La paradoja de Banach-Tarski
Primero un enunciado:
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:
De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.
Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.
Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.
Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.
La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.
Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:
Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol
El hotel infinito de Hilbert
El gran matemático alemán David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Se lo reconoce mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX, y ha contribuido a esa ciencia desarrollando conceptos como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hizo aportes significativos a la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general, e incluso algunos historiadores sostienen que descubrió las ecuaciones correctas para la relatividad general antes que Einstein, aunque esto nunca ha sido probado. En 1900 presentó un conjunto de 23 problemas matemáticos que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX. Parte de su trabajo se relacionó con la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor, explicando algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo.
Para explicar los conceptos relacionados con el infinito, Hilbert utilizaba a menudo el ejemplo de un hotel muy especial, uno que contaba con infinitas habitaciones. Hilbert imaginó un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, 4... y así hasta el infinito. Lo primero que tenemos que recordar es que “infinito” no significa “un número grande”. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor (“un número grande” +1) que lo superase. Aclarado esto, podemos intentar comprender las paradojas que plantea el Gran Hotel de Hilbert.
Imaginemos que una noche de tormenta llega al hotel de infinitas habitaciones un viajero con evidentes intenciones de alojarse en él, pero se encuentra con un cartel en la puerta que avisa que está completo. De todos modos, decide entrar y ver si hay alguna posibilidad de pasar la noche resguardado de la lluvia. Rápidamente, la recepcionista -posiblemente una matemática consumada- encuentra una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente. Cuando todos los pasajeros se han movido de habitación, la primera queda disponible para el recién llegado. Uno podría preguntarse qué ocurrió con el pasajero que se encontraba en el último cuarto, ya que en un hotel convencional se hubiese quedado sin lugar. Sin embargo, en el Gran Hotel de Hilbert no hay algo así como “último cuarto”, por lo que ese problema no existe. El infinito siempre admite “un lugar más” al final.
Este mecanismo de correr a los pasajeros hacia los cuartos con números más grandes puede aplicarse todas las veces que sea necesario para alojar cualquier número extra de pasajeros. Si llegasen 10, 20 o 256.345 pasajeros, bastaría con desplazar ese número de cuartos a cada una de las personas alojadas, y asunto resuelto. Pero ¿qué pasaría si al hotel, ya completo, llegasen infinitos pasajeros más?
Hotel infinito, pasajeros infinitos
Hilbert contaba que un día -estando su hotel lleno con infinitos huéspedes- llegó el representante de una agencia de viajes con un problema. Tenia una excursión compuesta por infinitos turistas que necesitaban hospedarse esa noche en el hotel, y así se lo planteo a la astuta recepcionista. No podia recurrir al truco anterior, ya que los pasajeros a desplazar nunca hubiesen terminado de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. Sin embargo, pudo resolver el problema. Simplemente, pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y las infinitas habitaciones impares quedaron libres. Así, los infinitos turistas pudieron alojarse sin problemas. ¿No es asombroso?
Hotel infinito y pasajeros infinitos en autobuses infinitos
Así planteado, parecería que el hotel no puede llenarse nunca. Imaginemos por un momento que al Gran Hotel llegasen infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno. ¿Podríamos alojarlos en un hotel que “solo” tuviese infinitas habitaciones? El problema exigió que la inteligente recepcionista demorase un par de segundos en encontrar una solución. Se acomodó las gafas, se arrimó al intercomunicador, y le pidió a todos los pasajeros que se encontraban en una habitación cuyo número fuese primo (números solo divisibles por si mismos o por la unidad), o alguna potencia de estos, que calculasen el resultado de elevar el número 2 a la potencia correspondiente al número de la habitación en la que se encontraban y se cambiasen a esa habitación. Esto provocó algún que otro revuelo entre los pasajeros, pero finalmente todos los implicados en el cambio llegaron a su nueva habitación.
Hecho esto, la recepcionista sonrío con aires de suficiencia y asignó a cada uno de los autobuses un número primo (distinto de 1), y a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar. Hizo que cada uno de los nuevos pasajeros calculasen el numero de habitación que le correspondía elevando el número primo correspondiente a su autobús al número impar que le tocó. Dado que existe una cantidad infinito de números primos, y un número infinito de números impares, se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que “solo” tiene un número infinito de habitaciones.
La paradoja de Berry
Cualquier expresión que utilicemos para referirnos a algo tendrá un número finito de palabras. Esto incluye los números: construimos palabras arbitrariamente largas para referirnos a números como el "cuatrocientos veintisiete mil doscientos catorce" (427.214), un número al que podemos referirnos utilizando la expresión entrecomillada, que tiene sólo 5 palabras.
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Ahora bien, puesto que hay un número finito de palabras en castellano, habrá un máximo número de expresiones que podamos formar que contengan, p.ej., catorce palabras o menos. Sea N ese número. N (el número de sintagmas nominales que podemos formar en castellano con menos 15 palabras) es un número casi inimaginablemente elevado, pero finito, como todos los naturales. De esas N expresiones, sólo un número mucho más pequeño de ellas, sea M, corresponde a expresiones que en castellano se pueden usan correctamente para designar números (desde "cuarenta y dos" hasta "el número de los apóstoles", y, puesto que varias de esas expresiones representarán al mismo número, resulta que habrá un número todavía más pequeño, Ñ, que indica la cantidad de números naturales para los que en castellano tenemos alguna expresión correcta que permite designarlos con menos de quince palabras. Llamemos también Ñ al conjunto de esos números, aquellos para los que el castellano tiene alguna forma de designarlos usando menos de quince palabras. Todos los números naturales que no pertenecen a Ñ poseen una característica en común: en castellano correcto, sólo podemos referirnos a ellos usando más de 15 palabras. Ahora bien, dado que Ñ es un conjunto de números naturales, habrá alguno de ellos que sea el más pequeño de todos, a saber, el único número que satisface la siguiente propiedad:
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n= El menor número natural al que no podemos referirnos usando menos de quince palabras.
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¡¡¡Pero esa expresión contiene CATORCE palabras!!!
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Es decir, la conclusión es que podemos referirnos con catorce palabras al menor número natural al que no podemos referirnos usando menos de quince palabras.
Probabilidades y fechas de cumpleaños.
Si queremos buscar fenómenos anti-intuitivos, en el campo de la probablidad tenemos un gran filón. Vámonos a unos ejemplos de los que ya he hablado por aquí: probabilidad y cumpleaños. Por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad que de 23 personas cogidas al azar, haya 2 que cumplan años el mismo día?
Al que no esté muy familiarizado con cálculos de probabilidades, quizá piense que una muy baja. Pero todo lo contrario, hay más posibilidades de que esto no pase a que esto no pase. Pero quizá sea más sorprendente lo siguiente:
Si tengo 1600 personas de contactos en facebook, ¿cuál es la probabilidad de que un día no cumpla ninguno de ellos años? Bueno, aquí la respuesta cambia mucho dependiendo de como interpretemos la pregunta:
Si prefijamos un día y queremos saber la probabilidad de que ese día nadie cumpla años, la probabilidad va a ser muy baja.
Sin embargo si nos preguntamos sobre cual es la probabilidad de que que haya algún día a lo largo del año en la que nadie cumple años, sorprendentemente tendremos que ¡¡es mayor que 99 sobre 100!! Algo realmente sorprendente.
Un cinturón que rodea la Tierra
Imaginad que le ponemos a la tierra un cinturón en el ecuador (para simplificar, supondremos que la tierra es totalmente esférica). Pues bien, la longitud de este cinturón debería de tener una longitud de más de 40 millones de metros, vamos, que nos iba a salir un poco caro. Cortemos el cinturón por un punto cualquiera y y añadamos por allí un metro de cinturón más. Una vez hecho esto, con esta anchura extra, separemos el cinturón de la tierra la misma distancia por todos los puntos. Sin hacer ningún cálculo y respondiendo intuitivamente, ¿cuánta será la altura que se elevará el cinturón? ¿Podremos meter un folio por debajo? Uhm, no sé... ¿y la mano? Si no estuvieseis sospechando que hay una trampa, seguro que habríais dicho que no...
Pues la respuesta es que se podrá levantar casi ¡16 centímetros! ¿Cómo es eso? Bien, si L es la longitud inicial del cinturón en metros y R es el radio de la tierra en metros, y por lo tanto de la circunferencia que forma el cinturón, tendremos la siguiente relación:
Ahora bien, si añadimos un metro al cinturón, el nuevo radio del cinturón será R+h, donde h es la altura a la que se elevará el cinturón uniformemente del suelo, teniendo la siguiente relación:
Restando ahora las dos expresiones anteriores tendremos que
Despejando ahora ,
que aproximadamente son 16 centímetros. ¿Sorprendente? El problema es que uno piensa que debe de ser mucho menos porque 1 metro es despreciable al lado de más de 40 millones de metro de cinturón. Pero claro, lo mismo pasa con 16 centímetros al compararlos con el radio de la Tierra, de hecho ambas cantidades serán despreciables en la misma proporción.
La sandía al Sol
Imaginad que tenemos una sandía que pesa unos 10 kilos y que está formada en un 99% por agua. Posiblemente sea un porcentaje demasiado alto, pero bueno, pensad que un recién nacido tiene un 75% de agua y la sandía parece que tenga más. En cualquier caso son datos ficticios. Venga, vayamos al grano. Pongámosle un peso a la sandía, por ejemplo 10Kg e imaginemos que dejamos la sandía al sol y además partida, por lo que pierde agua con lo que al día siguiente, la cantidad de agua que tiene la sandía es un 98% de masa total. Así a ojo, sin echar ningún cálculo, ¿cuánto creéis que pesará la sandía?
Pues bien, si el 99% era agua y ahora el 98% es agua y solo ha perdido agua, nuestra primera impresión es que habrá perdido poco peso, que de 10 kilos, seguro que pesa más de 9 kilos, de hecho casi 10, ¿no? Pues os podéis imaginar, ¡no! Pierde mucho más, de hecho se quedará en tan solo ¡¡5 kilos!! Podéis echar los cálculos y comprobarlo. Para que no sea tan intuitivo podemos plantearlo de otra forma:
Si de 10 kilos, un 1% es materia solida y tras perder líquido, la parte sólida es ahora del 2%, ¿cuánto será la masa tras perder líquido?
Lo veis ahora más intuitivo, ¿no? Pensad que la proporción de materia sólida es ahora el doble que antes, sin que esta materia haya aumentado. Un 1% de 10 kilos son tan solo 100 gramos. ¿De qué cantidad 100 gramos será el 2%? Pues si la cantidad (mediad en kilos) es X, tendremos la siguiente igualdad:
Entonces:
