soymatematicas

http://soymatematicas.com/que-sabes-de-pitagoras/

http://soymatematicas.com/como-representar-funciones-facilmente

http://soymatematicas.com/que-sabes-de-euler/ Estamos ante un matemático diferente, de gran humanidad, que se manifestaba en todas sus obras con un estilo claro y sencillo, alejado de la pedantería que rodea muchas publicaciones científicas. Además de un excelente divulgador, podemos decir que Euler ha sido el maestro de muchos matemáticos. Leonhard Euler nació en la ciudad suiza de Basilea en 1707 (3 · 569). Su padre, un pastor calvinista, lo inscribió en la universidad para cursar estudios de teología y humanidades, pero su interés se enfocó rápidamente hacia las matemáticas. Pronto consiguió recibir clases particulares del gran matemático Johann Bernoulli, quien desde un principio reconoció el gran talento del joven. Con 19 años presenta a la Academia de París su primera memoria científica, acerca de la distribución óptima de las velas en los barcos, sin haber visto ningún velero en su vida. Repartió su vida científica entre San Petersburgo y Berlín. El matemático más prolífico de todos los tiempos Buceando en cualquier rama de las matemáticas, su figura es gigantesca. Sus obras completas (una colección titulada Opera Omnia) ocupan más de 70 grandes volúmenes y pesan más de 170 kg! Es tal la importancia de sus descubrimientos, que cuesta pensar que sean obra de una sola persona. Es realmente increíble. Era un genio. Además de matemáticas, estudió teología, medicina, astronomía, física y lenguas orientales. Poseía una memoria extraordinaria. Era capaz de recitar la Eneida de memoria y en latín. ¿Cuántos números primos te sabes? Euler se sabía de memoria los 100 primeros y ojo al dato … ¡las primeras 6 potencias de todos estos números!. Era una prodigiosa calculadora mental. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes. Problemas de visión La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. A los 28 años perdió casi totalmente la visión de su ojo derecho. Y se quedó totalmente ciego los últimos 12 años de su existencia. Al igual que Beethoven que siguió componiendo a pesar de su sordera, Euler siguió realizando obras geniales a pesar de estar completamente ciego. De hecho, la última etapa de su vida, fue aún más productiva. Realizaba los cálculos mentalmente, y dictaba los resultados a sus hijos. (tuvo 13!) Notación matemática A lo largo del siglo XVIII amplió las fronteras del conocimiento matemático en todos sus campos. Euler intodujo el concepto de función matemática. Fue el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. También estableció la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (al número e también se le conoce como número de Euler). Introdujo la letra griega ∑ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria de los números complejos. Aunque no fuese el primero en usar el símbolo Π para hacer referencia a la razón entre la circunferencia y su diámetro, popularizó el uso de esta letra griega. La fórmula de Euler Es fácil de entender. Puedes coger un dado o un buen libro. Estamos rodeados de poliedros! Llamaremos C al número de caras del poliedro, A al número de aristas y V al número de vértices del poliedro. Euler demostró que en cualquier poliedro convexo (lo es si al unir dos de sus puntos, obtenemos un segmento contenido en dicho poliedro), se cumple siempre la siguiente relación: C+V=A+2 Una verdadera joya matemática.Fórmula de Euler Hay una cantidad enorme de poliedros convexos, y todos cumplen esta propiedad. Sorprendente! Euler haciendo poesía con la ideas, haciendo fáciles las matemáticas. También demostró que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos. La relación más hermosa de las matemáticas Es la conocida como identidad de Euler, que conecta de forma sutil los cinco números más importantes de las matemáticas 0, 1, π, e, i, De forma mágica, estos 5 números están íntimamente ligados mediante una preciosa relación, sugerente y misteriosa, fruto de su genio. Sin duda, un homenaje a las matemáticas a través de uno de sus hijos más ilustres. Leer mas ... http://soymatematicas.com/que-sabes-de-euler/

¿Qué es una conjetura matemática? Es una afirmación que se supone cierta, un problema que todavía no se ha podido demostrar. Muchas conjeturas tienen un enunciado elemental y fácil de comprender, y resultan adecuadas para aprender y debatir en clase. Las conjeturas o hipótesis juegan un papel importante dentro de las matemáticas. Podemos decir que son las semillas de las cuales germinan los teoremas (aunque es posible que nunca se conviertan en un teorema, es decir, en una verdad para siempre). La conjetura de Collatz En 1937, ha llovido desde entonces, el matemático alemán Lothar Collatz propusó un problema que hasta la fecha no se ha podido demostrar. Lo bonito y sorprendente de este problema es que a partir de cualquier número natural, siempre se obtenemos la unidad, Elige cualquier número natural (n) y realiza los siguientes cálculos: Si n es par divide entre 2 (Es decir n/2) Si n es impar multiplica por 3 y suma 1 al resultado (Es decir 3n+1) Con el número que hayas obtenido tienes que repetir el proceso. Así sucesivamente. Siempre llegarás al número 1 (como tú) Ejemplos: Si empezamos por el número 4 , obtenemos esta secuencia: 4,2,1 Si n=5, obtenemos esta serie 5,16,8,4,2,1 Si n = 6 →→ → 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Si n=13 →→ → 13,40,20,10,5,16,8,4,2,1 Ten cuidado que la secuencia crece muy rápido. Para una número pequeño como el 27 (3·3·3), se obtiene una secuencia muy grande, de 111 pasos. Asciende más alto que el Everest, hasta 9232 metros, para caer vertiginosamente a ras de tierra. Actualmente, con los ordenadores, todos los cálculos son mucho más rápidos y fáciles de realizar. Imagínate las secuencias tan largas que se pueden obtener con números grandes. Casi 80 años después nadie ha demostrado su veracidad, aunque gracias a las computadoras se ha podido comprobar que para números hasta 2 elevado a 58, la secuencia acaba siempre en 1. Esto significa que esta conjetura es cierta para un “mogollón” de números, pero esto no nos sirve como demostración. Evidentemente, la intuición nos lleva a pensar que debería ser cierto, pero recuerda que sólo un teorema es para siempre, aunque se acabe el mundo … Curiosamente esta conjetura se llama de muchas maneras: 3n +1, algoritmo de Hasse, problema de Ulam o algoritmo de Siracusa (entre otras) Muchos matemáticos inquietos se encuentran concentrados en el intento de demostrar la famosa conjetura de Collatz respecto del algoritmo 3n +1. Realmente las conjeturas hacen avanzar a las matemáticas. Veamos brevemente tres conjeturas famosas, que fueron planteadas hace mucho tiempo. Son fáciles de entender. Conjetura de Goldbach (1742) Fue planteada en 1742 por Christian Goldbach. Establece que: "Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos" La conjetura nos permite repetir el mismo número primo. Ejemplos: 4=2+2 6=3+3 12=5+7 20=13+7 Nadie ha podido demostrarla. Leer más en ... http://soymatematicas.com/conjetura-matematica/

http://soymatematicas.com/numero-e/ Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias. Y allí apareció e, caído del cielo de los logaritmos naturales. Entonces no pregunté de donde venía, ni tampoco me lo contaron. Sólo nos dijeron que e era la base de los logaritmos naturales o neperianos y punto. ¿Qué tienen en común? Una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias. No tienes que irte demasiado lejos. La quinta letra del abecedario te dará la respuesta. Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad. Lo que no me contaron Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ, i, e). e no están famoso ni tiene tanta historia como π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial y está muy relacionado con el cálculo (al igual que π frecuenta lugares geométricos). Surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos. Aunque no lo percibas, el número e es importante en tu vida cotidiana. Orígenes En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía. Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras. Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó “números artificiales”), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos. Un número irracional famoso Al igual que π, e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional. Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2’7182818284 … e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta. ¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, 2’1569 o 3’3267…? Vamos a buscar al número e Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente forma. El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2. Acércate más (1+frac{1}{2})^{2}=2'25 Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia. (1+frac{1}{3})^{3}=2'37037 (1+frac{1}{4})^{4}=2'4414 (1+frac{1}{5})^{5}=2'48832 (1+frac{1}{10})^{10}=2'59374 (1+frac{1}{1000})^{1000}=2'71692 Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así: Con la ayuda de una calculadora puedes aproximarte al número e. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2’71828 … En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2’72 Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e. ¿Quién lo bautizó cómo número e? El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad. Es probable que e ni siquiera venga de “exponencial” sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo. En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta: e=1+frac{1}{1!}+frac{1}{2!}+frac{1}{3!}+frac{1}{4!}+frac{1}{5!}+frac{1}{6!}+ ... Recuerda lo que significa el símbolo factorial (!) 4!=4·3·2·1 Como puedes ver es otra forma de obtener el número e, sumando esta seria infinita. Cuantos más términos sumes en esta serie, tanto más te acercarás al valor numérico de e. No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler, al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número. Algunas ecuaciones donde aparece el número e ➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es: Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña. Leer más ... http://soymatematicas.com/numero-e/

http://soymatematicas.com/numeros-sorprendentes/ Las matemáticas están llenas de curiosidades, y de vez en cuando dejaré caer alguna por aquí. ¿A quien no le gusta jugar con los números? Números sorprendentes hay muchos, pero este es poco conocido. Aparentemente se trata de un número sencillo y un poco feucho. Pero, muchas veces las apariencias engañan. En este artículo vamos a destacar la singularidad de este número, en relación a la disposición de sus dígitos. No hay dudas que este número impar, el ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete, es uno de los más interesantes de las matemáticas. Digamos que es “un número misterioso”. Transformaciones curiosas Empezaremos multiplicando nuestro número. A ver que pasa … 142.857 x 2 = 285.714 Si lo multiplicas por 2, simplemente se transforma de una forma especial.Puedes ver que las cifras del nuevo número son las mismas, pero escritas en otro orden. ¿Y si lo multiplico por 3? 142.857 x 3 = 428.571 Mosquis! ¿A qué juegan estos números? Son siempre los mismos! Solo se cambian de posición. Alguien podría pensar que es cuestión de probabilidad, al ser un número de 6 dígitos. Bueno, para tí que has pensado eso. Seguimos … 142.857 x 4 = 571.428 142.857 x 5 = 714.285 142.857 x 6 = 857.142 Esto ya parece algo mágico, ¿verdad? Estos números se quieren mucho. Número cíclico Si prestas atención te darás cuenta que los productos formados mantienen un orden circular en sus números, es decir, se producen permutaciones rígidas. Para entenderlo mejor, puedes ver las siguiente figura, donde quedan marcados los vértices hexagonales. Sólo hay que seguir el sentido de las agujas del rejos; podemos decir que se trata de un esquema cíclico. El 7 lo cambia todo Pues sí, no deja títere con cabeza. Lo curioso es que “se carga” a todos los números que tan amigos eran y solamente deja al más grande. 142.857 x7 = 999.999 Obtenemos un número formado por seis nueves. ¿Será que le entra el miedo en el cuerpo al acercarse peligrosamente al millón? No. Una de las muchas características de los números cíclicos es que al multiplicarlos por una unidad más de su número de cifras, (por 6+1, en este caso), el resultado estará compuesto únicamente por nueves. Nuestro número crece. Ahora pasa a tener 7 cifras Pasaremos del millón al multiplicar nuestro número por ocho. A ver que ocurre … 142.857 x 8 = 1.142.856 Fíjate bien. Todos los dígitos que aparecen ahora en el producto, son los mismos con excepción del 7. Nuestro querido siete “ya no cabía” y se ha tenido que descomponer en 6+1. Puedes ver que el el 6 se quedó a la derecha y el uno se fue a la izquierda para completar el producto. Vamos a ver lo que ocurre cuando multiplicamos el número por nueve: 142 857 x 9 = 1 285 713 Observa con atención este resultado. La única cifra del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. ¿Qué habrá pasado con ese cuatro? Otra vez! Aparece descompuesto en dos partes, 4=1+3, estratégicamente colocados en los extremos del producto. Ahora te toca a tí De la misma forma puedes verificar las irregularidades que presenta número 142.857 cuando lo multipliques por 11, 12, 13, 15,16, 17, 18, etc. Algunos autores han llegado a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142.857, que no permiten que esos dígitos se separen. Varios geómetras notables como Fourrey, Édouard Lucas ó Legendre, han estudiado minuciosamente las sorprendentes propiedades del número 142 857. En un libro del matemático Fourrey, titulado “Récréations Arithmétiques“, aparece la siguiente multiplicación. Observa el orden de nuestro número sorprendente. Múltiplos de 7 Volvamos a nuestro protagonista de hoy. Multiplicamos ahora nuestro número por múltiplos de 7. Estos son los resultados: 142 857 x 7 = 999 999 142 857 x 14 = 1 999 998 142 857 x 21 = 2 999 997 142 857 x 28 = 3 999 996 Todos los resultados presentan una disposición muy interesante. Ahora es el 9 quien domina el panorama. Observa que sumando los dígitos de los extremos siempre aparece el 9. ¿Cómo aparece en aritmética el número 142.857? Juguemos ahora con las fracciones. Coge la calculadora. Vamos a convertir la fracción 1/7 a su forma decimal. 1/7= 0.142857 142857 142857 … Sorpresa! Obtenemos un decimal periódico simple, cuyo período es ¡tachán! 142.587 Es mejor que sigas investigando tu. Prueba a realizar las fracciones inversas de 7 con los primeros números naturales, es decir 2/7, 3/7, 4/7, etc. A ver que ocurre.Esta es la explicación de la famosa “cohesión” aritmética pretendida por algunos investigadores. ¿Y si lo elevamos al cuadrado? 1428572 = 20.408.122.449 20.408 + 122.449 = 142.857 Es un número de Keprakar, porque si parto el resultado en dos números y los sumo, nos vuelve a dar el número inicial. Realmente impresiona. ¿Quieres más? ♠ Otra curiosidad del número mágico 142.857 es que si lo partimos en dos trozos resultan dos números que sumados entre sí dan 999. Una parte es complemento a 9 de la otra. 142 + 857 = 999 ♣ Si la partimos en tres tozos, más de lo mismo: 14+28+57=99 ♥ Es un número de Harschad. Es decir, es divisible por la suma de sus dígitos /27=5291 ♦ Está “inmerso” dentro de los decimales del número ∏ 22/7= 3,142857 142857 Es una aproximación. Sólo difiere de pi un 0’4 %. Desde tiempos de Arquímedes, ya se conocía. Se utilizaba la fracción 22/7 para aproximarme al valor de pi. Una anécdota para finalizar Leer más http://soymatematicas.com/numeros-sorprendentes/

http://soymatematicas.com/la-historia-del-cero/ Las matemáticas no podrían funcionar sin el cero. Nuestro querido cero está presente en todos los conceptos matemáticos que hacen que nuestro sistema numérico, la geometría y el álgebra funcionen. Recuerda tu niñez. Te enseñaron que el 1 era el primero del “alfabeto numérico”, de los números de contar 1,2,3,4,5 … Años más tarde pudiste contar el número de naranjas que había en una caja cuando no veías ninguna. La historia del cero no es sencilla. Parece una tontería pero los antiguos griegos y romanos, célebres ingenieros, no lograron dar un nombre a “la nada”. Ellos no contaban “nada”. Los griegos que desarrollaron la lógica y la geometría, nunca introdujeron el símbolo del cero. ¿Cómo llegó a ser aceptado el cero? Se cree que tuvo su origen en la civilización maya, que usó el cero en diversas formas. Representaban el cero como una concha marina. Este es el símbolo que los mayas usaban para el cero. Se trata del primer uso documentado del cero en América. Año 36 a.C. Más tarde el astrónomo Ptolomeo, influenciado por los babilonios, utilizó un símbolo parecido a nuestro moderno 0 como marcador de posición en su sistema numérico. Algo comparable a la introducción de la “coma” en el lenguaje. Ahora ya podían distinguir entre el 75 y el 705. Los mayas y los babilonios utilizaban el cero para marcar un numeral ausente. ¿Quiénes fueron los primeros en “tratar a la nada”? Los calculistas indios lo definieron como el resultado de sustraer cualquier número de sí mismo. Podemos decir que el cero nació en la India. La palabra “cero” proviene de la traducción de su nombre en sánscrito (una lengua clásica de la India) “shunya” que significa vacío. Parece ser que fue Brahmagupta quien trató el cero como un “número”, no como un mero marcador de posición, y mostró unas reglas para operar con él. Puede que pienses … ¡qué chorrada!, pero realmente fue muy avanzado a su tiempo. ¿Cómo llegó el cero a Europa? El último número llegó a Europa a través de los árabes. El sistema de numeración hindú-arábigo que incluyó el cero fue promulgado en occidente por Fibonacci, en su Liber Abaci (Libro del ábaco), publicado en 1202. Leonardo de Pisa reconoció el poder del 0. Y usó el nuevo símbolo, pero no como un número al mismo nivel que los otros. ¿Cómo funciona el cero? Al igual que la coma tiene sus reglas de uso, también tiene que haber reglas para el cero! No era fácil tratar al nuevo “intruso”. El cero debía integrarse en el sistema aritmético de entonces. En las sumas y las multiplicaciones el cero encajaba perfectamente. Pero en las operaciones de sustracción y división la cosa se complicaba. ¿Qué te dice el cero? Si me sumas no te altero. 0 + número = Número Si me multiplicas te destrozo. 0 x número = 0 Si me restas te transformas. 0 – 5= – 5 Los números negativos no eran aceptados Es una tontería que me dividas 0/número= 0 La nada es indivisible Pero es un atrevimiento que yo intente dividirte número/0 = ?? Por ejemplo, ¿Qué podemos hacer con cero dividido entre 6? Si a la posible solución le llamas a, tienes que: 0/6 = a Y por multiplicación cruzada esto equivale a 0 = 6 · a Es decir, el único valor posible para a es 0 ¿verdad? No vale la pena dividir al cero, se queda igual. Esta no es la principal dificultad que entraña el cero. Lo peligroso es la división entre 0. De la misma forma, si establecemos que: 7/0 = a Por multiplicación cruzada, 0 · a = 7 y acabamos con la absurda conclusión que 0 = 7. Al admitir la posibilidad de que 7/0 sea un número, puedes provocar un caos numérico de enormes dimensiones. La forma de evitarlo es argumentar que 7/0 es indefinido. De la misma forma que no se permite poner una coma en mitad de una palabra, en matemáticas tampoco es permisible dividir un número entre cero. Es absurdo! Cuando la nada se convirtió en infinito Leer más ... http://soymatematicas.com/la-historia-del-cero/

http://soymatematicas.com/jugar-con-las-mates/ Algunos padres me preguntan qué pueden hacer para que a sus hijos les gusten las matemáticas. Suelo responder que intenten tomarse la asignatura cómo un juego de números. Es importante jugar con las mates. Si el alumno “cambia el chip” y trata de ver las cosas de una manera más lúdica, creo que tiene mucho ganado. Hoy vamos a representar a los números de forma geométrica. Si! Los números también tienen formas! Si consideramos a los números como puntos materiales, como canicas, podemos realizar con ellos configuraciones geométricas claras. Y podemos jugar con ellos! Se llaman números figurados a aquellos números que pueden representarse mediante figuras geométricas “regulares” Cuadrados ¿Cómo son los números cuadrados? La respuesta es de Perogrullo, y puedes verla en la siguiente imagen. Si contamos los puntos, vemos que el primer “cuadrado” está formado por un solo punto. Para Pitágoras y su hermandad, el número 1 era el más importante. Tenemos una buena base. Si sigues sumando los puntos que hay en los próximos cuadrados obtendrás los números cuadrados 1,4,9,16,25,36,49,64, … (¿Sigue algún patrón esta secuencia de números? ¿Puedes adivinarla?) Los números anteriores se llaman cuadrados perfectos. Observa que para pasar de un cuadrado perfecto al siguiente, únicamente se añade una “capa de puntos” en forma de L invertida. Por ejemplo 9+7=16 Montones de piedras Vamos con los números triangulares. ¿No te recuerdan a un montón de piedras? Al contar estos puntos obtenemos estos números: 1,3,6,10,15,21,28,36, … Observa el patrón de construcción. ¿cómo puedes obtener un número triangular a partir del anterior? Fácil, ¿verdad? Sólo tienes que ir “sumando filas de piedras”. Por ejemplo, ¿cual es el número triangular que va después del 10? Tendrá 5 puntos en la última fila, por tanto 10+5=15 Pensando un poco (eso es lo bonito de las matemáticas) puedes darte cuenta de que un número triangular se puede obtener sumando números naturales consecutivos (10=1+2+3+4) y un número cuadrado siempre es el producto de cualquier número natural por si mismo (el cero no juega) Acabamos de ver que los primeros 4 números naturales suman 10. ¿Cuánto suman los primeros 8 números naturales? ¿Y los primeros 100? Esta pregunta se la hicieron en la escuela a un genio llamado Gauss cuando tenía 10 años. Lo resolvió fácilmente. Puedes verlo en el siguiente vídeo. https://www.youtube.com/watch?v=6ZYBIXpHUDs Conexiones Vamos a comparar los números cuadrados con los triangulares. Quitando el 1, ¿Ves algún número que aparezca en las dos listas? Cierto! El 36 es un número triangular y cuadrado al mismo tiempo. ¿Te atreves a encontrar otro número triangular cuadrado? Te recomiendo que uses una hoja de cálculo tipo Excel, porque es mayor que mil. Puedes dejar tu “hallazgo” en los comentarios del blog. Hay otra conexión más hermosa. ¿Qué pasa si coges dos números triangulares sucesivos y los sumas? ¿qué obtienes? No dejes de formularte preguntas, así es como se aprende. Recuerda la importancia de jugar con las mates. Obtendrás un cuadrado. Esto tiene su lógica. Si piensas en un cuadrado compuesto por 4 filas de 4 puntos, en el cual se ha trazado una línea diagonal. Observa en la siguiente imagen que los puntos que están encima de la línea forman un número triangular, y debajo de esta línea está el siguiente número triangular. Este funciona con cualquier cuadrado, no importa su tamaño. Siempre se cumplirá esto: Todo número cuadrado es la suma de dos números triangulares consecutivos. También se cumple otra verdad universal. La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado. Eureka!! Seguramente esta fue la expresión de júbilo del joven Gauss, cuando realizó estos descubrimientos siendo muy joven: Celebraba haber descubierto que todo número natural es la suma, como mucho, de tres números triangulares. Por ejemplo, el número perfecto 28 es igual a la suma de 3+10+15 También demostró que todo número natural es la suma de, como mucho, cuatro números cuadrados. Por ejemplo 30=1+4+9+16 Cuando menos resulta curioso, y se trata de un buen homenaje a Pitágoras, al que se puede considerar el padre de la Teoría de Números. A los pitagóricos les debemos el nacimiento mismo de las Matemáticas; ellos fueron los que introdujeron la idea de que los objetos matemáticos, los números y las figuras geométricas son ideas de la mente, abstracciones. Hay que jugar con las mates Podemos seguir “construyendo” números. Sólo hace falta un poco de visión geométrica. Es relativamente sencillo descubrir los números pentagonales: Fíjate que el número de puntos en cada lado se va incrementando de uno en uno. ¿Te atreves a seguir la serie? Observa que ahora se van formando como un collar de puntos. Igualmente puedes pasar un buen rato construyendo números hexagonales. Siguen esta serie numérica: 1, 6, 15, 28… Creo que puede ser un buen ejercicio para tí o para tu hijo calcular los siguientes términos de la series de números planteadas. Observa que todas las series numéricas que hemos visto en este artículo, son progresiones aritméticas. Tienes que ver de que forma se van formando los diferentes números, uno tras otro. Para que puedas verlos todos juntos, te resumo las series de números poligonales que hemos visto, y te dejo un vídeo hecho con Geogebra. Leer más en ... http://soymatematicas.com/jugar-con-las-mates/

Aprender matemáticas con tu hijo puede ser divertido. En este artículo quiero ofrecerte algunos consejos para facilitar que tu hijo vea las matemáticas de una forma más amigable. Así aprenderá mejor. Es lógico que quieras ver a tu hijo feliz. Habitualmente los estudios generan muchos problemas. Estadísticamente las matemáticas son una de las asignaturas más “difíciles” de aprobar. Las matemáticas son imprescindibles para el desarrollo personal y cognitivo de cualquier estudiante. ¿Puedo ayudar a mi hijo en su proceso de aprendizaje? Claro que sí! El papel de los padres es muy importante, y en demasiadas ocasiones, se infravalora. Ya lo comenté en este artículo Es una pena, pero no a todo el mundo le gustan las matemáticas. Con esto quiero decirte, que si de adolescente no te gustaban las mates, no es aconsejable que le transmitas esto a tus hijos. Una buena actitud es fundamental para propiciar un buen ambiente en casa hacia las matemáticas. Piensa que aunque se te dieran mal en tu época de estudiante, puedes darte una segunda oportunidad para disfrutar de las matemáticas ayudando a tu hijo. Confía en tu hijo Siempre le doy mucha importancia a el poder de las palabras y los pensamientos. Cualquier persona es capaz de entender las matemáticas. A algunas les costará más, pero es necesario que confíes en la capacidad y el talento de tu hijo y se lo transmitas. Cuando tenga dificultades, ahí debes estar tú, con una buena actitud y confianza hacia su aprendizaje. 1. Juega con las matemáticas Dedica alguna tarde a jugar a algún juego de mesa con tus hijos. Además de ser didácticos, también podéis pasar un buen rato. Les ayudará a calcular, a pensar estrategias, a desarrollar su lógica e ingenio, a ser creativos, a concentrarse, etc. Desde el ajedrez al parchís, pasando por el risk, el rummy, las cartas, el dominó o los cuadrados mágicos. Puedes animar a tu hijo a que invente su propio sudoku para que tú encuentres la solución, o resolver juntos un acertijo. 2. Anímales a leer y a ver matemáticas De vez en cuando es una buena idea que el alumno “salga” del aspecto rutinario que en demasiadas ocasiones impera en los institutos y en los libros de texto. Hay muchas lecturas matemáticas que son excelentes para ver la cara amable de las mates. Y películas que no te dejaran indiferente. 3. La importancia de la Historia de las matemáticas Es muy positivo enseñar las matemáticas con su Historia. Se trata de humanizar la matemática, de mostrarla en su contexto, como un producto de la actividad humana que se ha ido gestando a través de milenios. mostrándola asociada al arte, a la arquitectura y a la belleza. La perspectiva histórica nos acerca a genios que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por necesidades y motivaciones muy distintas. Trata de acercar los acontecimientos matemáticos históricos a tu hijo. Recordar la historia os ayudará a acercaros de forma amistosa a las matemáticas. 4. Nuevas tecnologías para “tocar” las matemáticas Afortunadamente en la actualidad existen multitud de programas y aplicaciones que permiten al estudiante aprender matemáticas de una forma más entretenida. Al aumentar su motivación, también mejora su aprendizaje. Principalmente te recomiendo el uso de Geogebra y Desmos. Y es más que probable que estas aplicaciones también te pueden venir muy bien. 5. ¿Te gustan los deportes? Seguro que tu hijo es un apasionado de algún deporte. Sea cual sea, habrá muchos conceptos matemáticos implicados: estadísticas, dimensiones, porcentajes, velocidades, puntuaciones, probabilidad,etc. Aprovecha la ocasión para comentar y aprender matemáticas juntos. 6. Matemáticas en la naturaleza El gran genio Galileo Galilei ya dijo que "La naturaleza está escrita en lenguaje matemático" Hay muchos elementos matemáticos presentes en la naturaleza. Circunferencias, esferas, hexágonos, hélices, espirales, parábolas, etc. Os invito a que los descubráis en casa o en cualquier escapada a la naturaleza. La belleza de las matemáticas están en todas partes. 7. Matemáticas en internet Leer más ...

http://soymatematicas.com/problema-del-cumpleanos/ Cuestión de probabilidades Así, a bote pronto, ¿cuántas personas crees que tienen que haber en un grupo de gente para que puedas decir que dos de ellas cumplen años el mismo día? Y que sea muy probable que aciertes. ? ?? :-) Venga, di un número …! Ahora podrás ver si te has quedado cerca. Te cuento: Si se reúnen 23 personas hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día. ¿Cómo es posible? Es muy habitual que la gente piense que la probabilidad es mucho más baja (cercana al cero pelotero), porque el año tiene 365 días y solo hay 23 personas. Pero volvamos a la pregunta inicial… ¡¡Wow!! Si se reúnen 57 personas o más la probabilidad es mayor del 99% !! Parece asombroso y difícil de creer. Por esta razón se dice que es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice a la intuición. ¿Te gusta apostar? Pues estás de enhorabuena, porque puedes pasar un buen rato y ganar algún dinerillo apostando sobre esto en cualquier reunión :-)) En esta tabla puedes hacerte una idea de cuando puedes apostar. Como en las cartas,los seguros o en tantas otras cosas, la probabilidad es fundamental. Es probable que en tu clase o en tu trabajo dos personas cumplan años el mismo día, ¿verdad? Unos cálculos que echan al traste nuestra intuición Imagínate que estás en una clase de 23 alumnos. Vamos a llamar A al suceso en el que hay dos niños con el mismo cumpleaños en la clase. La probabilidad de que ocurra A= P(A). Es decir: P(A)=probabilidad de que en una clase de 23 alumnos, haya dos con el mismo día de cumpleaños. Pero nos resultará más sencillo calcular la probabilidad contraria, es decir, la probabilidad de que no ocurra A. Llamaremos P(B)= probabilidad de que en una clase de 23 personas, todos tengan diferentes fechas de cumpleaños Primero calculamos P(B), y después es muy sencillo obtener P(A), porque P(A)=1-P(B). En la resolución de problemas es una buena técnica y por partes e intentar simplificar el problema. ¿Qué ocurriría si en lugar de 23, solo hubiera 2 alumnos en la clase? Tenemos que calcular la probabilidad de que el segundo alumno cumpla años otro día diferente. Por tanto P(B)= 364/365. Esto significa que le quedan 364 días favorables entre los 365 posibles para no cumplir el mismo día. Recuerda la ley de Laplace, que nos dice que la probabilidad de que suceda un evento es igual a ¿Y si hay 3 alumnos en clase? Entonces la probabilidad anterior habría que multiplicarla por 363/365, porque ésta es la probabilidad de que el tercer niño cumpla un día diferente a los dos anteriores. ¿Y si sois 4 gatos en clase? Ahora que ya has entendido este razonamiento, puedes seguir la secuencia hasta llegar a 23 alumnos. En estos casos, es muy útil utilizar una hoja Excel para los cálculos. La probabilidad de que los 23 alumnos cumplan años en días diferentes, será: P(B)=0'493 Por tanto, tenemos que P(A)= 1-P(B)= 0’507 Hemos comprobado matemáticamente que la probabilidad de que en una clase de 23 alumnos, 2 de ellos cumplan años el mismo día, P(A),es del 50,7%, mayor del 50%! Es decir, prácticamente la misma probabilidad de obtener cara al tirar una moneda al aire. Ya lo ves, a veces la intuición nos juega malas pasadas. Otra pregunta más fácil de responder Leer más ... http://soymatematicas.com/problema-del-cumpleanos/