Paradojas

Bueno estuve platicando con un amigo y al parecer hay paradojas muy inquietantes, es como cuando habia suficiente tecnologia y nadie sabia que era primero el huevo o la gallina, era un enigma, ahora todos lo saben. Pero aun asi las paradojas son mas complejas tal es la complejidad que seria una secuencia de nunca acabar. Una paradoja (del lat. paradoxus, y este del gr. παράδοξος) es una idea extraña, opuesta a lo que se considera verdadero o a la opinión general. En otras palabras, es una proposición en apariencia verdadera que conlleva a una contradicción lógica o a una situación que infringe el sentido común. En retórica, es una figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción. La paradoja es un poderoso estímulo para la reflexión y así mismo los filósofos a menudo se sirven de las paradojas para revelar la complejidad de la realidad. La paradoja también permite demostrar las limitaciones de las herramientas de la mente humana. Así, la identificación de paradojas basadas en conceptos que a simple vista parecen simples y razonables ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas. La paradoja o antinomia de Pinocho. pinocho dice que le crecera la nariz pero solo le crece si dice alguna mentira , asi que al decir que su nariz crecera esta supustamente dice la verdad pero al decir la verdad su nariz no crecera y eso seria una mentira por que el dijo que si creceria. Paradoja del Cumpleaños. La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es del 100% para 367 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos). En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%. Paradoja de Galileo. La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que sus partes. En su último trabajo científico, Dos nuevas ciencias, Galileo Galilei hizo dos afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (esto es, el cuadrado de un entero, desde ahora llamado simplemente cuadrado), mientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva. En sus célebres "Diálogos" Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido en el que no se pueden relacionar en una correspondencia uno-a-uno. Hotel infinito. El Hotel Infinito es una construcción abstracta que interviene en varias metáforas inventadas por el matemático alemán David Hilbert. Esta metáfora explica, de manera simple e intutitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor). Todas las metáforas de Hilbert describen por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de las encontradas por Georg Cantor. Numerosas personas han creado historias completas sobre la metáfora de David Hilbert. El hotel más grande del mundo Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría. "—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones? —No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000. —Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande. —Y qué tal si alguien construyera uno con..." Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño. Infinito más uno Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera. Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación. Dos infinitos Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema. Infinito número de infinitos Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas? El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo (p distinto de 1) o alguna potencia de éstos (pn), les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación en la que se encontraban ((pn)2) y se cambiaran a esa habitación. Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (distinto de 1), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar (t), de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da pt. Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones. Paradoja del mentiroso. La paradoja del mentiroso es en realidad un conjunto de paradojas relacionadas. El ejemplo más simple de la misma surge al considerar la oración: «Esta oración es falsa». Dado el principio del tercero excluido, dicha oración debe ser verdadera o falsa. Si suponemos que es verdadera, entonces todo lo que la oración afirma es el caso. Pero la oración afirma que ella misma es falsa, y eso contradice nuestra suposición original de que es verdadera. Supongamos, pues, que la oración es falsa. Luego, lo que afirma debe ser falso. Pero esto significa que es falso que ella misma sea falsa, lo cual vuelve a contradecir nuestra suposición anterior. De este modo, no es posible asignar un valor de verdad a la oración sin contradecirse. A través de los siglos, el interés por resolver esta paradoja y sus variantes ha impulsado una enorme cantidad de trabajo en semántica, lógica y filosofía en general. Esta paradoja muestra que es posible construir oraciones perfectamente correctas según las reglas gramaticales y semánticas pero que pueden no tener un valor de verdad según la lógica tradicional. Consideremos una de las formas más simples de esta paradoja: “Esta oración es falsa”: * Si suponemos que esa afirmación es verdadera, entonces lo que dice es verdadero. Ya que la oración afirma que es falsa, entonces debe ser falsa. Por tanto, si suponemos que es verdadera, alcanzamos una contradicción. * Si suponemos que la oración es falsa, entonces lo que afirma debe ser falso. Ya que afirma que la oración es falsa, entonces la oración debe ser verdadera. De nuevo, si suponemos que es falsa, alcanzamos una contradicción. * La más simple: “La oración posterior es cierta” y “La oración anterior es falsa”. * Una tarjeta, en una de cuyas caras aparece: “Lo que está escrito en la otra cara es cierto” y en la otra: “Lo que está escrito en la otra cara es falso”. * Un libro, que en la página 23 tiene escrito “Lo que está escrito en la página 24 es cierto” y en la página 24: “Lo que está escrito en la página 23 es falso”. Paradoja de Russel. La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria. La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera: En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias: -- En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí! El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz. Paradoja de Curry. Llamada así por Haskell Curry, la paradoja de Curry ocurre en teoría ingenua de conjuntos o en lógicas ingenuas. Intuitivamente, la paradoja de Curry es: "si no me equivoco, Y es verdad", donde Y puede ser cualquier declaración lógica ("el negro es blanco", "1=2", "Gödel existe", "el mundo terminará en una semana"; si llamamos esa declaración X, entonces tenemos que X afirma "Si X es verdad, entonces Y es verdad." Considere la declaración X "Si esta declaración es verdad, el mundo terminará en una semana," que será abreviada como "si X es verdad, entonces Y". Por lo tanto, al asumir X, Y es verdad. La declaración anterior se puede reformular "si X es verdad, entonces Y". Porque esa declaración verdadera es equivalente a X, X es verdad. Por lo tanto, Y es verdad, y el mundo terminará en una semana. Paradoja de Grelling-Nelson. La paradoja de Grelling-Nelson es una paradoja verbal formulada en 1908 por Kurt Grelling y Leonard Nelson. Es una reformulación de la paradoja del barbero y la paradoja de Russell. La paradoja utiliza las palabras inventadas "autológico" y "heterológico". Una palabra es autológica si se describe a sí misma. Por ejemplo "corto" es autológica, ya que la palabra "corto" es corta. "Sofisticado" también es autológica. Las palabras que no son autológicas se denominan heterológicas. "Largo" es una palabra heterológica, al igual que "monosilábico". La pregunta que da lugar a la paradoja es: ¿Es "heterológico" heterológico? No hay una respuesta consistente: si lo es, entonces no lo es, y si no lo es, entonces lo es. Comenta por que la frase de abajo es cierta. Comenta por que la frase anterior es mentira.