Un poco de Matematicas..

Holas gente de T!!!... de nuevo con los post de Mate!!! esta vez les traigo los Logaritmos!!! este es en particular un tema q no me gusta :s.. pero es necesario en programas de polimodal, y en las universidades!!!!... una vez q les prestes atencion, veras q no es nada de otro mundo, Bueno, no los sermoneo mas jejeje.. Comenzemos


LOGARITMOS!!!!



Comenzemos con las definicion!!!:



En matemáticas , el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división , la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.


Una definicion mas MATEMATICA!!!
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como:n = logb x, lo que permite obtener n. 2

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y sólo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x"
La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .x tiene que ser un número positivo .n puede ser cualquier número real .Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.





Apliquemos esta definicion!!!!


log2 8 = 3 pues 2 3= 8.log10 √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16log 121 = 0 pues (12)0 = 1log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49log1010 = 1 pues (10)1= 10


Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales .
Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo:
log3 1/81 es igual a - 4 pues (3)- 4 = 1/81




De la definición de logaritmo podemos deducir:




No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.



Logaritmos especiales
Existen dos logaritmos cuya notación es especial:
El Decimal (o base 10) que se simboliza log b (log b = log 10 b)
El Natural o Neperiano (o base e, con e ~ 2,71) que se simboliza ln b (ln b = log e b)
Estos logaritmos son los que pueden resolverse con la calculadora científica.













loga( m . n) = logam + logan


log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3
log5125 = 3 pues53= 125





El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

loga( m : n) = logam - logan


log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2
log2 4 = 2










loga bn = n. log a b


a) log2 8 4 = b) 4 . log 2 8
a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096
b) 4. 3 = 12










loga√b = logab
2


a) log2 √16 b) log2 16
2
a) log2 4 = 2
b) 4 = 2
2








loga 1 / b = - loga b


log2 1 / 3 = -1 log2 3








loga b = log b / log a



De acuerdo a lo visto¿Cómo calcularías el log 5 3?
Para calcular logaritmos en los cuales el argumento no es potencia de la base (es decir, que no resulten fáciles de calcular mentalmente), se debe recurrir a un método llamado cambio de baseutilizando logaritmos convenientes o logaritmos decimales o naturales.


En símbolos:
log a b = log c b / log c a = log b / log a = ln b / ln a
EJEMPLOS:
Log 5 3 = Log 3 / log 5 ~ 0,48 / 0,7 ~ 0,69
Log 2 7 = Ln 2 / ln 7 ~ 1,95 / 0,69 ~ 2,83
Log 8 4 = Log 2 4 / log 2 8 = 2 / 3





Logaritmo natural

El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano .
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperianoal logaritmo cuya base es el número e , un número irracional cuyo valor aproximado es 2,718281... El logaritmo natural se le suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x) , porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya quee2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático , puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de "natural" para el logaritmo con esta base concreta. 2 Esta definición puede extenderse a los números complejos .
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:
y corresponde a la función inversa de la función exponencial :


La función logaritmo natural ln:R+→R se define como:














Propiedades de la función logarítmicaEl dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.Tiene límites infinitos en y en .La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: .La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con y .La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial : .

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.
Entonces se dan dos casos:
Base mayor que la unidad (a > 1)




Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).
En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.
Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:
(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)
-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +



En este tramo la función es negativa porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x "
-Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real
ya que se ve como la función llega de -" y continua hacia + ".
-Continuas y crecientes: la función es creciente en todo su dominio porque...
...x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.
-Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas


no es simétrica respecto del origen
no es simétrica respecto del eje de ordenadas
-Asintotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ),



no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que
x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.
lim log 5 x = - "
x ! 0 +
lim log 5 x = + "
x ! 0 -
No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

Pero no nos hagamos tantos lios... lo voy a hacer mas sencillo.. usando Youtube!!! q mejor manera de aprender q viendo como se hace, no les parece?!!!