Buenas noches amigos de Taringa! Como estan? Les traigo la parte 3 de derivación. Con respecto a esta parte, y hablando sobre la demostración del caso 3 de derivacion de potencias que viene en este post, casi al final, fue la mas sencilla de muchas demostraciones que se pueden tomar para este tipo de funcion. Por eso, no es necesario usar limites ni salvar limites en esta demostración. Es muy simplificada y entendible.
Anteriormente vimos los teoremas básicos para diferenciación de las funciones más comunes. Ahora, debemos entender que solo sirven para ciertas funciones en particular. Ahora, si el lector de esta parte gusta leer el último ejercicio de la parte 2, este nos decía que teníamos que demostrar que la derivada de la raíz cuadrada era 2 raíces cuadradas elevadas a la -1. Ahora bien, con ese nuevo teorema quizás se pensó que se podía utilizar en otro tipo de funciones, pero no es así, solo es un caso particular de potencia con exponente fraccionario, o sea, Caso 3 de teorema de diferenciación de potencias. La intención de esa demostración era abrir la mente del lector para entender la demostración que estará al final de este post. Mientras tanto, empezaremos por explicar brevemente en qué consiste la regla de la cadena para funciones compuestas.
La idea de usar regla de la cadena se basa en que una función compuesta es del tipo aplicar f en el dominio de g o aplicar g en el dominio de f. O sea, son 2 funciones por separado y para derivarlas correctamente, debemos derivar ambas, no solo la composición visible a simple vista.
O sea= (f o g)(x)= f(g(x)) y (g o f)(x)= g(f(x)).
Ejemplo ilustrativo: Sea f(x)= x^2 y sea g(x)= x+1 entonces sus composiciones estarán dadas por =
(f o g)(x)= (x+1)^2 y (g o f)(x)= x^2 +1.
Ahora que más o menos nos damos la idea de que consiste una función compuesta, entonces formulemos la Regla de la cadena formalmente.
Teorema: Regla de la cadena para funciones compuestas
Si la función g es diferenciable en x, y la función f es diferenciable en g(x), entonces:
Sea (f o g)(x)= f(g(x)) entonces (f o g)’ (x)= f’ (g(x)). g ‘ (x)
Como este teorema tiene una demostración extensa y además, es muy sofisticada, no vendrá incluida en este post. Se remite a aquellos que quieran verla y comprobarla, a buscarla en algún lugar de la web, y sino, en un libro de cálculo.
Ahora, como ya vimos el teorema de la regla de la cadena, pondremos un Ejemplo ilustrativo para que observen como se deriva por regla de la cadena.
Ejemplo ilustrativo.
Diferenciación implícita
La técnica de diferenciación implícita surge directamente de la regla de la cadena. La diferenciación implícita se usa para calcular la derivada de una función implícita.
Una función implícita es aquella que no está formulada de la forma tradicional y=f(x), sino que esta oculta entre las variables x e y, siendo x el dominio e y= f(x).
Con este ejemplo debería bastar como para que quede entendido a que se refiere la diferenciación implícita, los hay mucho mas difíciles, peor no es necesaria tanta complejidad.
Ahora, vamos a ver una técnica que no solamente se usa para derivación, sino principalmente para integrales, pero resulta muy útil para derivar funciones de tipo trigonométricas (serán analizadas con detalle en la parte 4).
Se llama la sustitución.
La idea de este viejo truco es reemplazar a algo que nos resulta difícil de calcular cuando se trata de la función entera, por algo más sencillo, como por ejemplo una variable cualquiera, luego de eso, podemos usar a la función entera como una función compuesta(sí en fin, más de lo mismo )
Supongamos que tenemos la siguiente función:
Más adelante, cuando se hable de integración, se comprenderá la importancia de este método.
Ahora, como broche de oro a esta parte 3, veremos el Caso 3 de derivación de potencias, en profundidad.
Teorema: Regla de diferenciación de potencias con exponente fraccionario (caso 3)
Ahora, una vez visto esto, se insta al lector del post a que realice los siguientes ejercicios a continuación (si el lector no vio los post anteriores, se insta a que los lea antes de proseguir):
Amigos, hemos llegado al final de este post, recuerden recomendar el post , comentar si les gusto, puntuar si lo desean, sirve como estimulo :3.
Espero lo hayan disfrutado.
Un saludo grande y especial para todos!
Recuerden que en el próximo post se vienen las derivadas para funciones trigonométricas, y para trigonométricas inversas en parte 5. Luego, para los que desean, hare dos post interesantes sobre la derivada como tasa de variación, algunos problemas de movimiento rectilíneo, y también sobre el comportamiento de las funciones y sus graficas, en base a derivación.
Sayonara
Anteriormente vimos los teoremas básicos para diferenciación de las funciones más comunes. Ahora, debemos entender que solo sirven para ciertas funciones en particular. Ahora, si el lector de esta parte gusta leer el último ejercicio de la parte 2, este nos decía que teníamos que demostrar que la derivada de la raíz cuadrada era 2 raíces cuadradas elevadas a la -1. Ahora bien, con ese nuevo teorema quizás se pensó que se podía utilizar en otro tipo de funciones, pero no es así, solo es un caso particular de potencia con exponente fraccionario, o sea, Caso 3 de teorema de diferenciación de potencias. La intención de esa demostración era abrir la mente del lector para entender la demostración que estará al final de este post. Mientras tanto, empezaremos por explicar brevemente en qué consiste la regla de la cadena para funciones compuestas.
La idea de usar regla de la cadena se basa en que una función compuesta es del tipo aplicar f en el dominio de g o aplicar g en el dominio de f. O sea, son 2 funciones por separado y para derivarlas correctamente, debemos derivar ambas, no solo la composición visible a simple vista.
O sea= (f o g)(x)= f(g(x)) y (g o f)(x)= g(f(x)).
Ejemplo ilustrativo: Sea f(x)= x^2 y sea g(x)= x+1 entonces sus composiciones estarán dadas por =
(f o g)(x)= (x+1)^2 y (g o f)(x)= x^2 +1.
Ahora que más o menos nos damos la idea de que consiste una función compuesta, entonces formulemos la Regla de la cadena formalmente.
Teorema: Regla de la cadena para funciones compuestas
Si la función g es diferenciable en x, y la función f es diferenciable en g(x), entonces:
Sea (f o g)(x)= f(g(x)) entonces (f o g)’ (x)= f’ (g(x)). g ‘ (x)
Como este teorema tiene una demostración extensa y además, es muy sofisticada, no vendrá incluida en este post. Se remite a aquellos que quieran verla y comprobarla, a buscarla en algún lugar de la web, y sino, en un libro de cálculo.
Ahora, como ya vimos el teorema de la regla de la cadena, pondremos un Ejemplo ilustrativo para que observen como se deriva por regla de la cadena.
Ejemplo ilustrativo.
Diferenciación implícita
La técnica de diferenciación implícita surge directamente de la regla de la cadena. La diferenciación implícita se usa para calcular la derivada de una función implícita.
Una función implícita es aquella que no está formulada de la forma tradicional y=f(x), sino que esta oculta entre las variables x e y, siendo x el dominio e y= f(x).
Con este ejemplo debería bastar como para que quede entendido a que se refiere la diferenciación implícita, los hay mucho mas difíciles, peor no es necesaria tanta complejidad.
Ahora, vamos a ver una técnica que no solamente se usa para derivación, sino principalmente para integrales, pero resulta muy útil para derivar funciones de tipo trigonométricas (serán analizadas con detalle en la parte 4).
Se llama la sustitución.
La idea de este viejo truco es reemplazar a algo que nos resulta difícil de calcular cuando se trata de la función entera, por algo más sencillo, como por ejemplo una variable cualquiera, luego de eso, podemos usar a la función entera como una función compuesta(sí en fin, más de lo mismo )
Supongamos que tenemos la siguiente función:
Más adelante, cuando se hable de integración, se comprenderá la importancia de este método.
Ahora, como broche de oro a esta parte 3, veremos el Caso 3 de derivación de potencias, en profundidad.
Teorema: Regla de diferenciación de potencias con exponente fraccionario (caso 3)
Ahora, una vez visto esto, se insta al lector del post a que realice los siguientes ejercicios a continuación (si el lector no vio los post anteriores, se insta a que los lea antes de proseguir):
Amigos, hemos llegado al final de este post, recuerden recomendar el post , comentar si les gusto, puntuar si lo desean, sirve como estimulo :3.
Espero lo hayan disfrutado.
Un saludo grande y especial para todos!
Recuerden que en el próximo post se vienen las derivadas para funciones trigonométricas, y para trigonométricas inversas en parte 5. Luego, para los que desean, hare dos post interesantes sobre la derivada como tasa de variación, algunos problemas de movimiento rectilíneo, y también sobre el comportamiento de las funciones y sus graficas, en base a derivación.
Sayonara