paradoja está en el hecho de que ninguno de los triángulos tiene la misma área que sus piezas componentes. El área de cada pieza es:

Pieza roja: 12 cuadrados.
Pieza verde: 8 cuadrados.
Pieza amarilla: 7 cuadrados.
Pieza azul: 5 cuadrados.

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de 32 cuadrados, pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de 32,5 cuadrados.

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que en realidad tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas. Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es 20.55°, mientras que en el azul es 21.8°. Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.



Cuerno de Gabriel



Evangelista Torricelli (Ideador del Cuerno de Gabriel) (+ Info)

En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.



La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.



En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Paradoja de los numeros interesantes

La paradoja de los números interesantes, que se sirve de algunas propiedades matemáticas pero que puede catalogarse más adecuadamente como humorística, busca demostrar que todos los números naturales (1,2,3......etc) son "interesantes". Los llamados números interesantes se originan de la costumbre entre los matemáticos y también aficionados, de encontrar propiedades curiosas en ciertos números, que por poseerlas se consideran más bien números interesantes que aburridos.



Supongamos que existen números que no son interesantes. Entonces podemos efectuar una partición de los números naturales en dos subconjuntos, por una parte los números interesantes y por otra parte los números aburridos. Ahora bien, como en todo subconjunto de números naturales existe siempre uno que es más pequeño que todos los otros, 2 el subconjunto de los aburridos tiene un número que es el más pequeño de este grupo. Pero en razón de tal propiedad, ese número se transforma en un número interesante: se trata en efecto del más pequeño de los números aburridos. Este nos coloca en la obligación de sacarlo de este grupo y ponerlo en el de los interesantes. Pero ahora un nuevo número dentro de los aburridos será el más chico y por la misma razón tendremos que trasladarlo al subconjunto de los interesantes y así sucesivamente hasta que quede un solo número no interesante. Pero este último número tiene la interesantísima propiedad de ser el único número no interesante, habrá también que trasladarlo al grupo de los interesantes y con esto, el grupo de los números no interesantes se transformó en un conjunto vacío .Nuestra suposición inicial nos hizo desembocar en una contradicción o aporía, lo que demuestra que tal suposición era falsa. Entonces tenemos que concluir que no existen números que no son interesantes.


Hotel Infinito



David Hilbert (+Info)

El Hotel Infinito es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert . Esta metáfora explica, de manera simple e intutitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor).



El hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.

"—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?
—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.
—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.
—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Infinito más uno

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.



Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación.



Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.



Infinito número de infinitos

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo (p distinto de 1) o alguna potencia de éstos (pn), les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación en la que se encontraban ((pn)2) y se cambiaran a esa habitación.
Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (distinto de 1), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da pt.
Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.




Paradoja de Ellsberg

La paradoja de Ellsberg es un fenómeno conocido de la teoría de la decisión. Cuando la gente debe escoger entre dos opciones, la mayoría se decide por aquella donde la probabilidad es conocida. Puede caer en contradicción con el axioma de independencia en la teoría de la decisión.



Daniel Ellsberg describió su experiencia en 1961: una urna contiene 90 bolas donde 30 son rojas. El resto de las bolas son amarillas o negras, su distribución es desconocida.

Algunas personas fueron sometidas a una apuesta:

Apuesta A: Quien saque una bola roja gana una cantidad monetaria, las amarillas y las negras pierden.
Apuesta B: Quien saque una bola amarilla gana, el resto pierde.

La mayoría de las personas optan por la A.

Después se cambian las apuestas de una manera que en ambos casos, las bolas negras son desde ahora ganadoras:

Apuesta C: Quien saque una bola roja o negra gana, las amarillas pierden.
Apuesta D: Quien saque una bola amarilla o negra gana, las rojas pierden.

En este caso, la mayoría de las personas escogen la D. Lo cual entra en contradicción con la decisión anterior de escoger la apuesta A, a pesar de que la bola negra es ganadora en ambas C y D, lo cual no aporta diferencia alguna (por esto es una Paradoja). Ellsberg explica a éste resultado entre el riesgo y la incertidumbre: en la noción de riesgo, la probabilidad es conocida (ejemplo: lanzamiento de dados) pero no la incertidumbre.

Ellsberg explica este resultado por la toma de decisión entre el riesgo y la incertidumbre, algo que se denominó como incertidumbre knightiana. Las personas sometidas al test suponen prudentemente que la distribución desconocida entre bolas rojas y amarillas pueden traerles desventaja y por lo tanto escogen en ambas ocasiones bajo el riesgo conocido (1/3 en la primera prueba, 2/3 en la segunda)



Número de Hardy-Ramanujan



Hardy y Ramanujan





El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes:

1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3.

El nombre de estos números proviene de la siguiente historia que tiene como protagonistas a Godfrey Harold Hardy (+ Info) , y Ramanujan (+Info) "Una vez, en un taxi (en inglés taxicab) de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un "hola" seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes".

Hardy, a continuación, le preguntó si conocía la respuesta para las cuartas potencias. Ramanujan contestó, tras pensarlo un momento, que no podía ver la respuesta, pero que pensaba que debía ser un número extremadamente grande. De hecho, la respuesta, obtenida mediante cálculos con ordenador, es 635318657 = 134^4 + 133^4 = 158^4 + 59^4

Espero que mi aporte les sirva! saludos!.