Akshobya

Hola a todos, los saludo después de un largo tiempo de inactividad y vengo a traerles estos útiles apuntes de Matemáticas y Lógica que he utilizado durante mi carrera. Espero que les sirvan de ayuda, cualquier duda dejen un comentario y les responderé a la brevedad! Lógica MatemáticaElemental Lección 1 - Lógica de ProposicionesContenido 1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2 1.1.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2 1.1.2 Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.1.3 Proposición Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3 1.1.4 Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.1.5 Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4 1.2 Conexión entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4 1.2.1 Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4 1.2.2 Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.3 Disyunción Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.4 Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.5 Tautologias y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7 1.2.6 Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7 1.2.7 Proposición Reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10 1.2.8 Proposición Contrarreciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11 1.2.9 Proposición bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12 1.3 Implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15 1.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15 1.3.2 Implicación Lógica y Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16 1.3.3 Implicaciones Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17 1.4 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18 1.4.1 Proposiciones Lógicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18 1.4.2 Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional . . . . . . . . . . . . .. . . . 19 1.4.3 Equivalencias Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21 Lección 2Lógica de Predicados Contenido 2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.4 Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Lección 3Razonamientos y Demostraciones Contenido 3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Razonamiento Valido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Reglas de Inferencia mas Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.4 Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 Definiciones Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Regla de Particularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3 Regla de Generalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Metodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.1 Demostración Vacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.2 Demostración Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.3 Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.4 Demostracion por la Contrarrecıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.5 Demostración por Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.6 Búsqueda de Contra-ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Matemática Discreta Lección 1Conjuntos y Subconjuntos Contenido 1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Determinación por Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Determinación por Comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6 Axioma de Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Inclusión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Inclusión Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Caracterización de la Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.7 Transitividad de la Inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lección 2Operaciones con Conjuntos Contenido 2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.5 Diferencia Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Álgebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.8 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Lección 3Principios Básicos de Conteo Contenido 3.1 Partición de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Principio de Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Principio de Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Principio de Inclusion-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.3 Generalizacion del Principio de Inclusión-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Principio de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Lección 4Permutaciones y Variaciones Contenido 4.1 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2 Numero de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Numero de Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.2 Formación y Numero de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.2 Formación y Numero de las Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . 97 Lección 5Combinaciones. Teorema del Binomio Contenido 5.1 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.2 Formación y numero de combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.2 Formula de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.3 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3 Combinaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.2 Numero de combinaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Lección 6Relaciones Contenido 6.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1.1 Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.2 Igualdad de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2 Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2.1 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 Matriz de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.4 Grafo Dirigido de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4.2 Representación Ara de un Grafo Dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.5 Propiedades de las Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.5.1 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.5.2 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.5.3 Asimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5.4 Antisimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.5 Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lección 7Relaciones de Orden Contenido 7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.1 Relacion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.2 Relación de Orden Estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.2 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.1 Elementos Comparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.2 Orden Parcial y Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.3 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3.1 Orden del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3.2 Orden Lexicografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.4 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.4.1 Diagrama de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5 Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.6 Elementos Caracterısticos de un Conjunto Ordenado . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.1 Elemento Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.2 Elemento Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.3 Existencia del Maximal y Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.4 Algoritmo para la Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.5 Elemento Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.6.6 Elemento Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.6.7 Unicidad del Maximo y el Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.8 Cota Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.9 Cota Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.10 Conjunto Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.11 Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.12 ´ Infimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.13 Unicidad del ´ Infimo y el Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Lección 8Relaciones de Equivalencia Contenido 8.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.1.2 Digrafo asociado a una Relacion de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.2 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.3.2 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Lecci´on 9Funciones Contenido 9.1 Definiciones y Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.1 Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.2 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.3 Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.4 Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.2 Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2.2 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2.3 Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.3 Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3.1 Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3.2 Funcion Suprayectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.3 Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.3.4 Composicion y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.4 Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.4.1 Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.4.2 Caracterizacion de una Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.5 Composicion de Funciones e Inversa de una Funcion . . . . . . . . . . . . . 258 9.5.1 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.5.2 Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.5.3 Inversa de la Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Lección 10Divisibilidad. Algoritmo de la División Contenido 10.1 Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.1.1 Existencia y Unicidad de Cociente y Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.1.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.2 Sistemas de Numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2.1 Descomposicion Polinomica de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2.2 Representacion Hexadecimal de un Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 10.2.3 Representacion Binaria de un Hexadecimal de Cuatro D´ıgitos . . . . . . . . . . 277 10.3 El principio del Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.3.1 Conjunto Bien Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.4 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.4.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.5 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.5.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.6 Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.6.1 Divisor Comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.6.2 Maximo Com´un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.6.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.6.4 Maximo Comun Divisor de Varios Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.6.5 Existencia y Unicidad del m.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.6.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.7 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.8 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.9 Mas Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.7 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.7.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.7.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.8 Mínimo Común Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.1 Múltiplo Común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.2 Mínimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.3 Minimo Comun Multiplo de Varios Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.8.4 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.8.5 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Lección 11Teorema Fundamental de la Aritmética Contenido 11.1 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.2 Números Primos entre s´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.1.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.2 Criba de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.3 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.1 Lema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.3.4 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.3.5 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 11.4 Divisores de un N´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.2 Obtención de todos los Divisores de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.3 Numero de Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 11.4.4 Suma de los Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 11.5 Metodo para el Calculo del Maximo Comun Divisor y el Mínimo Común Múltiplo . . 339 11.5.1 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11.5.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Lección 12Ecuaciones Diofánticas Contenido 12.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.2 Solución de una Ecuación Diofántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.2.1 Solución Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.2.2 Solución General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Lección 13Clases de restos modulo m Contenido 13.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 13.3 Conjunto de las Clases de Restos Modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 13.3.1 Relación de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.3.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.3.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.4 Aritmética en Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.4.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.4.2 Bien Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.3 Elemento Neutro para la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.4 Elemento Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.5 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.6 Bien Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.7 Elemento Neutro para el Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.8 Elemento Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.5 Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 13.5.1 Función φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 13.5.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 13.5.3 Corolario (Fermat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.5.4 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 13.6 Teorema Chino del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 13.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 GrafosContenido 14.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 14.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 14.1.2 Vértices Adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.1.3 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.1.4 Multigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.1.5 Pseudografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.1.6 Digrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2 Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.1 Grado de un Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.2 Vértice Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.3 Grafo Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.4 Suma de los Grados de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.2.5 Grado de Entrada y de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.3 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.3.1 Isomorfismo de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.3.2 Invariante de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 14.3.3 Invariancia del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 14.4 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 14.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 14.4.2 Subgrafo Expandido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.4.3 Subgrafo Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.4.4 Eliminación de Aristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 14.4.5 Eliminación de Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 14.4.6 Grafos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.4.7 Complemento de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 14.5 Caminos y Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.1 Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.2 Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.6 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.1 Vértices Conectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.2 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 14.6.4 Componentes Conexas de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 14.6.5 Puntos de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.6.6 Puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.7 Caminos y Ciclos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 14.7.1 Ciclo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 14.7.2 Grafo Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 14.7.3 Primer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 14.7.4 Camino de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 14.7.5 Segundo Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 14.7.6 Problema de los Puentes de Konisgberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 14.7.7 Tercer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 14.7.8 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 14.7.9 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 14.8 Caminos y Ciclos de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 14.8.1 Ciclo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 14.8.2 Grafo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.3 Camino de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.4 Metodo desarrollado por Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 14.9 Representación de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 14.9.1 Matriz de Adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 14.9.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.9.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.9.4 Caracterización de un Grafo Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.9.5 Matriz de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Recuerden ante cualquier duda dejen un comentario y les responderé a la brevedad, espero que estos apuntes les sean útiles! (Pronto estaré agregando la 2da parte de este post con Apuntes de Geometría y Calculo)

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Hola amigos, bienvenidos, AQUÍ les traigo una nueva Página Web donde podrán descargar GRATIS Libros en formato PDF Completos, buen día!!! (La lista de Libros se actualiza todos los días) el link esta en la pagina de facebook porque taringa no permite postear dominios en w i x (donde van *** se reemplaza con "wix" http://mauriunrc.***/librosparatodos )

Aquí les unos apuntes que use en mi carrera, espero que les sean de utilidad! >>>Apuntes y Repaso Analisis Matematico<<< 1. Preliminares 1.1 Conjuntos. Lenguaje matemático 1 1.2 N, Z y Q. mcd y mcm. Progresiones. Binomio de Newton 4 1.3 El conjunto R. Desigualdades. Valor absoluto 8 1.4 Repaso de las funciones elementales 13 1.5 El conjunto C. Operaciones con complejos 19 2. Sucesiones, límites y continuidad en R 2.1 Sucesiones de números reales 21 2.2 Límites de funciones. Funciones continuas 26 2.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos 33 3. Derivadas en R 3.1 De&#64257;nición y cálculo 35 3.2 Teoremas sobre funciones derivables 40 3.3 Polinomios 45 3.4 Aproximación numérica de ceros 47 3.5 Representación de funciones 49 3.6 Aplicaciones 53 4. Series, Taylor y límites indeterminados 4.1 Series de números reales 55 4.2 Sucesiones y series de funciones 62 4.3 Series de potencias 65 4.4 Polinomios y series de Taylor 68 4.5 Cálculo de límites indeterminados 74 4.6 Series complejas de potencias 81 5. Integración en R 5.1 De&#64257;nición y propiedades 85 5.2 Teoremas fundamentales 87 5.3 Cálculo de primitivas 91 5.4 Integrales impropias 96 5.5 Integración aproximada 100 5.6 Aplicaciones 105 Problemas I Problemas adicionales XI Cualquier duda dejen un mensaje y les responderé a la brevedad!