A manera de introducción
Medir distancias astronómicas es un trabajo curioso. Por la imposibilidad de hacer una mensura física. Entonces ¿cómo se calculan estas distancias?
La distancia a la Luna se midió, por primera vez, en el siglo II A.C. Por Hiparco de Nicea, con uso de geometría elemental. Hiparco solo contaba con su ingenio para calcular la distancia a la que orbitaba la Luna. Y se puede reconstruir sus cálculos.
Tierra y Luna a escala
Primeros pasos
¿Qué observamos en la Luna?
Se observa un círculo de aproximadamente medio grado de radio. Es decir, que en la circunferencia de su órbita, cabrían 650 diámetros lunares.
En lenguaje matemático, la longitud de la órbita lunar es:
Siendo DL la distancia Tierra Luna. Además, por la observación directa de la luna, Hiparco determinó que en la órbita lunar está compuesta de 650 diámetros lunares:
Se desconoce cómo determinó esta cantidad, es probable que haya procedido de la siguiente manera:
Entonces:
dL es el diámetro de la luna que es, 2 veces el radio lunar RL, es decir:
Entonces.
Obtenemos dos relaciones, según se tenga que calcular el radio de la Luna o la distancia de la Tierra a la Luna:
Haciendo operaciones:
Cálculos
Para determinar la distancia Tierra Luna, nos falta determinar el tamaño de la Luna, es decir el radio de la Luna. Y para ello Hiparco observó los eclipses.
En un eclipse de Sol la Luna apenas tapa unos segundos el disco solar. En otros, los eclipses anulares, se deja ver un pequeño anillo de Sol alrededor de la sombra de la Luna. Y de todo esto, se deduce dos datos importantes.
El primero, la Luna pasa por delante del Sol en los eclipses solares, es evidente que la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol. No se sabía cuánto, pero está más cerca. Ahora sabemos dónde está el Sol, pero simplemente observando el cielo resulta imposible decir si el Sol está millones de kilómetros más atrás que la Luna o apenas unos cientos de metros.
Y el segundo dato importante que obtenemos de los eclipses solares es que el tamaño con el que se ve la Luna es prácticamente igual al tamaño con el que se observa el Sol. De hecho, desde la Tierra se observa a ambos con un “radio angular” de 31 segundos aproximadamente, existen variaciones debido a que las órbitas son elipses, no circunferencias.
De este último se deduce que, si vemos a la Luna y al Sol del mismo tamaño, sus radios y sus distancias deben guardar una misma proporción.
Realizar el análisis en el triángulo azul:
Durante un eclipse de sol, un observador situado en la Tierra (punto A), ve los centros de la Luna (punto D) y del Sol (punto B) alineados, así como sus extremos (representados por los puntos E y C). Cuando la Luna, tapa exactamente el Sol.
Se observa que los triángulos ABC y ADE son semejantes, porque están formados por rectas paralelas (AB es AD, AC es AE y BC es paralela a DE).
Tales de Mileto, midió la distancia a un barco, con solo dos estacas.
Su esquema sería:
Como ya había demostrado Tales de Mileto 4 siglos antes, en los triángulos semejantes se cumple que:
En el triángulo azul:
Y si utilizamos sus equivalentes astronómicos, tenemos que:
Siendo RS el radio del Sol y DS la distancia de la Tierra al Sol. Operamos esa expresión resultando:
Reordenando:
Es decir, que el radio del Sol es N veces el radio de la Luna, siendo N la proporción entre la distancia de la Tierra al Sol (DS) y la distancia de la Tierra a la Luna (DL).
Se deseaba conocer el radio de la Luna y lo que hemos conseguido es poner en función del radio del Sol (que no conocemos) y de la distancia al Sol (que tampoco conocemos).
Los eclipses de Luna
Los eclipses de Luna son más complicados. La Luna atraviesa el cono de sombra que proyecta la Tierra. La Luna e introduce en la sombra por un lado y vuelve a aparecer en el otro lado.
El esquema muestra el círculo de sombra que proyecta la Tierra, de radio RT’ (Otra incógnita), y la Luna en tres posiciones:
t1: cuando se inicia el eclipse y la Luna entra en la sombra.
t2: cuando la Luna se ha ocultado completamente.
t3: cuando la Luna comienza a salir por el otro lado de la sombra.
Como la Luna se desplaza siempre a la misma velocidad, el tiempo que la Luna tarda en ocultarse (t1-t2) es proporcional a la distancia que recorre: su diámetro (2RL).
Y que el tiempo que tarda en atravesar la sombra (t2-t3) debe ser proporcional a la distancia:
Que es la distancia entre la posición de la Luna en t2 y la posición de la Luna en t3.
Entonces, suponiendo una velocidad constante en el cono de sombra:
Hiparco midió t1, t2 y t3 en los eclipses de mayor duración. Y obtuvo que la Luna tarda en ocultarse 65 minutos y que tarda en atravesar la sombra 107 minutos (él no lo hizo en minutos, es probable que haya contado las gotas que salían de un recipiente agujerado). Nos queda entonces que:
Ordenando la expresión para que deje la relación entre RL y RT’:
Se desea calcular DL y se obtuvo las siguientes relaciones de los datos de observación:
Relación entre el radio lunar y la distancia a la Luna:
Relación entre el radio lunar y el solar:
Relación entre el radio lunar y el radio de la sombra de la Tierra:
Solo falta alguna relación entre el radio solar, la distancia a la luna y el radio de la sombra.
Eclipse de Luna
Se incluye el Sol.
El polígono rojo, es el área de interés.
Creamos el esquema de trabajo:
El esquema muestra el Sol, la Tierra y la Luna durante un eclipse de Luna. También muestra el radio solar (RS), el terrestre (RT) y el radio de la sombra de la Tierra (a la distancia de la Luna). También se muestran las distancias de la Tierra al Sol (DS) y de la Tierra a la Luna (DL).
Resolución.
En este triángulo el vértice que falta a la derecha. Se trata del punto donde se cruzarían el rayo de luz solar tangencial a la Tierra y a la Luna, que marca el inicio de la zona de sombra y la línea que une los centros del Sol, la Tierra y la Luna.
Trazando una paralela a esa línea se obtiene:
Nuevamente se tiene dos triángulos semejantes (formados por paralelas). Y se puede establecer relaciones en los triángulos ABC’ y ADE’:
Se observa que entre C y C’ la distancia es RT’. Igual que EE’. De manera que:
Y
Con lo que queda:
Y de las observaciones anteriores sabemos la relación entre la distancia al Sol (DS) y la distancia a la Luna (DL). Como
Entonces:
Operando la expresión anterior:
Se sabe que:
Quedando como:
Y también sabemos que el radio del Sol es N veces el radio de la Luna:
Remplazando en la expresión queda:
Que es una expresión que relaciona el radio de la Tierra RT, el radio de la Luna RL (que es lo que se desea calcular para determinar la distancia a la Luna) y una razón N que se sustituirá en breve.
Radio de la Luna
Haciendo operaciones, tenemos que:
Algunas consideraciones
La razón N, que es la relación entre la distancia a la Luna (DL) y la distancia al Sol (DS). Se sabe que la diferencia entre DL y DS es enorme, así que podríamos decir que N+1 es aproximadamente igual a N. lo cual Hiparco desconocía.
Hiparco pudo deducir que la distancia al Sol era mucho mayor que la distancia a la Luna por la paralaje.
La paralaje es la variación de la posición aparente de un objeto debido a su distancia cuando variamos la posición de observación. Si el objeto está en el infinito (o muy lejos) la paralaje es nulo y el objeto aparece siempre en la misma dirección. Por ejemplo la posición de las estrellas no varía según desde donde las veamos. Tampoco varía la del Sol. Pero sí la de la Luna.
Hiparco fue capaz de medir la paralaje lunar, pero no el solar. Por lo que pudo deducir que el Sol, sino estaba en el infinito, sí estaba a una gran distancia.
De hecho, la paralaje lunar es de casi un minuto, por lo que puede verse a simple vista, mientras que el del Sol es de poco más de 8 segundos (imposible de discernir a simple vista).
Hiparco supuso que el Sol estaba mucho más lejos que la Luna. Así que:
Con lo que la expresión anterior nos queda:
Eratóstenes había establecido el radio de la Tierra en 7181 Km ( : post anterior) aproximadamente, así que el radio de la Luna debía ser de:
Hiparco tendría su resultado en estadios. En realidad son 1700 Km
Error absoluto:
Error relativo:
Porcentualmente:
Toda una proeza para la época.
La distancia a la Luna
La relación inicial
De manera que:
Cuando en realidad, el radio medio de la órbita lunar es de 384.000 Km
Error absoluto:
Error relativo:
Porcentualmente:
Toda una proeza de ingenio y de observación.
Gracias por su tiempo.